Файл: Киселев В.А. Расчет пластин.pdf

где

Yfn — общее

решение

уравнения без правой

части,

а

К*, —

частное решение уравнения с правой частью.

Характеристическое

уравнение однородного

уравнения

(2.101)

гі-2а?ІіГ°-

+ Я* = 0.

Его

корни:

rt = —rt

= Ѵа&

+ Y<

—J*,

;

(2.108)

ri^~ri=V<—V<

— Kl

•

(2.109)

Заметим, что при с2

= 0 всегда

л,*, >

а,4,, >

0,

при сг = с2 = 0

всегда Хт = ат

= — .

Когда с2ф0,

хотя

и

мало вероятно, но воз-

можно, что afn

>

Ä,,4„ >

0.

aj, > 0.

Рассмотрим сначала первый основной случай, когда Ä.4, >

В этом случае

корни (2.108), (2.109) можно записать так:

г1 = — гв = К « т + г /ЛА, — а*

= ß m +

іут-

где

i — Y — 1 — мнимая

единица.

Возведем эти

равенства в

квадрат:

а *

+

І YKi

-

«s .

=

PS. + 2pr o

Y m i — ѵ г ,

;

am

— f

— afn = ß,2 „ — 2ß m ym

i—Y,*, .

c 4 = ß m —

Ут\

(а)

YKn-<=2K4m-

(б)

Из выражения (б)

Ym= f• • ' M , - a 5 , : 2 ß m .

(в)

Подставим

в .(а)

ß i ^ c c m ß m - ^ ^ - = 0.

Отсюда

2

/

4

л 4

4

2

. !

р>2

a ' «

I -1 /

T

<%т I А/п — K m

2

am , Am

P « - — + | /

+

4

+

2

7 — - -

~

Y m (У) = [Am ФІ — Ym ) + 2Д в ß m Y,J СП ß m (/ COS

ЧтУ±

+ № т

(ßm — Ym) + 2Cm ß m Ym ] sh ß m f/ COSY m

У +

+ 1Сm

(ßm — Уm ) — 25 m ß m ym]

ch ß m £/ Sin ym

y

+

+ [ßm (ßm - Ym) - 2 Л т ß m У

т

] Sh ß m 0 5ІПY m

(2.115)

o'"

Ym~ Ym)l ch ß m У COSY m У +

У*» (£/)= [ßm(ßm - 3 ß m V m ) + C m ( 3 ß m

+

[Am (ßm -

3 ß m Ym) + Dm (3ßm Y m

-

Ym )] sh ß m у cos Y m У +

+

lAn (ßm - 3ß m Ym ) "I" ^ m (Ym -

3ßm Y J ] ch ß m IJ 5І ПТ т

У +

+ [Cm ф3т -

3ß m Ym ) + Bm (y?n - 3ß^T m ) ] sh ß m у sinV

m y.

(2.116)

Y?n (у) =

C1F1

(у) + C2F2

(у) +

C3Fa

(у) + C.F,

(у),

(2.117)

где по условию:

Л ( 0 ) = і;

F;(0)=O

^ ( 0 )

= 0;

Л'(0) = 0;

/7 а (0) = 0;

К ( 0 ) = 1

Fl(0)

= 0;

^ ( 0 ) = 0;

(2.118)

Fa(0) = 0\

F:(0) = O

^ ( 0 ) = 0;

F4 (0) = 0;

f* (0) = o

Fl(0)

= 0;

^ ' ( 0 ) = 1 .

Поскольку

при y = 0 только первая функция ch ß m y

cos

ymy

в выражениях

Y°m,

Y°m,Y°m

и Ym"

(2.113) — (2.116)

равна

еди­

занным в табл, 3. Так, например, для определения функции F1

(у)

эти

условия по

первой графе таблицы будут:

An =

1 >

втК+стут

= 0;

A J ß ? « - Y « ) + 2 ö m ß m y m = 0;

ß m ( ß « - 3 ß m Y S . ) + Cm (3ß)|1 Ym -Y5,) =

0.

Т а б л и ц а

3

Постоянныостоянные

При

определенна

функций

Ft Ш F,

(у)-

(У) Ft

(у)

F,

1

0

0

0

Вт ßm 4" Cjn Уm —

1 0

1

0

0

Am (ßm — Ут)ф2Dm

ßm Ут =

0

0

1

0

Bm ($т— 3ßm 7m +

Ст (3ß/7i Tm—Т"» ) =

0

0

0

1

Решая

эти уравнения,

получим:

„ 2

-

г

Ат=\;

B r a

= Cm =0;

D m = - pm —

ym

Подставляя

найденные

значения

произвольных

постоянных

в уравнение (2.112), определим искомую функцию

'Рг (у):

Fi

(у) = ch ß m

у cos V m

у -

sh ß m у sin ym

y.

(2.119)

2ßm Y/H

Для определения функции F2

(у)

условия

для

постоянных

Am,

Вт, Ст

и D T O

составляем по второй графе табл. 3, из

которых

получим:

Am = Dm = 0;

Bm.

3ßm — Vm

,

3 y m

•— ßm

2ßm(ßm-|-V;n)

2T,„(ßffl

+

V«)

По

(2.112)

будем

иметь:

3ßm

—у»

s h ß m i / c o s Y m J / +

2ßm(ßm

r

+ ^ )

.

З^т

,

—

fini

i 0

.

(2.120)

+

n

,Q

^7 c h

ß m y s i n v m i / .

2Ym(ßm +

Ym)

1

s h ß m

# s i r i v m t / ;

(2.121)

2 ß m ? m

1

ch ß m t / s i n y m f /

sh ß m y cos ym y

У

(2.122)

2 ( ß m - f 7 m ) ( ~

Уm

ßm

Т а б л и ц а

4

(</>

F'I

(У)

F'Î (У)

Fi

(У)

* ) V (,)

Fi

(</)

-K'jn

[F2+2afn

Ft\ ~Kt

[Fi+2*3m

F3]

F*(y)

-K>

F*

[FZ+2al

F,}

F3

(У)

Fz +

^ F ^

+ [ 4 « 1 - ^ ]

F3

Fi

(У)

F3

2 < 4 ^ Ф

г

Частное

решение

неоднородного

уравнения

(2.101)

Yf„ (у)

за­

пишем

по правилу

Коши:

Y*m{y) = -\qj!i^-Fi(y-u)du.

.

(2.123)

о

D

Следовательно, полное решение уравнения (2.101) будет:

Уm (У) = У m (у) + Y*m(y) = Ci F, (у) + С2 F, (у) + С3

Fa (у) +

У

+ C.FM-

[^F^y-iOdy.

(2.124)

о

D

Составим последовательные производные от уравнения

(2.124):

У m (У) = Уm (у) + Щ{у)

= С- F[ (у) + С2 F'2 (у) + С3

F'3 (у) +

y

+ CtFl(y)-

\q-^-F:(y~u)du.

.

(2.126)

о