Файл: Васильков Д.А. Начала теории вероятностей учеб. пособие.pdf

объем

V = Кп.

При

этом

Р = ~<

«>

где

в силу

(3)

X =

(объем

v)/K,

и формула (1)

примет вид

P{X=k)

= C

*

( ±

y ( l - ± y - \

(5)

Именно

в

таких предположениях,

когда

р

постоянно,

а затем тогда, когда р = Ал- 1 , будут найдены

пределы веро­

ятностей (1) и

(2) при л - v o o .

§ 26. Локальная теорема Лапласа

Положим

k — np

= х,

...

,/

U )

У npq

придадим k

такие

значения

kit

k2

чтобы при п -> со

kn

ПП

- у ^ Г

=

* « ^ - о

(2)

л

_

Х—пр

.

л. — •—,

У npq

Тогда

согласно локальной

теореме

Лапласа

Ш{УтР{Х^хп))

= -)=^е

2 ,

(3)

л-нх>

У *ТЕ

или, что то же самое,

iim [Vnpq

Р ( ^ = й п ) |

= - р1 = е

22 .

(4)

Л - Ю О

Из этой теоремы вытекает, что при п > 1

P(X=k)

= P(X = x)^-L;9(x),

(5)

Vnpq

где х

определено равенством

(1),

а <р(х)=ф(х;

0, 1) (см.

§ 21).

Доказательство

локальной

теоремы

Лапласа

может

быть

проведено

с помощью

формулы Стерлинга

_

л

+ 1

(6)

л! ~

л

е-п,

в которой ~

есть

знак асимптотического

равенства: левая и правая части

соотношения

(6)

представляют

собой

при я - ю о

эквивалентные

бесконеч­

но

большие

величины. Иначе

формулу Стерлинга

можно

записать в

виде

1

п\ЦУТ*

n

e-n)

=

1 + а,„

(7)

где

а„

0 при я ->• оо.

Для

а„ справедливы

приближенные

равенства:

1

и более

точное

1

1

а " ~ Т 2 л ~ 1

+

288 я

*

Не останавливаясь подробно на доказательстве локальной теоремы

Лапласа,

отметим

лишь

его основные

этапы. Из

соотношения

(2)

будем

иметь

k„ =

np + xn

VZpq,

n — kn

=

nq — x„ V~npq,

(8)

откуда следует, что, коль скоро

хп

имеет

конечный предел

Хо, kn

оо

и л — kn^-°°

при

л - *оо .

Опустив для

упрощения записи индекс п у к,

выразим

факториалы в правой

части

равенства

P C . - * ) -

fel(a-fe)!

P V ~ *

\_

1

f

k \ ь Г n — k

\п-ь

г

k (п. — k) \

2 ,

„

где

[см. (7)]

1

+ р« =

гт^;

• ря

•* °-

Произведение двух первых множителей в

правой части равенства (9) в

силу соотношений

(8)' можно

записать

в

виде

Прологарифмировав это выражение и воспользовавшись

формулой

In (1 +

г) =

г — - ^ 2 2 +

о (г*),

мы

увидим, что

произведение

(10)

стремится к

е 2

при

п - *оо . Что каса­

ется третьего множителя в правой части

равенства

(9),

то,

снова прибег­

нув

к равенствам

(8), обнаружим,

что

он

равен

л->- оо.

VnpqO+ln),

где

тл->- 0 при

§ 27. Интегральная теорема Лапласа

Теперь придадим k один раз значения

k\,

k2,...

, так, что­

бы при п

со

kn — np

Ynpq

затем значения

1и

12

так, чтобы

при /г->оо

1±рШ-

= Ьп-+Ь

(Ь>а).

(2)

Интегральная

теорема

Лапласа

утверждает, что для

слу­

чайной величины X, распределенной по биномиальному зако­

ну с параметрами

пир,

ъ

_х*_

\imP(kn<X<ln)

= -±=\e

2dx.

(3)

а

То же соотношение

можно

представить в виде

(см. § 26)

ь

_ & -•

\\тР(а„<Х<ЬП)=-1=\е

а

2

dx.

(4)

Из формул

(3) или

(4)

вытекает, что при n > 1 и k < /

ь

P ( f t < ^ < / )

=

P ( c <

X^b)^<\j<?{x)dx,

(5)

где

k — пр

^

I — nP

Ynpq

'

Vnpq

Изложим здесь набросок доказательства. При фиксированном п це­

лым

числам

k„, kn

+

\,

kn

+ 1

kn +

s =

/„

соответствуют значения

an ~

*o"*

• • • > хз'^

= bn

переменного x =

(k — np)\

Vnpq.

При

этом

Д4»> = M

_xin}

=

k„ +

U+l)-np

_

kn +

j-np

=

_ 1

7

/ + 1

y

]Лгр<7

Vnpq

Vnpq

'

Далее

Р ( А Я < * < / Л ) = р ( л ,

k„) +

p(n,kn+

l)+

...

+p(n,

/„)

(7)

и в силу локальной теоремы

Лапласа

где

о„, у-1-0

при

п -> оо. Согласно

равенствам

(6)

сумму (7)

можно

пред­

ставить в виде Si

+

S2 ,

где

л

л

s,

=

2

* (4Л ) ) <Ч'!) •

s * =

2 \

<йхТ-

w

у-о

у=о

47

резке an<x<bn+(npq)

при разбиении

его на

s + 1 равных

отрезков

длины

(npq)

2 ; при

п ^ о о

сумма

Si стремится

к интегралу

в

формуле

(3). Предел суммы Si

равен

нулю,

так как

6„, j

стремятся к

нулю

рав­

номерно

относительно

индекса /; последнее утверждение можно прове­

рить, внимательно рассмотрев предельный переход в равенстве

(9)

пре­

дыдущего параграфа.

Приближенное равенство (5) показывает, что, когда п ве­

лико, случайная величина

Х—пр

Vnpq

имеет

закон

распределения, близкий

к нормальному.

Форму­

ла (5) может быть переписана в виде

В частности, положив k = пр — h, I =

пр + h, получим

Р(\Х-пр\<к)^2ф(^^у

(10)

§ 25, формула

(5)]

Н п , » ) _ . ( . - . ) • • • ( . - » + • )

- 0 - - О

0 - ^ ) - 0 - ^ ) £ 0 - т Г .

мы обнаружим, что в предположении

(1)

lim р(п,

k)= е - х ^ - -

(2)

Предельное соотношение (2) составляет содержание тео­

ремы

Пуассона.

Оно показывает, что, когда п велико,

случай­

ная величина X имеет закон

распределения,

близкий

к

зако­

ну

Пуассона

(см. § 20).

Формула

(2) влечет за собой приближенные

равенства:

Р

(3)

и

Р № < * < Л г

) « е - *

2

i p ,

(4)

справедливые при и > 1.

§ 27, дающие нормальные

при­

Формулы

(5) § 26 и (5)

ближения

для

вероятностей

P(X = k)

и

Р (й, < X < /г2),

с успехом применяются при больших значениях

произведения

npq *; погрешность

таких приближений

мала при значениях

k, близких

к пр; с увеличением | k — пр | погрешность

замет­

но

возрастает.

Формулы (3) и (4)

настоящего

параграфа,

определяющие

пуассоновские

приближения,

дают

хорошие

результаты тогда, когда п велико, а пр (равное

А. согласно

условию (1))

мало. В тех случаях,

когда npq^> 1 и я р > 1 ,

применимы как нормальное, так и пуассоновское

приближе­

ния.

§ 29. Задачи к главе 3

1. При п — 14400

бросаниях монеты герб выпал

k = 7356

раз. Счи-

1

тая

вероятность

появления герба

при каждом

бросании

равной

р = ~ 2 '

имеем

k — пр =

156.

Вычислить

вероятность

получения

отклонения

|

Х-пр\>\56.

О т в е т :

0,01.

2.

Сколько

раз следует бросить монету, чтобы

с вероятностью 0,99

1

шени

с вероятностью

р = 0,75, производится

400

выстрелов. Пусть

X —

число

попаданий. При каких

целых

Л неравенства

300 — Л < X < 300 + /;

имеют

вероятность

> 0,97?

Сколько выстрелов

нужно

произвести,

для

того чтобы

отклонения частоты попаданий от р, меньшие

0,035, имели ве­

роятность

> 0,95?

О т в е т : h >19;

л > 5 8 6 .

* Нормальные приближения

считаются

приемлемыми тогда,

когда

npq > 10.

4—143

49