Файл: Васильков Д.А. Начала теории вероятностей учеб. пособие.pdf

где

q(x, у) =

А(х-Хо)*

+ 2В(х-х0)(у-уа)+С(у-уо)2,

(10)

причем

А>0,

С > 0 ,

АС — В2>0.

(11)

Условия

(11) означают, что q(x,

у) есть невырожденная

по­

переменных х — хо, у — ул. Перенеся

начало координат в точ­

ку (х'о, г/о) и

сохранив обозначения

координат,

запишем

q в

виде

q(x,

у) = Ах2

+

2Вху

+

Су2.

Положим У А =

а >

0,

] / С = с > 0

и

В = —гас,

где | г | <

1.

Тогда

q (х,

у) =

а2х2

— Ъ-асху

+

с2у2.

(12)

Если

г =

0, то,

обозначив

а 2

= - 2 ^ '

^ ~ S f

( 1 3 )

запишем

плотность

вероятности

(9)

в

виде

х'

у'

р(х,

0) =

/Се

2

1 ? е

2

а 3 .

(14)

Из условия (7) § 18 следует, что

Итак, в этом

случае, т. е. при г

=

0

р(*> # ) =

ф(*;

0,

о-]) • q>(y;

0, а 2 ),

следовательно,

компоненты

X

и

Y

случайного

вектора

t7

случайные величины.

Oi и

oi

Тогда,

когда

^ ¥ =0,

зададим

соотношениями:

0 , 2

=

2of

(1 — г2) '

с 2 =

=

2а» (1 — г»)

( 1 5 ^

и вычислим плотность

вероятности

р\{х)

компоненты

X

(см.

формулу

(10), §

18). Для этого

перепишем

q(x, у) в

виде

q(x, у) =а2(\—т2)х2-\-

(су —

агх)2.

Тогда

4- оо

Р, {X) =

KerW-W

^

e-icy-raxV

dy,

(16)

Интеграл в правой части равен

= о2 У 2 к (1 — г2 ) ,

Т

w

а так как

^ pi(x)dx=l,

то

'

(17)

р2(х)^-±=е

2°К

(19)

<s2

V 2~-

Мы видим, что и в общем

случае компоненты

нормально

нат можно получить, заменив х и у

соответственно

на х — х0

и у — у0-

§ 22. Функции случайной величины

Пусть X — случайная величина,

f(x)—функция

перемен­

личины X. Под f(X)

понимается случайная величина, которая

принимает значение f(x)

всякий раз, как X принимает

какое-

либо значение х.

Если

X — дискретная

случайная

величина,

принимающая

значения

хи хъ...

с вероятностями

р \ , ръ • • •,

то f(X)

будет

с теми же вероятностями

принимать значения

f{x\),

f{x2),...

При этом может случиться, что f (xt) = f{xj)

для некоторых

номеров

i и /

(г ф

j).

В общем

случае, если [(х) — монотонная функция, то, ка­

торых f{x) 6

А, есть либо пустое множество, либо некоторый

промежуток

Д'. Следовательно,

P [ f ( J 0 € A ] = 0

или

Р(Л"6Д').

каждом

из которых f(x)

монотонна,

вычисление вероятностей

P [ / W

£ А] становится более сложным.

Вообще,

вероятности

P[f(->0

£ А]

существуют тогда,

когда М

=

= { х; [(х)

£ Д}

оказывается борелевским

множеством

при

любом

про­

межутке

Д. Функция

f(x),

обладающая

таким свойством, называется

бо-

релевской

функцией.

При

этом

Y = f (X)

будет случайной

величиной

в

том смысле, как это было определено

в §

13.

Если

функция

f(x,

у)

двух

переменных

определена

на

всей плоскости

х,

у или хотя бы на

некоторой

области G,

со­

личины

U

{X,

Y], то можно рассмотреть случайную величи­

ну Z =

f(X,

У). Следует заметить, что даже для совсем

про­

стых функций

f{x, у) отыскание закона распределения Z

мо­

жет быть затруднительно.

p{X =

k) =

pk,

P(Y =

l)=ph

P[(X

=

k)(Y

=

[)]=pk[

(k,

1=0,

± 1 ,

± 2 , . . . ) .

(X = k)(Y =чг —k)

(k = О, - ±1, ± 2 , . . . ) .

(1)

P(X+Y

= n)=

2

P[{X=k)\(Y

=

n-k)]=>

ft «

—

оо

=

+

со

2

Рь »-*•

(2)

ft;=

—

оо

л

(Х+ Y=*n)=

2 (X=k)

(Y =

n-k),

и формула

(2)

примет

более простой

вид:

и

p(^T r=n)=2ft,»-*.

(3)

В том случае, когда

X и У независимы,

= pfep,

(см. § 19),

и формулы

(2),

(3)

запишутся в

виде

+

оо

Р(Х+У

= п) =

2

РмРп-*

(4)

И

к — — оо

л

Р ( * +

У = п)=

2

P*P»-A-

(5)

U

{X,

У]. Тогда, каково

бы ни было z,

неравенство X +

У <

<

г равносильно тому, что

/7 окажется

в полуплоскости

Dz,

которая характеризуется

неравенством

х -f- у < z.

Следова­

тельно,

+оо

г — х

Р ( Л Г + K < z ) = ^ р(лт,

y)ds=

\(^

\

Р(х,

y)dy}dx.

Dz

—оо

—оо

Введя

новые

переменные

и = х,

v =

х + у,

выразим эту

ве­

роятность в виде

2

+00

Р(Х+

У<г)=

\

P(fi,

v —

u)du)dv.

pz(z)=

J р(и, z — u)du.

(6)

Проведенная выкладка

—оо

р[х,у)

заведомо законна тогда, когда

формулы

(10)].

_

Если X

и У независимы, то р(х,

у)

= р(х)р(у),

и формула

(6)

принимает вид

+оо

pz{z) =

^ р(и)р(г

— и)da.

(7)

—со

Мы видим, что в этом

случае плотность вероятности суммы

Z =

X + У есть свертка

плотностей

вероятности

слагаемых.