Файл: Васильков Д.А. Начала теории вероятностей учеб. пособие.pdf

щхг)=

2 2 w v = 2 2

дай=

убедиться в том, что, коль скоро

ряды

2 xlpi

и Е

t/^.

абсолютно сходящиеся, ряды,

определяющие

М ( Х + У )

и

преобразования

законны.

Очевидным образом свойство IV распространяется на лю­

бое конечное

число

слагаемых,

а свойство

V — на

любое

ко­

нечное

число

взаимно

независимых

множителей.

§

32. Математическое

ожидание

функции

случайной

величины

Пусть X

и

У =

f(X)

— дискретные

случайные

величины.

Если

X

принимает

значения

xit

х2,...,

причем

pk=P

(Х=

xk)

( / г = 1 ,

2,...),

то

ЦХ)

принимает

значения

f{x\),

Д х г ) , . . .

соответственно

с теми

же вероятностями.

Следовательно,

M(K) =

M [ f ( * ) i = 2 f W P f t .

W

если этот ряд сходится абсолютно.

k

Пусть теперь X — непрерывная

случайная

величина,

рас­

пределенная

с

плотностью

вероятности

р(х).

Предположим,

что

случайная

величина

У = f(X)

также

непрерывна,

11 Р(У)—ее

плотность

вероятности. Тогда

согласно

определе­

нию

математическое

ожидание

случайной величины У есть

М (К) =

М [/(*)] =

\урШУ,

(2)

—оо

+оо

М(К) = М [f (X)] = $ / (х) р (х) dx.

(3)

—оо

+оо

+СО

\ yp{y)dy=

^ f{x)p{x)dx,

(4)

—оо

—сю

здесь приведено. Мы ограничимся

тем, что докажем равен­

ство

(4)

в

предположении,

что f(x)—функция

с непрерыв­

ной

всюду

положительной

производной,

удовлетворяющая

условиям

lim f{x) — ± 0 0 . При этом (см. § 24, задача 9)

-г->-±оо

+оо

-foo

+оо

^

yp{y)dy— ^ yp{g{y))g'iy)dy

= ^

f(x)p(x)dx.

—00

—00

—00

y\p(Vy

+

c) + p(-Vy

+

c)]-^~dy==

О

2

Уу

4-со

-г-оэ

\

yp{Vy

+ c)-rir=dy+

^ yp{~Vy

+

c)~—dy.

Сделав в первом

слагаемом замену

переменного У у - j - с = х,

а во втором — ] / у + с = х',

получим

-foo

—оо

+00

^ (х - с)2 р (х) dx — ^

(х' — e)2p(x')dx'=

^

(х — с2 ) р {х) dx.

с

с

— оо

В заключение этого

параграфа

заметим, что если f(x) не

является

линейной

функцией,

то, вообще говоря, М [ / ( ^ ) ] ^

собный принимать

значения ukl [xk, у^

с вероятностями

ри

(k = 1, 2, ... ; / =

1, 2,...). Математическим ожиданием

слу­

чайной величины 0 называется

вектор

т = М(У) =

2 и 4 Л ,

(1)

ft, 1

^ \uki\Pki-

Воспользовавшись

формулами (3)

и

(4)

§

18,

представим

вектор т в виде

т

=

2

(xJ+yi

7)Ры

=

ft, i

=

( 2

Ч

2 / О '

+

Г 2

У1 2

Pki)7^al+bJ,

4

ft

г

у

4

/

л

у

где

а =

М(Х),

Ь =

М (П -

Если

U {X,

У] —непрерывная

случайная

величина,

а

р{х,

у)—ее

плотность вероятности, то, по определению,

мате­

матическим

ожиданием

этой

случайной величины

служит

вектор

m =

M.(U)=^

^u][x,

у}р(х,

y)dxdy,

(2)

—оо —оо

если

такой

несобственный

интеграл

сходится

абсолютно.

Nl(U) = ai + bj,

(3)

где а — ЩХ), Ь =

М{У).

Если Vr=f(X,

У)—функция случайных величин X

и У,

то, коль скоро X , У дискретны, применяя обычные обозначе­

ния, будем иметь

ЩИ*, n]=2/(*ft. УдРы

(4)

ft. I

mif(X,

У)]=]

\

/(*. У)Р(Х,

y)dxdy.

(5)

— О О —со

Отметим следующий частный случай: для J(x, у)=ху

бу­

дем иметь в дискретном

случае

согласно

формуле (4)

м ( * п = 2

(6)

а в случае, когда

множители

X и У непрерывны,

-Ьоо +со

М ( Л Г ) =

\

\

хур(х, y)dxdy.

(7)

—СО —00

Если суммы сг имеют предел

/

при X =

max

(х/.— х и—i)-y0.

то

этот

предел называется

интегралом

Стильтьеса

функции

{(х)

на

отрезке

[а, Ь]

относительно

функции

промежутка

Р(А)

или

относительно

интегрирую­

щей функции

F(x)

и обозначается

ь

/=

^

f(x)P(dx)

(6)

или

а

/ =

^

/(ЛГ)^(ЛГ).

(7)

а

Ь

f(x)dx

Очевидно,

обычный

интеграл

J"

есть частный

случай

интегра-

ла

Стильтьеса,

когда

Я(Д)

=

а

длина Д

и

соответственно

-Ff-v) =

=

длина

[о,

.х) =

х —

а*.

Интеграл

(6)

заведомо

существует

при

усло­

вии, что f(x)

непрерывна

на [а,

Ь].

Интеграл Стильтьеса обладает многими свойствами обычного опреде­

ленного

интеграла;

так,

например,

он зависит

линейно

от

функции

f(x)

и неотрицателен при

f(x)

>- 0.

В

то

же

время

в

отличие

от

обычного

интеграла

интеграл

(6)

может

измениться при

изменении значений

функ­

ции /(.v) в конечном числе точек

х',

х"

коль

скоро

хотя

бы одна из

них окажется точкой сосредоточения массы.

Отметим два простых частных случая. Сначала допустим, что суще­

ствуют m точек сосредоточения массы а<Х\<Сх3

<i • - • <xm<

Ь,

таких,

что

P(bi)=pi>0

на

отрезках

б/ =

[дг,-,.r,-J н,

каков

бы

ни

был

проме­

жуток

Д СГ [а,

Ь],

Р(Д)

равно

сумме

тех

рь

которые

соответствуют

точкам л-,-, попавшим в Д;

другими

словами,предполагается,

что

вся

мас­

са

ро =

Р([а,

Ь])

сосредоточена

в

точках

х ь

хг,...,

л',„.При

разбиении

отрезка

[а,

Ь]

на

достаточно

малые

промежутки

(2)

в

некоторые

Д л- не

попадает пи одна из точек

л:;, в

другие— Д Л

] ) A f c j

> .

. . , Aftm (&i

< < ! « < • • • <

<km)—попадут

соответственно

хи

л'г,. . . ,

хт.

При

этом

сумма

(3)

при­

мет

вид

т

°=

2/(Ц)Рл

(8)

/=1

Если

f(x)

непрерывна

в

точках

xi(i=

1, ... ,/л) ,

то

при

\->0

сумма

(8)

будет

иметь предел

^

f(x)P(dx)

=

^

<9)

Теперь

допустим,

что

функция

(4)

имеет

производную р{х),

интегрируе­

мую

на

отрезке

[а, Ь].

В терминах

распределения

масс

существование

производной функции

F(x)

означает,

что

Я(Д) =

р(х)

• длина

Д +

о (длина

Д),

щей

* Так как

в

выражении

а входят

лишь

приращения

интегрирую­

функции,

то

F(x)

всегда

можно

заменить

функцией

вида

F(x)-\-C.

ь

В

частности,

в

J f(x)dx

интегрирующей

функцией

служит

также