Файл: Васильков Д.А. Начала теории вероятностей учеб. пособие.pdf

вим

себе, что на числовой прямой распределена

единичная

масса

таким

образом,

что на

любом

промежутке А оказыва­

ется

ее часть, составляющая

ровно

| . i ( A ) = P ( X 6

А)

грам­

мов.

Если X дискретна и принимает значения х\,

х 2 , . . . , то

эта

масса оказывается сосредоточенной в точках

Х\,

х2,...,

причем

на долю хк

приходится масса, равная

pk=P(X=xk).

Если

X — непрерывная

случайная величина,

то соответствую­

щая

ей масса распределяется с линейной плотностью

р{х),

равной

плотности вероятности.

Такое распределение масс может рассматриваться как

своего

рода

механическая

модель

случайной величины X.

Простейшие

числовые

характеристики,

которые

мы

сейчас

рассмотрим,— математическое ожидание

и дисперсия случай­

ной

величины X — будут соответствовать

в этой модели

цент­

ру масс и моменту

инерции.

Первая

будет

указывать

точку,

вокруг

которой группируются значения

случайной

величины

X, а

вторая

будет

служить

мерой разброса

X. Та и

другая

Математическим

ожиданием

дискретной

случайной вели­

чины X, принимающей значения хи

х2,...

соответственно с

'вероятностями р\,

р2,... , называется

число

М(*) =

2

•

(1)

к

4*

51

сходился абсолютно. Если ряд (1) или ряд 2 1**1 РА

Р а с "

к

величины X не

существует.

непрерывной

случайной

вели­

Математическим ожиданием

чины X, обладающей плотностью вероятности р(х),

называ­

ется число

M W =

J xp(x)dx.

(2)

—ОО

В том

случае,

когда плотность

р(х)

равна

нулю

вне

неко­

торого

отрезка,

интеграл (2)

заведомо

существует.

В против­

несобственный

интеграл (.2) был

абсолютно

сходящимся.

Н-ОО

Если интеграл

(2) или интеграл

|

\х\ p(x)dx

расходится,

—ОО

вами.

X

20), то М(Х) = С.

I .

Если

s C

(см. §

I I .

Если

X

> 0

и

М(Х) существует, то Ift(X) > 0.

I I I .

Если

М(Х)

существует, то, каково бы ни было посто­

янное

с, М(сХ)

также

существует и М(сХ) = сМ(ЛГ).

I V .

Если

М(Х)

и

М(У)

существуют, то М(Х-г-У)

также

существует и М (X + У) =

М (X) + М (У).

V .

Если X и У независимые случайные величины

и

М.(Х),

М(У)

существуют,

то

M(XY) также существует и

М ( Л Т ) =

Свойство

I

очевидно.

Переходя

к свойству

I I , заметим,

что если случайная величина X

дискретна и

неотрицательна,

то в формуле

(1) xk >- 0

(ft == 1, 2, ... ) . Если

же

X

непрерыв­

на и неотрицательна, то ее плотность вероятности

р(х)

тож­

дественно равна нулю при х <

0 и

в формуле

(2)

интеграл

можно брать на промежутке [0,

+ о о ) . В

обоих

случаях по­

лучим

неравенство Ж(Х)

>• 0.

Что

касается свойства

I I I ,

то

оно

очевидно

при

с — 0.

Предположив,

что с Ф 0,

рассмотрим сначала случай,

когда

X — дискретная

случайная величина,

принимающая

значения

х,, Хг,...

с вероятностями

р\, р2,...

. Тогда сХ с теми же ве­

роятностями

принимает значения сх\, сх 2 , ... . При

этом

М (сХ) = 2 (cxk) pk =

с 2 ЧРк = сЖ (X);

если

множество \xk)

счетно, то

абсолютная

сходимость

ряда

2 xhpk

обеспечивает абсолютную

сходимость

ряда

Б {схк) рк.

Если

Х-—непрерывная

случайная величина,

распределенная

с плотностью_ вероятности

р{х),

то

Y = сХ

имеет плотность

вероятности р(у) = \с\-1р(с-[х)

(см. § 24, задача

7(a));

сле­

довательно,

-f-oo

+00

Ж(сХ)=

^ УРШУ

= Щ

^

yp^JL^dy.

—00

—ОО

Заменой переменного

у =

сх

придем

к равенству

+CO

М (сХ) = с

^

хр{х) dx = сМ [X).

—СО

Свойства IV и V в их общей

формулировке не могут

быть

доказаны, ибо

Ж(Х)

определено

здесь лишь

для

дискретных

•л непрерывных

X, тогда

как сумма

двух непрерывных

слу­

прерывна,

могут не

быть

ни дискретны, ни

непрерывны

(см.

§ 24, задачи 13, 14). Поэтому мы докажем свойства IV и V

лишь для дискретных случайных величин. Итак, пусть X при­

нимает

значения х\,

х2,...,

а У— значения

у\,

у2

Обо­

значим

Р / ^ р ( Л - =

^ ) , р у =

Р ( К =

^ ) , Р ( , = Р1(Х =

=

у,)).

(3)

Тогда

X +

У будет

принимать значения xt

-j- yJt

a

XY — зна­

чения

x,yj

соответственно с вероятностями Ру*; при этом

(см. §

18,

формулы

(3),

(4))

+ 2

УJ 2 pv = 2 ад + 2

ад=вд^м

(Г).

Если X и У независимы, то согласно §

19

Pij = PtP/>

* Среди

сумм xi + yj

и произведений

могут встретиться рав­

ные числа, если для некоторых

пар

индексов

(I'I, /1), (t2 ,

/ 2 ) , . . .

хн

+ yh

= ДГ,-2

+ # / , =

•••