Файл: Васильков Д.А. Начала теории вероятностей учеб. пособие.pdf

Pz (z) —

\ Р (") P{z-u)du.

(8)

о

§

24.

Задачи

к главе 2

1. Производится

серия независимых испытаний,

в

каждом

из

которых

с вероятностью р

(0 <

р

<

1)

может

иметь место исход А. Найти закон

распределения числа X испытаний, если последние прекращаются,

как

только

первый раз произойдет

А.

О т в е т :

Р(Х

=

k) =

q"^

р

(k

=

1,

2 , . . . ; q—

\

—р).

2.

Случайные

величины

Хь

X s , Х 3

таковы,

что

P(Xi ф Х2 ) =

0

и

Р{Х2фХ3)=0.

Доказать,

что

Р(Х, = £ Х 3 ) = 0 .

У к а з а н и е .

Так как

\Xi

— X3

\ < | Хг

— X , | - f I X,

— Х3\,

то собы­

тие

( | X, — Л3 1 >

0)

влечет

за

собой

( | Хх

— X , | >

0) +

( | X, — Х31

>

0).

3.

Случайные

величины

Х\

и Х2

таковы,

что,

каково

бы

ни

было

е >

О,

Р( | X,—Х2

|

3> в) =

0. Доказать, что

Р(Х,

Х2 ) = 0.

У к а з а н и е .

Если

е л

>

e n+i

(п =

1,

2 , . . . ) ,

11т Е„ = 0,

то

оо

(ХхФХъ)=

2

(«»•!< 1-^1-^1 <

«я) +

( 1 ^ 1 - ^ | >

e

i ) C

00

с 2 (i^-x3 i> t„).

4.

Случайные

величины X и X ' таковы, что Р(Х

фХ')=

0.

Доказать,

что X и X' имеют одинаковые

законы

распределения.

У к а з а н и е .

Пусть

А = (X £Д),

Л ' = (А" еД), В

=

(X =

X ' ) , где

Д — произвольный

фиксированный промежуток. Тогда

P ( f l ) =

1, АВС

А',

Л'ВСА

и

согласно замечанию

I I

в

§ 8

Р(АВ)

=

Р{А)Р(В)

=

Р(А)

к

< Р(Л'),

Р(А'В)

=

Р ( Л ' ) Р ( В ) = Р ( Л ' )

<

Р(Л) .

5.

X — произвольная

случайная

величина, {Мп)

—какая-либо

числовая

последовательность,

стремящаяся

к

+ о о . Доказать,

что 11m Р

(\Х\>М„)=0.

F(x)—функция

л-кэо

У к а з а н и е .

Если

распределения

случайной

величи­

ны

X,

то

Р (X > Мп) = 1

—

F Шп).

Р(Х

< — М„) <Р

(X

< — М„ +

I)

=

= F(-

Мп + 1).

величины X и У независимы и

распределены равномер­

6.

Случайные

но

на

отрезке [—Л,

h]

( Л > 0 ) .

Найти

плотность

вероятности

р

(г)

сум­

мы Z =

X +

У.

z

О т в е т :

рz(z)

=

(

1 —

на

отрезке

[—2/г, 2я];

(г) =

О

при

| г

| >

2/г.

величина X имеет функцию распределения F{x).

7.

Случайная

Найти

функцию

распределения

G(y)

—

Р(У <с t/)

случайной

величины

У

в

сле­

дующих

случаях- .

а)

У =

аХ

(афО);

б)

У =

о Х +

b

(а

0);

в)

У =

Х2 ;

г)

У =

( Х - С ) ' ;

Д)

Y =

\X\.

О т в е т :

a)

G(y)=

F(a-1y)

при

а >

О,

G(y)=

1 — F(a-ly

+ 0)

при а <

0,

~Р (У)

=

\а\~1р(а-1у);

б)

G(y)

=

F(а-1

(у — Ь))

п р и а > 0 ,

G(j)

=

l - F ( r ' ( j / - 6 ) + 0 )

при

а <

0,

р(у)

=

\а\-1р(а-Цу-Ь));

в)

G(y)

=

F(Vy)~F(-

У 7 + 0 )

(</>0)*,

р (</) = j p «

[р

+ Р ( -

/ й ]

(</ > о);

г)

0 ^ )

=

/ ? (1 /7+с ) — - F ( -

У 7 + С +

0)

(ff>0),

T(y)

=

^^[p(Vy

+

c) + P(-Vy

+

c)]

(y>0);

A) G(y)=F(y)-F(-y+0)

(y>0),

Р(У)

=

Р(У)+

Р(-У)

(У>0).

8. Положительная случайная величина X имеет

функцию распределе­

ния F(x). Найти функцию распределения

G(y)

случайной

величины

Y

в

следующих

случаях:

а)

У =

У~Х-

б)

Y=\nX.

Предположив дополнительно,

что X — непрерывная

случайная величина

с

плотностью вероятности р ( х ) , найти (в

тех

же случаях)

плотность

ве­

роятности р(у)

случайной

величины

У.

О т в е т :

a)

G(y)=F{y*)

{у>0),

р(у)

=

2ур(у*)

(у>0);

б)

G(y)=F(ey),

~р(у)=еУр(еУ).

9.

F(x)

есть функция

распределения

случайной

величины X,

f(x)

—

пределения

G(y) случайной

величины Y =

f(X). Предположив дополни­

тельно, что

X распределена

с непрерывной

плотностью р ( х ) и f(x) имеет

роятности р(у)

случайной величины

Y.

f(x)

О т в е т :

если

g(y)

— обратная

по

отношению к

функция,

то

G(y)=

F(g(y)),

когда

f(x)

возрастает

на

(—_оо,

+

оо);

G ( i / ) = 1 —

—

F(g(y)+0),

когда / ( * ) — убывающая

функция; р(у)=

|g'(y)\p{g{y)).

10. Пусть

X

и У — независимые

случайные

величины.

Показать,

что

1)

при

любых

постоянных а\,

02,

Ь\,

62 — случайные

величины, Xt

=

=

a i Z + a 2 ,

Yi

=

b\Y +

b2 независимы;

2)

каковы бы

ни

были монотон-

чайные

величины

Хт

и У"

также

независимы.

— дискретная

случайная

величина,

принимающая

значения

1 и

— 1 , каждое

с вероятностью ~ ,

a

У— непрерывная

случайная величина

с

непрерывной плотностью вероятности ру ({/). Считая X и У независимыми,

найти законы

распределения

их

суммы

и

произведения.

О т в е т :

и = X + Y

и

V =

XY — непрерывные

случайные

величины;

их

плотности

вероятности

Р,л(иТ{=

[ А Д и

— •) +

Р „ ( " +

')]>

A , (V ) =

=

~\PY{v)

+

PY(-v)\.

и

У

У

V

12. X — дискретная

случайная

величина,

принимающая

значения

Х\

> 0,

*г >

0,.. . , * „

>

0,

причем

Р(Х

—

х/,)

~

Р/с

[k

=

1,

2 , . . . , л),

а

У — непрерывная

случайная

величина

с

непрерывной

плотностью

веро­

ятности

ру

[у). Считая

X

и

У независимыми,

найти

законы

распределения

их

суммы

и

произведения.

О т в е т :

U — X +

Y -а

V =

XY — непрерывные

случайные

величины;

п

п

их

плотности

вероятности

р у

(и) =

2

Р*Ру

(" —

- Р ^ (»);=

2

~

*

х

1

1

х

X

Р у 1

13.

А" — дискретная

случайная

величина,

принимающая

значения

* i

> 0, ... .

хт>0,

* 0

=

0,

* i ' < 0 , . . . ,

.«„ <

0

с

вероятностями

p f

t =

=

Р(Х = х*)

(k

=

1

m),

ро =

Р(Х =

0),

р /

=

Р(Х =

* / )

0'

=

= 1, . . . , n ) ,

а У—случайная величина, имеющая

функцию

распределе­

ния Fy(y).

Предположив,

что X и У независимы, найти

функцию распре­

деления

произведения

V=XY.

Выяснить,

является

ли

V

непрерывной

слу­

чайной величиной тогда, когда У непрерывна.

m

п

О т в е т :

при

о >0

Fy

(о) =

р 0 +

^

Р*Л, Г —

^

+

2

Р/

Г 1

~

m

п

/JL+ОЛ!,

при

V <

O

F

( V ) =

2 "*^CirV 2"/Г

~ '

r C

t

+

' )

]

-

О т в е т :

f

(и) = 0

при

и < 0,

f

(ц ) = Т + ф ( " Т ) п р и

К

>

°'

15.

Случайная

величина

распределена

по

закону

Гаусса с плот­

ностью

ф(х;

а, а ) . Показать,

что при любых

о

ф

0 и

6

случайная ве­

личина

У =

аХ +

Ъ также

распределена

по

закону

Гаусса

с плотностью

у(у; аи

ffi);

вычислить ai

и

а\.

О т в е т :

a-i = аа + Ь, а 1 = | а | о.

р (п, ft) = Р ( * = ft) =

Chn?*q»-\

(1)

где q = 1 — р. Если 0 < ft, < k2 < п,

то

Р (ft, < X < k2) =

2

/> (п. *) =

2 Сл*рУ~А-

(2)

*=*,

ft=ft,

Вычисление вероятностей

(1)

и особенно

(2) при больших

предельных соотношений, справедливых при п

со.

Начнем с рассмотрения примера. Допустим, что в некото­

ром сосуде V заключены п молекул газа. Выделим в нем не­

большую область v. Тогда (см. § 7)

вероятность

р для лю­

бой данной молекулы в какой-либо

фиксированный

момент

о б ъ ем и

Р

объем V

' '