Файл: Васильков Д.А. Начала теории вероятностей учеб. пособие.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 05.08.2024
Просмотров: 61
Скачиваний: 1
когда |
Д стягивается к |
точке |
х. |
Применив |
к разностям |
F(xk)—F(xk—\) |
в формуле (5) теорему |
Лагранжа, |
запишем а |
в виде |
|
||
|
|
2 |
/№*)Р ( & ( * * - * * - ! ) • |
(10) |
||
|
|
А=1 |
|
|
|
|
Если |
одновременно с суммой |
(10) |
рассмотреть |
сумму |
|
|
то |
нетрудно |
обнаружить, коль |
скоро |
непрерывна, |
что |
о' — о |
->0 |
|
при |
X -*• 0 |
и, |
следовательно, суммы о |
и о' будут иметь |
один |
и тот |
же |
|
предел. Таким |
образом, в этом |
случае |
|
|
|
|
||
*ь
^ f(x)P(dx) |
= |
^ f(x)p(x)dx. |
(12) |
аа
Теперь |
рассмотрим |
промежуток |
Д0 |
= (—°о, + ° ° ) . Снова |
|
предполо |
|||||
жим, |
что задана функция промежутка |
Р(А), |
удовлетворяющая |
условиям: |
|||||||
Г) |
Р{А) |
определена, |
в частности, |
при Д = |
Д0 ; |
|
|
|
|
||
2') |
Р(А) |
> |
0 для любого ДСГД0 ; |
Д |
|
, |
на |
конечное |
или счетное |
||
3') |
если какой-либо промежуток |
разбит |
|||||||||
число |
попарно |
непересекающихся промежутков |
Дь |
Дг |
то |
Р(А) = |
|||||
=2 Р ( Д * ) .
к
Зададим на Д0 функцию точки |
F ( . v ) = P ( ( — о о , |
л;)). Пусть на До опре |
||||||||||||||||||
делена |
функция |
f(x). |
|
Функция |
промежутка |
Р(А) |
задает |
некоторое |
рас |
|||||||||||
пределение |
массы |
на |
любом |
отрезке |
[а, Ь]. |
Если, |
каковы |
бы ни были |
а и |
|||||||||||
Ь ( о < й ) , |
существует |
интеграл |
Стильтьеса |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ь |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1= |
\ |
f{x)P(dx), |
|
|
|
|
|
|
(13) |
|||
который |
как |
функция |
переменных |
а |
и 6 |
имеет |
конечный |
предел |
|
при |
||||||||||
а ->•—оо, |
6->--|-оо, |
то |
такой предел |
называется |
интегралом |
Стильтьеса |
||||||||||||||
функции |
f(x) |
относительно |
функции |
Р(А) |
или |
относительно |
интегриру |
|||||||||||||
ющей |
функции F (х) |
на |
промежутке |
|
Д 0 = ( — о о , |
+ ° ° ) |
и |
обозначается |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+оо |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
J |
= |
\ |
fWP(dx) |
|
|
|
|
|
|
(14) |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
— С О |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
\ |
|
|
f(x)dF(x). |
|
|
|
|
|
(15) |
|
Такой интеграл заведомо существует тогда, когда f(x) |
непрерывна |
и |
ог |
|||||||||||||||||
раничена |
на До- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Отметим в заключение, что приведенные здесь |
определения |
интег |
||||||||||||||||||
ралов |
Стильтьеса |
(6) |
и |
(14) |
не |
являются |
самыми общими, |
но они |
до |
|||||||||||
статочны для |
наших |
целей. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
59
§ 35. Общее определение математического ожидания
|
Пусть задана произвольная случайная величина X. Ее закон рас |
||||||||||||||||||||||||||||
пределения однозначно определяет неотрицательную о-аддитнвную |
функ |
||||||||||||||||||||||||||||
цию |
промежутка |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Р(Л) = |
Р ( * 6 Д ) . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(1) |
||||||
Функция |
(1) |
не только |
|
конечна, |
но |
даже |
нормирована: |
|
это |
означает, |
|||||||||||||||||||
что |
Р(До) = |
|
1. |
Введем |
соответствующую |
функцию |
распределения |
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
F(x) |
|
= |
/ > ( ( - о о , |
х)) |
== Р (Х<х). |
|
|
|
|
|
|
|
|
(2) |
||||||||
Предположим, что на Д0 задана непрерывная функция f{x). |
По |
опреде |
|||||||||||||||||||||||||||
лению, |
математическим |
|
ожиданием |
случайной |
величины |
f(X) |
|
называется |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
-Ьсо |
|
|
|
|
|
|
+оо |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
М UI (X)] |
=3 |
[f(*)P |
|
|
W |
= |
^ |
|
/ (*) dF |
(X), |
|
|
|
|
|
(3) |
|||||||
если только этот интеграл абсолютно сходится, т. е. помимо интеграла |
(3) |
||||||||||||||||||||||||||||
существует |
|
^ |
| [ (х) \ dF |
|
(х). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
— |
|
|
|
|
|
|
f(x) |
= |
х, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
В |
частности, |
положив |
получим |
математическое |
ожидание |
||||||||||||||||||||||||
самой |
случайной величины |
X: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ч-оо |
|
|
|
|
|
+оо |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
M ( y Y ) = |
^ |
xP(dx) |
|
= |
^ |
xdF(x). |
|
|
|
|
|
|
|
|
(4) |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
—оо |
|
|
|
|
|
—оо |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Если X и {(X)—дискретные |
случайные |
величины, |
то |
|
в |
силу |
сказан |
||||||||||||||||||||||
ного |
в |
§ |
34 |
|
интеграл |
(4) |
сводится |
|
к |
сумме |
(1) |
§ |
31, а |
|
интеграл |
(3) — |
|||||||||||||
к сумме |
(1) |
|
§ |
32. |
Если |
же |
X — непрерывная случайная |
величина |
и, |
сле |
|||||||||||||||||||
довательно, |
ее |
функция |
распределения |
|
F(x) |
имеет |
производную |
р(х) |
— |
||||||||||||||||||||
плотность вероятности случайной величины X, интегрируемую на любом |
|||||||||||||||||||||||||||||
конечном |
отрезке, |
то интеграл |
(4) |
сводится |
к |
интегралу |
(2) |
§ |
31, |
а |
ин |
||||||||||||||||||
теграл |
(3) — к интегралу |
(3) |
§ |
32. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
В |
общем |
случае М(Х) |
обладает |
свойствами |
I I — V , |
|
перечисленными |
|||||||||||||||||||||
в § 31. Из них первые два—элементарные |
свойства интеграла |
Стильтье- |
|||||||||||||||||||||||||||
са; доказательство свойств IV и V более сложно. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
Докажем |
следующее |
|
свойство |
|
математического |
ожидания: |
если |
||||||||||||||||||||||
X > 0 |
и |
М ( Я ) = 0 , |
то |
X |
|
с вероятностью |
1 |
равна |
нулю. |
|
В |
самом |
деле, |
||||||||||||||||
пусть F(x)—функция |
|
распределения |
случайной |
величины |
|
X. |
По |
условию |
|||||||||||||||||||||
F(x) |
= |
0 при |
х |
< 0, поэтому |
достаточно |
доказать, что F(x) |
= |
1 при |
х > 0 . |
||||||||||||||||||||
Если допустить, что F(-f-0) = |
/ <J 1, то |
можно найти |
значение |
х = х0 > О, |
|||||||||||||||||||||||||
при |
котором |
|
F(x) |
непрерывна |
и |
/ < |
F(x0) |
— |
la <• I . Для |
функции |
|
f(x), |
|||||||||||||||||
равной |
нулю |
при |
0 < |
х<х0 |
и |
равной |
|
х0 |
при |
х |
> |
х0, |
будем |
иметь |
нера |
||||||||||||||
венство f\x) |
<Сх |
(0 < х |
< |
|
+ |
оо) |
и |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
+оо |
|
|
|
+оо |
|
|
|
|
|
|
+0О |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
!Л(Х)= |
|
xdF(x)> |
*\jf(x)dF(x)= |
|
|
^ |
x0dF(x) |
|
= |
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
х„ |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
= |
x0[l-F(x0)\ |
|
|
= |
x0(l-la) |
|
|
> |
0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
§ 36. Дисперсия случайной величины
Предположим, что случайная величина X такова, что су ществует М(Х2)—математическое ожидание ее квадрата. 60
При этом будет существовать и M(J)—математическое ожидание самой случайной величины X. В самом деле, если X дискретна, то (в обычных обозначениях) будем иметь
1**|Р*<4"С** + \)рк, |
|
и из сходимости рядов %рк и ^хкрк |
будет следовать |
сходимость ряда Щхк\рк\ если X непрерывна и распреде лена с плотностью вероятности р(х), то существование N[(X) будет вытекать из неравенства
Коль скоро существует М(Х2 ), при любом с будет сущест
вовать |
математическое |
ожидание случайной |
величины |
(X-\-с)2, |
а из существования М [ (/Y-|-с)2 ] при некотором с |
||
вытекает |
существование |
Ш(Х2). Это следует из |
сказанного |
выше и из общих свойств математического ожидания, если,
положив X + с = X', заметить, что X'2 = X2 + |
2сХ + с2 и |
|
X = Х' — с. |
|
|
Теперь покажем, что, коль скоро |
существуют |
математиче |
ские ожидания квадратов случайных |
величин X и У, сущест |
|
вует также математическое ожидание их произведения. Пусть
X и У дискретны, X принимает |
значения хи |
х% |
, У; значе |
||
ния у\, у2,... |
обозначим, |
как обычно, |
|
|
|
Pl==p{X |
= Xl), pk = P(Y = yk), |
р „ = Р [(* = |
*,) |
= |
|
Так как при всех i и к |
|
|
|
|
|
то |
Pik < |
Р<> |
Pik < РА. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
i Pik < 4" (*' + y *) p <* < 4" ^ |
+ 4"y* p*- |
( 1 } |
|||
Если же X, Y \\U [X, Y) — непрерывные случайные |
величины, |
||||||
имеющие |
соответственно |
плотности вероятности |
р(х), |
р(у) |
|||
и р(х, |
у), |
то |
|
|
|
|
|
|
|
\ху\р(х, у)^-±-(х2 |
+ у2)р(х, |
у). |
' |
(2) |
|
Коль |
скоро существуют |
М(А"2) |
и М(У2 ), из неравенств |
(1) и |
|||
(2) вытекает абсолютная сходимость ряда и несобственного
интеграла, представляющих M(XY) |
(см. § 33, формулы |
(6) |
|||
и (7)). |
|
|
|
|
|
Если существуют M(/Y2 ) и М(У2 ), |
то при любых с ь |
с2 |
|||
произведение (X — Ci) (У — с2 ) также |
будет |
иметь математи |
|||
ческое ожидание. В частности, выбрав |
Ci = |
а = |
М(Х), с2 = |
||
п= Ь — М(У), в результате несложной |
выкладки |
получим |
|||
Щ(Х — а) (У — 6)] = |
М(ХУ)— аЬ. |
(3) |
|||
61
В том случае, когда X, У независимы, М(АТ) = ab и из фор мулы (3) будет следовать равенство
|
|
|
|
|
|
Ш[(Х |
— о) (У— Ь)}= |
0. |
|
|
(4) |
|||||||
Заметим |
еще, |
что |
в |
силу |
тождества |
(X + |
У)2 = X2 |
+ |
||||||||||
-f- У2 + 2АТ, |
М[(А" + |
У)2 ] |
существует, |
коль |
скоро |
существу |
||||||||||||
ют Ж(Х2) |
и М(У2 ). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Предположим теперь, что случайная величина X обладает |
||||||||||||||||||
математическим |
|
ожиданием |
М ( А " ) = а . |
Дисперсией |
случай |
|||||||||||||
ной величины X называется число D(X), равное математиче |
||||||||||||||||||
скому ожиданию квадрата отклонения X от а (если оно су |
||||||||||||||||||
ществует). Итак, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
D(X)=M[(X-a)*]. |
|
|
|
|
|
|
|
|
(5) |
|||||
Из этого определения следует, что D(A") |
существует тогда |
|||||||||||||||||
и только |
тогда, |
когда |
существует |
М(Х2 ). |
|
|
|
|
|
|||||||||
Если |
X — дискретная |
случайная |
величина, |
принимающая |
||||||||||||||
значения |
Х\, |
Хо,... |
с вероятностями |
plt |
/0 2 , . . . , |
то |
получим |
вы |
||||||||||
ражение |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
D |
W |
= |
S ( * * - ° ) 2 Р А - |
|
|
|
|
|
(6) |
|||||
В том случае, когда |
X — непрерывная |
случайная |
величина с |
|||||||||||||||
плотностью |
вероятности |
р(х), |
то |
согласно |
определению |
(5) |
||||||||||||
и формуле (3) |
§ |
32 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
+ос |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
D (X) |
= |
^ |
(х - |
я)2 р (х) dx. |
|
|
|
|
(7) |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
—оо |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
В общем |
случае |
(см. § 35) |
дисперсия |
D(X) |
случайной |
величины X, |
||||||||||||
обладающей функцией распределения F(x), выражается интегралом Стильтьеса
+0O
|
|
|
D (A) = |
J (x-a?dF{x). |
|
|
|
|
|
(8) |
|
|
|
|
|
—оо |
|
|
|
|
|
|
|
Далее в этом параграфе рассматриваются только случай |
|||||||||||
ные величины, квадраты |
которых обладают математическим |
||||||||||
ожиданием. Отметим основные |
свойства |
дисперсии. |
|
|
|||||||
I . Дисперсия постоянной |
равна |
нулю. |
|
|
|
||||||
I I . |
D(X) |
> |
0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
I I I . |
D(A")=M(X 2 ) — [М(А)] 2 . |
|
|
|
с) = |
|
|||||
IV. Каково бы ни было постоянное |
с, |
D(A + |
D(A"). |
||||||||
V. Каково бы ни было постоянное |
с, |
D(cA)== |
c2D(X). |
||||||||
V I . Если |
А" и |
У независимы, |
то D(X |
+ |
У) = D(X) |
+ |
D(Y). |
||||
Свойства |
I и |
I I прямо следуют |
из |
формулы |
(5) |
и про- |
|||||
стейших свойств математического ожидания. Заметим, что случайная величина X, для которой D ( A ' ) = 0 , с вероят62
