Файл: Васильков Д.А. Начала теории вероятностей учеб. пособие.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 05.08.2024
Просмотров: 60
Скачиваний: 1
ностыо, |
равной |
единице, |
постоянна |
(см. § |
35 |
последний |
аб |
|||||||||||||||
зац). Свойство |
I I I доказывается |
следующей |
выкладкой: |
|
|
|||||||||||||||||
D (X) |
= |
М (X2 — |
2аХ + а2) |
= |
М (X2) — |
2аМ (X) + а2 |
= |
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
= |
M(Z 2 ) |
— а 2 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Отсюда, |
|
в частности, вытекает |
неравенство |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
[ Л С Д ] 2 |
< M ( Z 2 |
) . |
|
|
|
|
|
|
|
|
(9) |
|||||
Переходя к свойствам IV и V, предположим, что |
|
с — ка |
||||||||||||||||||||
кая-нибудь постоянная и М(Х)=а; |
|
тогда |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
V(X |
+ c) — M[[(X+c) |
|
— (a + с)}2} = М [{Х- |
а)2] = |
D (X) |
|
||||||||||||||||
и |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
D(cX) = |
М[(сЛ: — с а ) 2 ] = |
с2 М[(Х — а ) 2 ] = |
c2 D(X). |
|
|
|||||||||||||||||
Теперь |
допустим, |
что |
X |
и |
У |
независимы, |
|
|
Ж(Х)—а, |
|||||||||||||
М ( У ) = й |
и, |
следовательно, |
М(X + |
У) = |
а + |
6. |
В |
силу |
(4) |
|||||||||||||
0(Х+У) |
|
|
= ГА[{Х + У-а-Ь)2] |
|
= |
IA \[(Х- |
|
а) + (Г - |
|
б)]2 ) |
= |
|||||||||||
= |
|
M[{X |
— a)2+(Y |
|
— b)2 |
+ |
2{X — a)(Y—b)] |
|
= |
|
|
|||||||||||
= |
|
M[(X |
— a)2] + |
|
|
|
|
M[(Y—b)2]=D(X)+D(Y). |
|
|
||||||||||||
Свойство V I очевидным |
|
образом |
распространяется |
на |
любое |
|||||||||||||||||
конечное число попарно независимых слагаемых. |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
Заметим |
далее, |
что |
согласно |
свойству |
V, если |
случайная |
||||||||||||||||
величина |
|
X |
имеет |
определенную |
|
размерность |
dim X, |
|
то |
|||||||||||||
dim D(X) |
|
= |
(dim X)2. |
Желая |
получить меру разброса |
|
случай |
|||||||||||||||
ной величины X, имеющую ту же размерность, что и X, вво |
||||||||||||||||||||||
дят величину |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
о(Х) = у-Щх), |
|
|
|
|
|
|
|
|
(10) |
|||||||
которая |
|
называется |
средним |
квадратичным |
отклонением |
слу |
||||||||||||||||
чайной |
величины X |
(от ее математического |
ожидания). Свой |
|||||||||||||||||||
ства V и V I дисперсии |
могут |
быть |
сформулированы |
так: |
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
а(сХ)=\с\а(Х); |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(11) |
||||||
для независимых X и У |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
а2(Х-\- У ) = |
a2(X) |
+ a2(Y). |
|
|
|
|
|
|
(12) |
||||||||
Введем еще некоторые понятия, полезные для дальнейше |
||||||||||||||||||||||
го. Случайная |
величина |
называется |
центрированной |
|
*, |
если |
||||||||||||||||
ее математическое ожидание |
равно |
нулю. Очевидно, |
если |
су |
ществует M(/Y) = а, то X' — X —а, т. е. отклонение X от ее математического ожидания является центрированной случай
ной |
величиной. Таким |
образом, |
«центрирование» случайной |
|
величины достигается |
специальным выбором |
начала отсчета. |
||
* |
Точнее говоря, центрированной |
математическим |
ожиданием. |
63
Случайная величина, обладающая математическим ожи данием, равным нулю, и дисперсией, равной 1, называется нормированной. Какова бы ни была случайная величина X, имеющая математическое ожидание Ж(Х)—а и среднее квадратичное отклонение cr(/Y)>0, случайная величина
* = т ш - ( * - а > - |
( 1 3 ) |
т. е. отклонение X от а, отнесенное к а(Х), представляет со бой нормированную случайную величину. Об X говорят, что она получена нормированием случайной величины X. Мы ви дим, что нормирование осуществляется переносом начала от счета в точку а и выбором а(Х) в качестве единицы мас штаба.
Из формулы (13) следует очевидное равенство
|
Х=аХ |
+ а, |
(14) |
где а = |
а(Х). |
|
|
|
§ 37. Дисперсионная матрица векторной |
|
|
|
случайной |
величины |
|
Пусть |
векторная случайная |
величина U {X, V] |
такова, |
что существуют математические ожидания квадратов ее ком
понент. |
Аналогом |
дисперсии |
для U {X, |
|
У) служит |
дисперси |
|||||||||
онная |
матрица |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
с элементами |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
ft,, |
= |
Щ(Х~а)2]= |
|
D(X), |
|
b22 |
= |
M[(Y-b)2]=D(Y), |
|
|
(2) |
||||
|
|
|
|
b12 |
= |
b21 = |
M[(X-a)(Y-b)], |
|
|
|
|
(3) |
|||
где |
а=М(Х), |
6 = |
М(У). Постоянная |
(3) называется |
кова- |
||||||||||
риацией |
или |
корреляционным |
|
моментом |
случайных |
величин |
|||||||||
X и |
У. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
' < |
|
|
Как |
показано |
в § 36 (см. формулы |
(3) и (4)), в том слу |
|||||||||||
чае, когда X и У независимы, |
bi2 = ft2, |
= |
0, и В оказывается |
||||||||||||
диагональной |
матрицей. |
|
|
|
|
—> |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
Для /г-мерного случайного вектора |
U (Л,, |
Хп] |
с компо |
|||||||||||
нентами Хь |
для которых |
существуют |
|
М(Л^,)==а,. и |
М(А",-2) |
||||||||||
(i = |
1,...,/г), |
дисперсионная |
матрица |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
/ |
Ъп |
& 1 2 |
. . . ft,, |
|
I |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
\ |
bni |
b n i |
. . . b„ |
|
|
(4) |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
64
определяется |
аналогично |
|
blk = bki |
= m [(X, - a,) (Xk - ak)} (i, k — 1 |
n). (5) |
На главной диагонали матрицы В оказываются дисперсии компонент, вне главной диагонали-—ковариации. В том слу чае, когда компоненты попарно независимы, b[k=0 при l^k.
§ 38. Моменты случайной величины
Пусть т — целое неотрицательное число. Моментом (или начальным моментом) порядка m случайной величины X на зывается
ат = Ж(ХП, |
(1) |
если это математическое ожидание существует. Одновремен
но с а т существует абсолютный |
момент порядка m |
|
Рт = Ш(\ХГ). |
(2) |
|
Если М(Х)= а, то центральным |
моментом порядка m |
назы |
вается |
|
|
^Т = Щ{Х-аП |
(3) |
если это математическое ожидание существует. Коль скоро (Ат существует, существует и абсолютный центральный мо мент порядка m
|
|
|
M(]X-a\m). |
|
|
(4) |
||
Мы |
замечаем, |
что |
математическое |
ожидание случайной |
||||
величины |
есть си — момент |
порядка |
1, а дисперсия — цент |
|||||
ральный |
момент |
порядка |
2. Нетрудно |
показать, что, коль |
||||
скоро |
существует |
момент а„, порядка |
пг, существуют момен |
|||||
ты а г |
порядка 1<т, |
а из существования центрального мо |
||||||
мента |
\im |
порядка |
т |
следует существование |
центральных |
|||
моментов |
IXi порядка |
I < т. Заметим, |
что абсолютные мо |
|||||
менты |
(2) и (4) могут быть определены и для дробных m > 0 . |
|||||||
Применяя обычные обозначения, запишем выражения мо |
||||||||
ментов (1), (2) и (3) для дискретной |
случайной |
величины X: |
««=2 |
Р„,= 2ЫТ Р*. |
rS*=2(**-a)m /V |
(5) |
|
ft |
* |
|
ft |
|
Для непрерывной случайной величины X, распределенной с |
||||
плотностью |
вероятности |
р(х), |
|
|
ат |
= ^ хтр (х) dx, р„, = |
^ | х |тр (х) dx, |
|
|
|
—оо |
—оо |
|
|
|
|
+оо |
|
|
|
IV = |
\ (х-a)mp(x)dx. |
(6) |
|
|
|
—оо |
|
|
5—143 |
65 |
В |
общем случае |
постоянные |
(2) — (4) выражаются |
посредством ин |
теграла |
Стильтьеса с |
функцией |
распределения F(x) в |
качестве интегри |
рующей функции. |
|
|
|
§ 39. Некоторые другие числовые характеристики
Помимо математического ожидания и дисперсии в стати стике употребляются иногда и другие постоянные, характе ризующие «центр» распределения и величину разброса.
Любая точка хо, обладающая свойством, что
|
|
Р(Х<х0)=Р(Х>х0) |
= |
~ , |
|
||
называется медианой случайной |
величины |
X. Если |
существу |
||||
ет |
плотность |
вероятности |
р(х), |
то медиана |
х0 характеризует |
||
ся |
условием |
х0 |
+оо |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
J p(x)dx |
= J |
P(x)dx = |
-2-. |
(1) |
|
Тогда, когда |
есть такое с, что |
|
|
|
|
||
|
|
= |
+ |
( й > 0 ) , |
(2) |
с служит медианой; при этом медиана совпадает с математи ческим ожиданием, если последнее существует.
Точка максимума плотности вероятности называется мо дой случайной величины. Закон распределения, обладающий
единственной |
модой, называется |
унимодальным. |
|
|||||||
|
В качестве меры разброса случайной величины X приме |
|||||||||
няется |
иногда |
среднее |
отклонение |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
Et |
= |
M(\X-a\), |
|
|
||
где |
й = |
М (X) |
*. |
|
|
|
|
|
|
|
|
Тогда, когда |
выполняется |
условие |
(2) и, |
следовательно, |
|||||
с = |
а, |
вводится |
также |
вероятное |
или |
срединное |
отклонение |
|||
Е случайной величины X, определяемое соотношением |
||||||||||
|
|
Р(\Х-а\<Е)=:Р(\Х-а\>Е) |
|
|
= |
~ . |
|
§40. Задачи к главе 4
1.Вычислить математические ожидания и дисперсии дискретных слу чайных величин, приведенных в § 20.
О т в е т : если X — индикатор |
события А, то |
М.{Х)=р, |
D(X)=pq; |
для |
|
биномиального |
и пуассоновского |
распределении |
М(Х) равно соответствен |
||
но пр и %, D{X) |
есть npq и X. |
|
|
|
|
2. Вычислить математическое ожидание и дисперсии непрерывных слу чайных величин, приведенных в § 21.
* Средним отклонением называют также математическое ожидание абсолютной величины отклонения X от медианы Хо.
66
О т в е т : для X, равномерно распределенной (на |
отрезке |
[а, &]), име |
||||||
ющей |
показательное распределение, нормальное распределение М(А') |
|||||||
равно |
соответственно |
(а+Ь), |
а-1 |
и |
а, D(X) |
равно |
(6 — а ) 2 , |
|
а - 2 и |
а2 . В случае распределения Коши 1Л{Х) н D(A') не существуют. |
|||||||
3. |
Значения |
случайной величины |
X |
заключены |
в отрезке [а, Ь]. |
|||
Доказать, что а < |
М(Х) < 6 и а(Х) |
<-1_(6 — а) . Возможно |
ли при этом |
равенство а(Х) = — (Ь — а)?
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ft |
|
4. Дискретная |
случайная |
величина |
X |
принимает |
значения |
Xk= 2" |
||||||||||||||||||
с |
вероятностями |
рк |
= 2 ~ f |
t |
( й = 1,2,...). |
|
Показать, что |
М(Л') |
существует, |
||||||||||||||||
а |
1Л(Х2) |
не существует. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
X |
|
|
|
||||||
|
5. Дано |
|
целое |
/ п > 0 . Дискретная |
случайная |
величина |
принимает |
||||||||||||||||||
значения |
Xft = 2*^m + I ) |
с |
вероятностями |
|
рд = 2 - * |
(k = 1, |
2 , . . . ) . Показать, |
||||||||||||||||||
что момент |
|
а,„ существует, а |
момент |
ат+, |
не |
существует. |
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
6. Показать, что нормальное распределение имеет центральные мо |
||||||||||||||||||||||||
менты всех |
порядков. Вычислить |
ц и |
( т = 1 , |
2 , . . . ) . |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
О т в е т : |
|
|
\im |
= 0 |
при |
нечетных |
т; |
при |
т = 21 |
ц2 ; |
= |
|
|
(2l~\)\\ail. |
||||||||||
|
7. Показать, что случайная величина, распределенная по закону Пуас |
||||||||||||||||||||||||
сона, имеет моменты а т |
любого |
порядка. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
8. Пусть Х\, Х2—независимые |
|
случайные |
|
величины, |
для |
которых |
||||||||||||||||||
существуют |
|
моменты |
а ^ " = М(Хт ) и |
i 1 ^ 1 |
= |
|
|
|
Вычислить |
|
момент |
||||||||||||||
порядка т суммы Xi + |
Хг. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
т |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
О т в е т : |
|
£ |
С1т а'1» «£>_, |
|
|
= |
|
М[(Л*), |
/ = |
1, 2). |
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
г=о |
|
|
|
|
|
X, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
9. Для |
|
случайной |
величины |
распределенной |
по |
закону |
Гаусса, |
|||||||||||||||||
пользуясь |
таблицами |
функции |
Ф(х), |
выразить |
постоянные |
Е |
и £ | |
||||||||||||||||||
(см. § 39) |
|
приближенно |
|
через среднее |
квадратичное |
отклонение. |
|
|
|||||||||||||||||
|
О т в е т : |
|
£ « 0 , 6 7 8 о, |
|
£,=0,797 ст. |
|
|
|
|
|
|
-> |
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
10. |
Предполагая, |
что |
абсолютная |
|
величина |
У = | и | |
|
скорости |
моле |
|||||||||||||||
кул газа |
распределена |
по |
закону |
Максвелла, |
т. |
е. имеет |
плотность |
веро |
|||||||||||||||||
ятности |
p(v)= |
/ |
^ _ t > 2 e ~ / |
w ( и > 0 ) , |
найти для |
|
V |
моду |
(«наивероятней- |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
V « |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
шую скорость»), математическое ожидание и квадратный корень из мо мента порядка 2 (среднюю квадратичную скорость).
О т в е т : |
мода V равна / Н , ЩУ) = |
2 _ |
Л - 1 |
« |
1,13 |
ft-i, |
У М (Ка ) |
= |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
У Т. |
|
|
|
|
|
|
|
|
11. |
Пусть |
AT— непрерывная |
случайная |
величина, для |
которой |
суще |
|||||||||
ствует а2. Показать, что Ш[(Х—с)2] |
|
достигает |
наименьшего |
значения |
|||||||||||
(равного D(X)) |
при c = M ( A f ) . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
12. |
Пусть |
X — непрерывная |
случайная |
величина с |
непрерывной |
плот |
|||||||||
ностью вероятности. Предположив, что существует М(А'), |
доказать, |
что |
|||||||||||||
при любом с М( \X-cj |
) существует |
и достигает |
наименьшего |
значения, |
|||||||||||
когда с равно |
медиане |
х0. |
|
порядка |
пг |
случайной |
величины |
А |
|||||||
13. |
Факториальным |
моментом |
|||||||||||||
называется |
и,( |
т ) = М[Х(Х—1)---(А'— |
|
m-f-1)]- |
Доказать, |
что |
если |
су |
|||||||
ществует а% то Ь(Х) = |
р , ( а ) — а(а—1), |
где |
а = М ( Х ) . |
|
|
|
|
|
|||||||
14. |
Вычислить факториальный |
момент |
]х(т) |
случайной |
величины, |
рас |
|||||||||
пределенной по закону |
Пуассона. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
О т в е т : |
Кт. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5* |
67 |