Файл: Васильков Д.А. Начала теории вероятностей учеб. пособие.pdf

Г л а в а

5

ЗАКОН БОЛЬШИХ ЧИСЕЛ

§ 41.

Неравенство

Чебышева

Рассмотрим неотрицательную случайную величину X, име­

ющую математическое

ожидание

М(Х)=а>

0.

Для нее

справедливо

следующее неравенство:

Р{Х>\)<а.

(1)

Действительно,

если

X

дискретна и

принимает

значения

х А > 0 с вероятностями рк

(k = 1, 2,...), то

Р(*>1)=2/>*<

2 4Pk<li4Pk

= a-

Если X непрерывна и обладает плотностью

вероятности р(х)

(равной нулю

при х <

0, в силу того что Х^>0), то

+оо

+О0

+О0

Р(Х>\)

— ^ p(x)dx<

^

xp{x)dx<C

^

л;/?(.*)fifjc = а.

1

1

о

р[±-{Х-а?>

l ] < - i - D ( * )

Отметим, что неравенство

(2) представляет

интерес

лишь

для

значений

/г, превышающих среднее

квадратичное, откло­

нение;

при / г < а ( Х )

оно тривиально.

Положив

h =

ko(X),

мы

сможем записать

неравенство Чебышева в виде

P[\X-a\>ko(X)]^^r.

(3)

Фиксируем произвольное число k0 >

1 и зададим

случай­

ную

величину

X, принимающую значения х\ — —/г0, х2

= О,

Хз =

k0

соответственно с вероятностями

Р] = — [ j - ,

р., =

1 —

r j -

-

Р3 —

OTJ-'I

при этом М (X) = 0, а (X) —

1 и

P[\X\>k0c(X)]

= P(X = ka) + P(X^-k0)

= ± .

Для этой случайной величины соотношение (3)

при k =

kQ

превращается в равенство. Этот пример показывает,

что не­

равенство

Чебышева

нельзя

улучшить,

не сужая

класса

рас­

сматриваемых

случайных

величин. С

другой

стороны,

во

ства

\Х— а | > ka(X)

оказывается весьма грубой. В сле­

дующей таблице сравниваются значения Рк= Р (| X — а | > ko)

с kr2

для нормального

распределения

с параметрами а и а.

k

Pk

1

&

1

0,317310

1,000000

2

0,046002

0.250000

3

0,002700

0,111111

4

0.000064

0,062500

§ 42. Сходимость последовательности случайных

величин

в среднем и по вероятности

Пусть

Хп

( л = 1,

2,...)

и X — случайные величины, для

которых

существуют

М(ХЙ )

и М ( Х 2 ) .

Говорят,

что

последовательность

{Хп} сходится

в сред­

нем к случайной

величине X, если

НтЩ(Хп-Х)2]

= 0.

л-»оо

При этом мы пишем

Хп{сред.)^Х.

(1)

Так как M(Z2 ) =

[ M ( Z ) ] 2

4- D(Z),

коль скоро

существу­

ет M ( Z 2 ) ,

то

Х„(сред.)

- 5 - Х тогда

и только

тогда,

когда

[М (Хп -

X)f

-+0 и

D (Х„ — X) -»- 0

при гг ->- со,

иначе

гово­

ря,

когда

М (*„)-»-ЛСД

(2)

и

;

|

D ( * „ - J Q - » - 0

(3)

при

/г ->• оо. В

частности,

если

X =

С есть постоянная,

Х л ( с ^ . ) - > С

(4)

тогда и только

тогда,

когда

и

М Щ ^ С

(5)

D ( * „ ) - 0 .

(6)

Особо отметим

случай, когда М(Х„ ) =

С

(п =

1, 2,...). При

этом для

к

того,

чтобы последовательность [Хп\

сходилась

в

среднем

С,

необходимо

и

достаточно

одно

только

усло­

вие

(6).

Говорят, что

последовательность

случайных величин

Х\,

Х2,... ,Хп

,...

сходится по вероятности к случайной величине X, если,

како­

во бы ни

было

число

е >

О,

l l m P d * — Хп\>*)

=

0.

(7)

rt-t-OO

Сходимость

по

вероятности

последовательности

(1)

к

X бу­

дем

записывать

Х„{вер.)

X.

ХП(вер.)^Х

(8)

и одновременно

Хп

{вер.) - X'.

(9)

Возьмем произвольное е > 0 . Так

как, коль

скоро

\x~xn\<-Y

(Ю)

и

\Х'-Х„\<-%-,

(11)

выполняется неравенство

\Х~Х'\<в,

то всякий раз,

когда \Х — Х'\> г, по крайней мере одно из

неравенств

(10) и (11) должно нарушаться. Другими словами,

(\Х-Х'\>

е ) с ( | * - Х „ | > х ) + (|*'~*П1> " J " ) '

откуда

следует, что

<

из (8)

и (9)

мы

заключаем,

что

Р(\X—

Х'\>г)=0.

Следовательно

(см. § 24, задача 3),

Р(Х ф X')

= 0 .

Предположим, что

X

и Хп

обладают моментами

второго

порядка и

сравним

сходимость по

вероятности со

сходи­

это означает,

что коль

скоро Хп(сред.) -> X,

непременно

Хп (вер.)

X п

существуют

последовательности

Х„ (п =

случайной

величине

X, но не сходятся к X в среднем.

В самом

деле,

в

силу

§ 41 (неравенство

(1))

каково

бы

ни было е >

0,

Р (| X -

Х„ |

е) =

Р [в~* (X -

Xnf

>

1] <

М [ е ~ 2 (X

-

Хп?\

=

=

±M[(X-Xnf\

и если М [(X - Хп?\

0,

то

Р (| Х-Хп

| > е)

0 при п

со.

Теперь

возьмем

последовательность

случайных

величин

Хп,

принимающих значения

0, п, —п

соответственно

с вероят­

ностями

1 — пг2,

Y п~2

и ^

п ~ 2 -

Каково

бы

ни было

е >

0,

при

п >

е - 1

Р ( | Хп

| > s )

=

п~2;

следовательно.

Хп(вер.)->0.

Однако

М (Хп) =

О,

D (Xn)

=

1,

т. е. {Хп)

не сходится

к

ну­

лю

в среднем.

Отметим частный случай, когда Xn

(n—

1,

2,...)

и

X

равномерно

ограничены,

т.

е.

существует

такое

А,

что

| Л * | < Л

и

| ^ л | <

Л

(n =

1, 2, ... ) .

При

этом

сходимость

{Х„} по вероятности к X влечет за собой сходимость в сред­

нем. Ограничимся

случаем, когда разности X — Хп

представ­

стями рп

(х),

которые по предположению могут быть отлич­

ны от нуля лишь на отрезке —2А < х < 2А.

Предположим,

что Х„ {вер.)

-> А. Возьмем

произвольное г) >

0 и какое-либо

положительное е < 1 / 4 .

Тогда

для достаточно больших

значений

п

Р(\Х-

При этом

M[(X-Xn?}=

[

x*pn(x)dx

-2А

2А

—s

- 2 А