Файл: Васильков Д.А. Начала теории вероятностей учеб. пособие.pdf

Б

— Е

2Л

« е

-

^

pn(x)dx

+

AA2

(

^

Pn{x)dx

+

^

Pn(x)dx^)<

- 2 А

<

е * +

4 Л 2 Р ( | А" -

Х„\>

в ) < Л . +

JL =

т ,

Мы доказали, что

Л',, (сред.)

А'.

В заключение этого параграфа напомним читателю, что

сходимость

{А"л}

по

вероятности

к

А" не

предъявляет к

Хп

и А никаких дополнительных требований, как-то

существова­

ния математических ожиданий или моментов порядка т >

1.

Так,

например,

последовательность

случайных

величин

Хп,

распределенных по закону Коши с

плотностями

вероятности

сходится по вероятности к их общей

медиане m = а;

в

са­

мом

деле,

а—е

+оо

Р ( | Л - „ - а | > е ) =

J

pn{x)dx+

J

=

+оо

—оо

сс + е

° 2 ^ S

- 4 [ - г - » ^ М ] - о (.-»-)

при любом

выборе е >

0.

§

43. Теорема Чебышева и ее обобщения

Т е о р е м а Ч е б ы ш е в а .

Пусть

дана

последовательность

попарно

независимых

случайных

величин

Xi, Х2,.

• . , Xк

, . . . ,

(1)

обладающих

общим для

них

всех

математическим

ожида­

нием

ЩХЛ)=а

(ft

= 1 , 2 , . . . )

(2)

и равномерно

ограниченными

дисперсиями

D(Xk)<C2

( f t = l ,

2, ... ) .

(3)

Тогда

последовательность

средних

арифметических

r „ =

4 - ( A W

•••

hXn)

( л = 1 ,

2, ... )

(4)

сходится

в

среднем,

а

следовательно,

и по

вероятности,

к

по­

стоянной

а.

В

самом

деле,

М (Г„) =

4~

Ё

М (Хк)

-

- I" п а = °

(5)

и в силу попарной

независимости

слагаемых

п

D ( r „ ) = l S D W < i " C 2 = f

(6)

Отсюда следует, что

H m D ( r n ) =

0.

(7)

Из (5) и (7)

вытекает

Уя(сред.)-+а;

(8)

согласно § 42 (8) влечет

за собой

соотношение

Уп{вер.)^а.

(9)

Вместо условия (2) можно допустить существование ма­

тематических

ожиданий

ak =

Ж(Хк),

зависящих

от k. При

я

этом

следует

ввести

' Хк

— Xk

— ak

и Уп' = — 2^V =

Yn ~

— Ап,

где Ап

= —

Н

1- а„); утверждение теоремы

будет

состоять в том, что последовательность {У„ — А„]

сходится в

среднем и по вероятности к нулю.

ровок

закона

больших

чисел.

Так в теории

вероятностей на­

зывается

группа

теорем,

утверждающих при тех или

иных

условиях,

налагаемых

на

случайные величины

Xk

(k=l,

n

2,...), «близость» средних арифметических

У„ — —

2

(и =

1, 2,...)

к

определенной

константе (или к последова­

тельности

констант).

В качестве примера рассмотрим последовательность не­

зависимых

измерений

некоторой

физической

константы

а.

Пусть

Х\,

Х2,.-.,Хк

— результаты

первого,

второго, k-ro

и

т. д. измерений. Допустим, что

ЩХк) = а

( / г = 1 , 2 , . . . ) ;

это предположение означает, что все измерения

свободны от

систематических

ошибок. Далее предположим, что

D № ) < C J

( й = 1 , 2 , . . . ) .

практическую

ценность.

Для

экспериментатора

соотношение

(9) означает,

что, какое

е >

0 ни

задать, если

п достаточно

велико,

то,

замерив Х\,

Х2,...,

Хп

и получив при этом зна­

чения Х\

=

х\, Х2 = х2,\

.., Х„ = хп,

он

с практической досто­

верностью будет иметь неравенство

— (•*!+•••+ *„) — а

< е -

Отметим

одно простое следствие теоремы Чебышева. Про­

может иметь исход

А, имеющий постоянную

вероятность р;

Xk есть индикатор

исхода А в k-м испытании:

Xk принимает

случае Хк

равно нулю.

Как известно

(см. § 40

задача

1),

M W

= P,

V(Xk)

= pq,

где 9 = 1

— р.

Применив к последовательности

\Хк)

теоре­

му Чебышева,

получим

теорему

Бернулли: частоты исхода А

при п независимых

испытаниях

Уп

=

±(Х1+--.+Х„)

Ит 4 2 D ( * * ) = 0.

(10)

Нш 2Ш = от

(11)

D{Xk)<~k.

(12)

П

II

ft=l ft=/l+l

к

где 5 = 2 D (**)• В силу

(12)

2 D

+ 4" 2 & < 5 + ^ - 4" л ( я + ^

и

Остается выбрать

N > К так, чтобы при п> N выполня­

лось неравенство

5 <

и для таких значений п будем

иметь

M[(X-a)(Y-b)];

(1)

иначе ковариация выражается в виде разности

ЩХУ)—аЬ.

(2)

В том случае, когда X, У независимы, ковариация

обращается

в нуль (см. § 36). Следовательно, неравенство

М(ЛТ) — аЬфО,

(3)

случайных величин Л" и У.

меру

Наша цель состоит в том, чтобы ввести

некоторую

зависимости двух случайных величин. Легко

видеть, что ле­

вая

часть соотношения (3), т. е. сама ковариация, такой ме­

рой

служить не может, так как ее размерность

равна произ­

ведению размерностей X и У, и, следовательно,

числовое

зна­

чение М(ХТ)—ab зависит от выбора единиц измерения

слу­

чайных величин А" и У. От этого недостатка

свободна

вели­

чина

М[(Х-а)(У-Ь)] _

п _

1Л(ХУ)-аЬ

„

*Х,У—

я(Х)а (У) ~

о (А) а (У) •

v*>

называемая коэффициентом корреляции

случайных

величин

X и У.

Говорят, что X и У некоррелированы,

если Rx.r

—

0. Та­

ким образом, X и У некоррелированы,

в частности,

тогда,

Отсюда следует, что коэффициент корреляции

инвариантен

относительно линейных-

преобразований

Xi =

kX

+ l,

Yi^mY

+ n

(7)

с положительными

коэффициентами k

и тп, так

как норми­

Л

л

л

А

X,

= X,

У, =

У.

Следовательно,

Равенство

^xv , к , =

у •

(8)

(8) выполняется,

в частности, при k =

in = 1,

Z = —а, п =

—Ъ. Таким

образом, если

Х' =

Х — a,

Y' =

Y—b,

(9)

то

Rx\v

xz=

^Х, У '

фициент

корреляции.

и А2 из

Коэффициентом

корреляции

событий

некоторо­

го поля

вероятностей

(А, Р)

называется

коэффициент

кор­

реляции

индикаторов Xi и Х2 этих событий

(см. § 20). Таким

образом,

если

Р(А1)=р1,

qi = l — pi,

Р(А2)=р2,

<72 =

1 — Р2, Р(Аи

А2)

=/?12,

то

Pis —Р1Р2

Корреляционной

матрицей

системы

случайных

величин

Х\,...,Х„

называется

матрица