Файл: Васильков Д.А. Начала теории вероятностей учеб. пособие.pdf

r u

= \ ( f = l

Я ) , rlk==ft

{}фк).

i k

Матрица R получится из дисперсионной

матрицы В /г-мерно-

го вектора

U {Л\,

Х„\ (см. § 37), если

первую, вторую,

следней разделить соответственно на a(Xi), а(Х2),...,

о(Х„).

В том случае,

когда Xi,...,X„

попарно

независимы

(или хо­

тя бы попарно

некоррелированы), R оказывается единичной

матрицей.

В качестве примера вычислим коэффициент корреляции

компонент нормально распределенного

случайного

вектора

U {Ху Y) (см. § 21). Ковариация X и У равна

ЩХГ) = J \ хур(х, y)dxdy,

(11)

—оо —со

~ ' 3 г + т -

( 1 2 )

У2

' f x

. У V

2о|

2(1 — r*) V о,

оа У '

Так как

= °i°2ТЛ — г2 , то

М(ХУ) =

= аГ }

j (°ia 2 У1

~ R

ST + r <W

) е

dsdt =

—оо —оо

+0О

_ Р

+оо

=

raiai-y=s

[ 14

2dt--l=

\

e~Jds

-оо

=

гсчсгг-

р(х,

у)=

'—е

2*'

*°

Итак, в случае

нормального

совместного

распределения

(с

плотностью (12))

некоррелированные случайные величины

X

и У независимы.

мы, то

D(X +

У) = D(X)-f

D(Y).

Вычислим теперь

диспер­

сию суммы X 4- У в общем

случае,

не предполагая независи­

мости слагаемых. Если M ( / Y ) = а,

М ( У ) = b, то

ЩХ+У)

= Щ[(Х+У)-(а'+

b)f] =

М { [ ( * - а) + ( К - б)]2} =

=

Щ(Х

— а ) 2 + ( У — 6) 2 - f - 2(X — с) (У— 6)]

=

Итак,

D (X + К) =

D (X)

+ D (ПН- 2tfx , к

° (Л)о (У),

(13)

где

/?лг, у — коэффициент

корреляции X

и

У. В общем

слу­

чае,

когда имеем п

слагаемых Х | , . . . , Х Л

и

М (Xl)=al

(i =

п

л

2

<»(**)•

D ( 2

= 2

Я * ,

(15)

4

/=1

'

i=l

}*к

1

"

Иначе формулу

(15)

можно записать

в

виде

л

л

D С 2 Xt).=

2

» № ) + 2 2

Я* . х / Щ ' № ) '

о 6 )

Из (15)

следует,

что

если Х\,...,Хп

попарно

некоррели-

рованы, т.

е.

л

л

D (

2 * 0

= 2

(18)

4

/=1 у

(=1

справедливо не только тогда, когда Х\,...,Хп

попарно

не­

зависимы, но и при

более

общем предположении (17).

представляет

собой

линейное

пространство.

Это дает нам

право называть

элементы

множества Я

векторами.

Введем

в линейной

системе

Я

скалярное

умножение

ее

элементов,

положив

для произвольных

X 6 Н,

К б / /

(X, У ) = М ( Х У )

(1)

(в § 36 было показано, что математическое ожидание

произ­

ведения случайных величин X и У существует, коль скоро су­

ществуют М(Х2)

и М(У2 )).

Из простейших свойств математического ожидания выте­

кают следующие свойства

скалярного

произведения:

I .

(X,

У) =

(У,

X).

П.

№

+ Х2,

Y)

= {XU

Y)

+

(X2,

У).

I I I .

(%Х,

Y)=X{X,

У).

IV.

(X,

X)

>

0.

Если

X = 0,

то,

очевидно,

(X,

X) =

0.

Обратно,

если

(X,

X) = М(Х2)

=0,

то X =

0 с вероятностью,

равной

1 (см.

§ 35

последний абзац).

Нормой

вектора

X 6 Я называется число

\\x\\ = V(x7x).

(2)

Расстоянием

между

X

и У в

пространстве

Я называется

Q(X,

Y)

=

\ \ X - Y \ \ .

(3)

Если

X =

У, то, очевидно,

Q(X,

У) =

0.

С

другой

стороны,

обращение

в

нуль величины

(3)

свидетельствует о том, что

равенство

X = У может

нарушаться

лишь

с

вероятностью,

равной

нулю. Выше

(см. § 13) мы условились не различать

такие случайные величины. При таком соглашении

условия

Х=

У и | | — У | | =

0 оказываются

равносильными,

а

свойст­

во IV скалярного произведения может быть уточнено следу­

ющим

образом:

(X,

X)

> 0 для любого X

6

Я, (X,

Х) =

0

тогда и только тогда, когда

X == 0.

Скалярное произведение

подчиняется известному

нера­

венству Коши: для любых Х$Н, У6 Н

\(Х, У)\<

\\Х\\\\ У\\ •

(4)

если X и У пропорциональны,

и только в этом случае,

\(Х, У)\ = \\Х\\\\У\\.

(5)

0 < | | у : + У||« = (IX+Y,

lX + Y) = At* + 2Bl + C,

(6)

где

Л = | | A T ,

В = (X, У),

С = | | У | | 2 .

Если

А >

0, т. е. при А" ф 0, из неотрицательности квадрат­

ного

трехчлена (6) следует неравенство В2 — АС <;0, рав­

носильное

неравенству

(4). Если А = 0, то X — О, и

нера­

венство (4) принимает

вид 0 < 0. В том случае, когда

У =

= сА",

(X, У) =

(А\ с*) =

с\\Х\\2,

11*11 НП1 = 11*11 ||^|| = |С|||^||2,

и выполняется соотношение

(5). Обратно, из (5) следует, что

тельно, обращается в нуль при некотором | =

go, а из равен­

ства ||£оА"+ У | | = 0 вытекает

соотношение

У =

(—£о)А~.

Из неравенства Коши при ХфО,

УфО

следуют неравен­

ства

1 ^

11А-||||У||

^ 1 >

{ ' >

это

дает

возможность

определить

угол

0

между векторами

А" и У:

9 =

a r c c o s

i r f t i m r -

^

(X,

Говорят,

что векторы

X (Е Н,

У £Н

ортогональны,

если

У ) = 0 .

Х{€ Н ( / = 1 , 2 , . . . )

Векторы

(в конечном

или счетном

числе) образуют ортогональную

систему,

если

Х1 Ф 0

(i =

=

1,2,...) и при всех

i # &

(XL,

* f t ) =

0.

(9)

Для произвольных векторов Х%

6 //, Хг£ Н

№

+ №

=

№ + А-2)

A"i + А"2) =

ЦА-,112

+

\\Х2\\2

+ 2(А",, А"2).