Файл: Васильков Д.А. Начала теории вероятностей учеб. пособие.pdf

1 1 ^ | - г - ^ | | < ! | А г 1 | |

+ !|Аг 2 ||-

(Ю)

Положив Х\ =

Х—Y,

Х2—

Y — Z,

где X, Y, Z—

произволь­

ные элементы

пространства Я, получим

\\X-Z\\<\}X-Y\\+\\V-Z\\.

(п)

Последнее соотношение

можно записать в виде

Q(X,Z)<Q(X,Y)

+

Q(Y,Z).

(12)

Мы видим, что расстояние, определенное формулой

(3),

подчиняется

так называемому неравенству

треугольника.

Последовательность

векторов

Хп€Н

(п =

1, 2,.. .)

схо­

дится

к X б

Я

в пространстве Я, если

Шо{Х„,

Х) = 0.

(13)

л->оо

Условие (13)

означает,

что

|| X., -

X || 2

=

М \{Хп

— X)2}

- > 0

при

п - у о о ,

т. е. сходимость в пространстве

Я

есть

сходи­

мость

последовательности

случайных

величин

в

среднем

которой

последовательности

(Л",,} Хп

{сред.)

X

и одно­

временно Х„ (сред.)

-> X',

то

\\х-х'\\<\\х-хп\\

+ \\хп-х'\\-,

( И )

правая

часть (14) стремится к нулю при п -»- со,

следователь­

но, \\Х — Х'\\=

0 и Х =

X'.

§

46.

Пространство

Я 0

Рассмотрим

совокупность

Я 0 всевозможных

случайных

величин X, принадлежащих к Я и удовлетворяющих допол­

нительному

условию

Ж(Х)—0.

Другими

словами,

Но состо­

ит из случайных величин, обладающих

моментами второго

порядка

и

центрированных.

Так

как

любая

линейная

комбинация центрированных

случайных

величин

также

имеет математическое

ожидание,

бую случайную величину X, для которой

существует

М(Х2 ),

мы «помещаем»

ее в подпространство

Я0 .

Говоря

точнее,

коль скоро X 6 Я и РА(Х)=а,

случайная

величина Х'=Х

— а

принадлежит

к

Я0 . Таким

образом, любой

элемент

Х£ Н

отличается от

некоторого X'

6 Я 0 лишь

на

постоянное

сла­

гаемое.

6—143

81

Возьмем произвольные векторы Х£Н0,

Y € Н0. Скаляр­

ное произведение

(X,Y)=M(XY)

(1)

(X, Х)= М(Х2 )

(2)

\\x\\ = VUCx)

О)

\\X\\\\Y\l

о (Л) о (У)

w

^ „ ( ^ • ) - А г

(X„ZHQ,X£H0)

означает,

что

В частности,

Х„

(сред.) -> О

равносильно

условию

а(Хп)-*-0.

Мы обнаружили

(см. §

45

неравенства

(7)), что, каковы

бы ни были

X € Н,

Г 6 Я ,

- 1 < / ? х к < 1 .

(5)

Далее,

=

l тогда и только

тогда,

когда У =

сХ,

при-,

чем если

с >

0, то

Rx, у =

1.

если же с <

О, то

к =

— 1

§ 47. Аппроксимация вектора У линейными

комбинациями векторов Xi, ... ,X„

Рассмотрим

сначала

какие-нибудь

единичные

векторы

Хо 6 На,

У0 6 Нй,

т. е. векторы, удовлетворяющие условию,

Ш 1 = 1 1 ^ 1 1 = 1 .

(1)

Иначе говоря, Х0

и

Уо — любые

нормированные

случайные

величины. Представим У0

в виде

Y0

=

kX0

+ Z

(2)

е (Уо, kXQ) = \\Y0-kX0\\

= \\Z[\,

||Y0

-

Moll 2 = k?-2k(Хо,

Y„) +

1

достигает

наименьшего

значения

при k — kQ

= (Х0 ,

Y0) —

= Rx0, Y„-

Покажем,

что в равенстве

Y0 = k0X0+Z0

(3)

слагаемые в правой части ортогональны; в самом деле,

(Z„, Хо) =

(У0

-

M o , Хо) =

(Уо, Хо) — k0

= 0.

Поэтому к сумме

(3)

применима формула (18)

§ 44

l | K 0 | | 2

= | | ^ 0 | | 2

+

| | Z 0 | | 2 .

Последнее равенство

можно переписать в виде

1 = Я к к 0 + 11^о1|2-

Мы видим, что квадрат коэффициента корреляции

равен

доли дисперсии нормированной случайной величины Y0, при­

ходящейся

на слагаемое,

пропорциональное

нормированной

случайной

величине

Х0 ,

в

равенстве

(3). Имея

в виду это

ние,

высказанное в

§ 44: коэффициент

корреляции

служит

мерой

приближенной

линейной

зависимости

между

случай­

ными величинами.

Если

отказаться от условия

(1) и рассмотреть произволь­

ные

векторы

X 6 Н0,

У 6

Но> т о > к

а к

нетрудно подсчитать,

в равенстве

Y=kX+Z

норма

разности У — kX минимальна

при

k - k

- i * * ) - / ?к

H

I

(4)

к — «о— \\х\\*~

А',к

||^|| •

W

Число,

выраженное формулой

(4), называют

коэффициентом

регрессии

случайной

величины

У относительно

случайной ве­

личины

X.

Рассмотрим теперь более общую задачу: в Но лапа

конеч­

ная

или

счетная ортогональная система векторов:

Хи Х 2 > . . . ;

(5)

взяв первые п ее элементов и произвольный вектор

У € Н0,

представим

У в виде

Y = klXl

+ ••• +knXn

+ Z

(6)

и выберем

постоянные k\,...,kn

так,

чтобы

норма

Z была

' наименьшей.

6*

83

В силу условия

Хк)

=

0

(Ьфк)

п

\\У~КХХ

кпХп ||2

=

1|

Y 1|2 + 2 к) || Xt ||2 -

равенства, получим искомое

значение

к > = " W F

( / = ; 1

П ) '

( 7 )

тельно Xj.

Коэффициенты

(7) подобны коэффициентам

Фурье

функции,

обладающей

интегрируемым квадратом,

относи­

Uu

U2, ...,Uk,

...

(U„£H\

2, . . . )

(1)

и покажем,

что

последовательность средних

арифметических

Уп =

-^{и,

+•••

+Un)

2, . . . )

(2)

сходится в пространстве Я, иначе говоря, сходится

в

среднем

к нулю.

/ Ф j

Итак, предполагается, что при всех

и

(Ult

Uj) = 0

(3)

\\UA<C

2,

. . . ) .

(4)

* Речь идет об ограниченности

последовательности

(1)

в

простран­

стве Н,

т.

е.

предполагается,

что

существует

постоянная

С,

такая,

что

l l ^ f t l l ^ C

(А =

I.

2 , . . . ) . Не

следует

путать

это

условие

с

условием

равномерной

ограниченности

последовательности

случайных

величии

{U/i}.

Последнее

означает,

что

существует

такое

М,

что —

М<и^<М

( Л = 1 ,

2 , . . . ) .

Так,

например,

если

Uk

принимают значения — k,

0, k

со­

ответственно

с

вероятностями

- j ^ - 2

>

1 ~k—'J,~

k—i,

то ||{/А||3 =М ( f / | ) = 1,

тогда как множества значений Uь

не

имеют ни общей

верхней, ни

об­

щей нижней

границы.

Таким образом,

ll^ll <

Vn

(5)

Hm||Kn || =

0.

(6)

Неравенство (5), выведенное

в

предположениях

(3) и

Покажем, что теорема Чебышева

является

следствием

этого простого,

по существу

геометрического,

предложения.

Предположим, что случайные

величины

Хи

Х2

Хк,...

{Х^Н-

k=\,

2, ... )

(7)

попарно независимы и М(Хк)

=

a (k — 1, 2,...). Пусть,

кро­

ме того,

D f t ) < C !

2, . . . ) .

(8)

Рассмотрим

центрированные

случайные

величины

Л, - а,

Х2 - а,...

, Хк

-

а

(9)

Из условия

попарной

независимости

Х\,

Х2,...

следует

орто­

гональность

случайных величин

(9):

(X,

-

a, Xj -

а) = М

-

а) (Ху -

а)] = О

\\Xk-a\\*

= m[(Xk-a)*)<C2

(k=\,

2, ... ) .

4 - 2 (**-«)=4-2**

(10)