Файл: Васильков Д.А. Начала теории вероятностей учеб. пособие.pdf

жутков Ль Дг, то случайные величины X и Y называются

за­

висимыми.

Xt

(i —

Говорят,

что случайные

величины

1, 2,...)

(в ко­

нечном или счетном числе) попарно

независимы,

если, како­

вы бы ни были индексы /

и

X,

и Xj

независимы.

Говорят, что случайные величины Х\, Х2,...,ХП

взаимно

независимы,

если

при

любом

выборе промежутков Д ь

Дг,...

. . . , Д „

п

Р[(X,

6 Д,)• • • (Хп6

Л„)] =

П

Р № 6 А,).

(2)

Выбрав произвольные индексы i\,...,

im

(1 < t\ <

• • • <

im <

n,

1 < / n < n ) ,

положив

Д , = Д о

для

значений

i,

отличных

от

i\,...,im\i

опустив в

равенстве

(2)

достоверные

множители

слева под знаком

Р и соответствующие

числовые множители,

равные

единице, в правой

части, получим

т

Р К ^ е д , , ) . . . ^

6Д 1 Я 1 )]=

П

Р ( ^ е д , А

) .

(3)

Л—1

[Х\,

Случайные величины, образующие бесконечную систему

по определению взаимно независимы, если любая

конеч­

ная

подсистема {Х^,

} . \ . ,

Х„],

содержащаяся

в

[X],

удовлет­

воряет

условию (2) при произвольных Д], . . . , Д„.

Любые взаимно независимые случайные величины попар­

но независимы. Обратное,

вообще говоря, неверно. В

практи­

обыденном понимании

этого

слова.

Предположим, что случайные величины X и Y независи­

мы; взяв промежутки Д1 =

(—оо, х), А2

= ( — с о , у )

и приме­

нив тождество

(1),

получим

F{x,

y) =

Fx(x).Fy(y).

(4)

Тождество

(4),

коль скоро оно выполняется для

всех х и

у, достаточно для независимости X и У. В самом деле, для

промежутков

Д, =

[а,

Ь),

А2 — [с, d)

равенство

(1) будет

следовать прямо из (3) и из формулы

(3) § 17. Для других

видов промежутков

Д ь

Д2 равенство (1)

можно получить по­

Pik =

PiPk-

(5)

Допустим, что (5) справедливо. Тогда,

если

Ai, Дг— произ­

вольные

промежутки

и Xtm6

A t (m= 1, 2,...),

Уп1£.кг{п=\,

2, ...),

то

Р [(Х£ Л,) (К 6 А2)] =

2

Р (0 =

ulmkn)

=

=

2

= 2

Pijkn

=

(

2 р / т

) (

2

Р*Я )

=

т,п

т,п

т

я

Тождество

(5) в свою очередь вытекает

из независимости X

и У. Для того чтобы в этом убедиться,

достаточно

фиксиро­

вать

i и k

и

применить равенство

(1)

к

промежуткам

Д 1 = = ( д , _ а ,

*, +

&), Д2 =

(£/А —8, y A - f 8),

выбрав

6 > 0

столь

малым, чтобы А\

содержал единственное значение х{

случай­

ной

величины X,

а Дг— единственное значение

yk

случайной

величины У.

Пусть теперь

U {X, Y) — непрерывная

векторная

случай­

ная величина, р(х, у)—ее

плотность вероятности. Предполо­

жим, что

Р(х,

У)=р(х)р(у),

(6)

^ p[x)dx=

^ p(y)dy=

1.

— оо

— оо

Р ( ^ е д ) = р [ ( ^ е д ) ( г е д 0 ) ] =

= ^ ^ Р {х, y)dydx=^

^ р (х) р(у) dydx^^p

[х) dx.

Если X,

У и

U [X,

Y\

— непрерывные

случайные

величи­

ны,

имеющие

соответственно

плотности вероятности

р(х)

и

р(у)

и р(х,

у),

то, коль скоро X и У независимы, будет вы­

полняться тождество (6) по крайней мере

при всех

тех

зна­

чениях х —

х0

и у =

у0,

при

которых р(х)

и р(у) непрерыв­

Q[A\,

А2],

содержащий точку

(х0,

у0),

применить

к

интегра­

лам в

равенстве

^

^ р(х,

y)ds=

^ р(х)с1х^

p{y)dy

теорему о среднем и, поделив обе

части

равенства

на пло­

щадь

Q, перейти к пределу, стягивая

Q к точке (хо, г/о).

§

20. Примеры дискретных

случайных величин

Рассмотрим

некоторые примеры

дискретных

случайных

величин.

Любую постоянную С можно рассматривать как случай­

ную

величину

X,

принимающую

единственное

значение

Х[ =

С с вероятностью р\ =

1.

Предположим, что проводится

серия

испытаний,

которые

скоро данное испытание имело исход А,

в

противном

случае

X принимает значение 0. Такая случайная

величина называ­

ется

индикатором

события А. Итак, X принимает два

значе­

ния

Х\ =

1 и х2

=

0 соответственно

с

вероятностями

р

=

=

Р(Л)

и q = 1 —

р =

Р(А).

Пусть

теперь

даны целое положительное число п и

число

р,

подчиненное

неравенствам 0 <

р <

1; пусть далее q

=

целые

значения & =

0,

1, 2, ...,п

с вероятностями

pk =

= Р(Х

=.k)

= C*pV~*

О

такой

случайной

величине

гово­

рят, что она

распределена

по биномиальному

закону. К

тако­

Рассмотрим теперь так называемое распределение

Пуас­

сона: случайная величина X принимает всевозможные целые

неотрицательные значения с вероятностями pk

=• P{X—k) =

\ k

— K-gf,

где X—некоторое фиксированное

положительное

число. Из

условия

32

ft=0

получаем К — е~\

таким

образом

Pft =

e-* £

(fe = 0, 1, 2, . . . ) .

^

р (х) dx =

^

р0

dx =

1

— оо

а

заключаем,

что ро=(Ь

— а ) - 1 . Заметим,

что если А — произ­

вольный

промежуток,

содержащийся

в [а, 6], то Р(Х €

А) =

= j " pQdx

=

длина АIдлина

[а,

Ь].

Таким образом,

рав-

д

цисса X точки Я, положение

которой на

одномерной

области

D 0 =

[я,

Ь]

описывается

«геометрическими»

вероятностями

(см. §

7).

В тех случаях, когда значение какой-либо переменной х

округляется

до

n-го десятичного знака

после

запятой, т. е.

п

х заменяется

приближенным

значением

х0 =

N -4- 2

ak^~k<

то ошибку округления

X = X — XQ

часто

считают

равномерно

распределенной

на

отрезке

Далее

рассмотрим закон

распределения

Коши.

Он задается

плотностью

вероятности

Р W = С 1 1.+

р » ( , _ а ) » •

где р >

0 и а — некоторые

постоянные. Из

условия

+ оо

^

p(x)dx=l

у

(1)

— СЮ

О

находим

С< = — •

3—143

33

Р^Х)~

1 С2е~™

при

х>0,

где а > 0 задает так

называемый

показательный

(пли экспо­

ненциальный) закон

распределения. Из

условия

(1) следует,

бодного пробега молекулы газа, время

бесперебойной

рабо­

ты

многих приборов, длительность

работы электронных

ламп

и т. д.

теперь нормальное распределение

распре­

Рассмотрим

или

деление

Гаусса,

играющее важнейшую роль в теории

вероят­

ностей и в ее приложениях. Оно

определяется

плотностью

вероятности,

которую мы

обозначим

<р(*;

а, о ) Н С 3 е

2 а а

,

где

а

и а >

0 — некоторые

постоянные. Условие

(1)

приво­

дит

к тому,

что

_1_

•

^3

- г—

Таким

образом,

ш(х; а,

*)=-±=е

™ .

(2)

а У 2л

пуклостью

вверх,

на промежутках

—оо < х <

а — а

и а +

+ а <С х <

+ о о — выпуклостью

вниз. Наибольшее значение,

_

j _

равное о— 1 (2я) 2

,<р(х; а, а), достигает

при х =

а. Функцию

(2) при значениях

параметров

а =

0

и

о — 1 принято

обоз­

начать ф(лг):

• w = = l A

r e

~ 2

-

(3)

X

X

_z*

<D(x) = $«P(z )r f z == y t "

$ е

2 dz.

(4)

Если

А' — случайная величина,

распределенная

с плот­

ностью

вероятности ц>(х; а, а) и А =

[а, Ь], то

Р ( Л Г 6 А ) « = Р ( а < Л ' < 6 ) = ^ <Р(Л; о, o)rfx.

(5)

в