ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 06.08.2024
Просмотров: 79
Скачиваний: 0
Уравнения (2.2 1) и (2.19) полностью эквивалентны, так как их решения при %=■№ связаны формулой (2.20). Нам нужно
найти те решения уравнения (2.2 1), |
которые |
принадлежат |
Ь°° и удовлетворяют условиям |
излучения. |
(2.3). Пусть |
К+(к) — оператор, введенный на стр. 117, где показано, что
lim (e-(M-ie)f — G0(t))~l = ем(Е + К+ (к)).
е->+0
Рассмотрим уравнение
Ф(х, k, Х) = -е М (Е + |
К +(Х ))д (е^ + ф |
(2.22) |
%£ (0, оо), |
k 6 Rn- |
|
(В формуле (2.22) мы не предполагаем, вообще говоря, что А,=£2.)
Лемма 2.4. Любое решение уравнения (2.22), принадле жащее некоторому 7Д, lss^^oo, принадлежит L^HLp, где p>2N/(N—1 ) удовлетворяет уравнению (2.21) и условиям
излучения (2.3). |
Если cpsL«, то в силу теоремы 1 .5 |
Д о к а з а т е л ь с т в о . |
|
(&ф) 6 L, |
(geikx) 6 L, |
поэтому в силу теоремы 6.7 |
|
и из равенства (2.22) вытекает включение tpeL^n Lp- В силу теоремы (1 .1 ) справедливы оценки
|g (eikx+ cp) ] = О ( U l-JV—“), | |y xg (emx + ф) |= 6 .(|x |-*-“). J
Из оценок (2.23) и теоремы 6.7 следует, что функция
K+(k)g(eikx + ф)
удовлетворяет условиям излучения (2.3), поэтому из (2.23) и равенства (2.22) следует, что функция ф(х, /г, X) удовлетво ряет условиям излучения (2.3). Так как g(eihx+,tp)<=L\ то, умножив обе части равенства (2.22) на {е^~и — G0{t)), мы по лучим в силу теоремы 6.6
(е-м _ а0(0 ) Ф= — g (elxk+ ф).
Лемма 2.4 доказана.
Введем операторы |
|
|
|
Т (к) = — еи (Е + К (к)) g, |
2nitn/t + т), |
т] > 0, |
|
Т+ (X) = - |
(Е + К+ (Ц) g, |
к 6 (0, ОО). |
(2.24) |
45
Лемма 2.5. Если функция и(х, k ) = e ihx+,y{x, к) является решением задачи (2.1) — (2.3), то функция ср(х, к) удовлетво ряет уравнению
ср(х, k) = T+{k)(eikx + y), |
к? = к. |
Д о к а з а т е л ь с т в о . В силу |
теоремы 2.7 функция |
ср {х, к) удовлетворяет уравнению (2.2 1), умножив обе части равенства (2.21) на (е—(М-<в)/— G0(t))~l, где е — достаточно
малое положительное число, получим
ср (,r, к) + (е~и — е—№-Н'е)() e(>.+ie)t(jp_]_./((Я, -f- is)) ср =
= е(М-£е)< (Е + /С(Я. + is)) g (elkx + ср) — Т (А, + is) {eikx + ср).
Отсюда следует, что
ср (х, к) — Т+ (к) (е‘кУ+ ср) = (Г (\ + is) — Т+ (к)) (е^у + ср) +
+ (<** — 1)(£ + К(Х + й))ф. |
(2.25) |
Так как g(eiky+q>)^L, то в силу теоремы 6.7 справедливо равенство
lim I (К (к + is) — К+ (к)) g {ёкУ+ ср)|? = О,
£-»+0
Отсюда следует, что
1imI (Т (к + is) — Т+ {к)) (е1кУ+ ср)| = О,
8-»0
(2.26)
Пусть 5 — любое ограниченное измеримое множество. Дока жем, что каково бы ни было 5,
1im е|К (к + |
is) ср)|£0о . = 0, |
(2.27) |
е-Н-0 |
1 ' |
|
если только ср удовлетворяет условиям излучения. Считая s достаточно малым, представим функцию K(k+ie, г) как сум му двух функций
|
|
1/"Л, -j- is£; |
N |
|
К ( к + is, |
г) = |
X |
||
2яг |
||||
|
4/ \ |
|
||
X Н% |
(г |/А, + |
is) -f- А (к -)- is, г) |
||
2 |
|
|
|
|
(см. формулу (6.29)).
47
Из интегрального представления |
функции А (К, г) |
сле |
||||||||
дует, |
что А (X) ^[L^-^L03], причем норма оператора Л(^-И'е) |
|||||||||
в [L^-^L00] ограничена равномерно по е > 0, |
поэтому, чтобы |
|||||||||
убедиться в справедливости равенства |
(2.27), |
достаточно до |
||||||||
казать, что равномерно по xeS |
|
|
|
|
||||||
/ (е, |
|
р |
|
|
|
|
_____ |
|
|
|
х) = е [ \х— у\ |
2 Н%_^{\х — г/1 ]/Л + ге) ф (у, k)dy^Q, |
|||||||||
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8- 2- -j- О, |
|
|
|
|
|
Пусть R>i(Ro + d), |
где Ro — константа, |
входящая в |
||||||||
условия излучения, |
a d |
— диаметр шара, содержащего об |
||||||||
ласть 5. Справедливо равенство |
|
|
|
|
||||||
|
|
1-J? |
|
|
____ |
|
|
|
||
|
J V — у\ |
2 |
|
(Iх - У\V^ + ш)ф(у, |
k)dy = |
|
||||
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
оо |
J? |
|
i (г |
____ |
|
|
|
|
|
|
= j г2 Н% |
+ ie)a(r, x)dr = |
|
|
|||||
|
|
0 |
|
2 |
|
♦ |
|
|
|
|
|
|
N |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f г2 H{N_ I (г 1/Я.+ ie)a(r, x)dr -f j гЛГ/2Я^]_1x |
|
||||||||
|
о |
T |
|
|
|
|
R |
|
2 |
|
где |
X (г V X -f te)a(r, x)dr — I1(fi, |
x) + / 2(e, |
x), |
(2.28) |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a(r, |
x) = |
j |
ф {x + rn0,k) dn0. |
|
|
|||
|
|
|
|
|
\n0\—\ |
|
|
|
|
|
Ясно, что |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
I |
e/j (e, |
х )| < ||ф(л-)|иСЕ]/- М2| Я ^ _ 1(г 1 /М ГТ б )И г^ 0 , |
||||||||
|
|
|
|
|
8- 2- -j- 0, |
|
|
|
(2.29) |
|
поэтому достаточно рассмотреть интеграл -Me, х). Из условий излучения (2.3) следует, что равномерно по xeS
|
|
1—N |
/■-2-00. |
(2.30) |
|
а (г, х) — 0 (/' 2 ), |
|||
|
|
|||
Вычислим производную |
—> |
4 |
||
d |
а (г, Х) = |
г* |
||
( у * ф ( * + Г/г0>£)> n o ) d n 0 =: |
|
|||
dr |
|
|
|
|
|rt„!=l
48
I (v,<p<* + ™„. *). i f ^ + ° ( T ) ) “ "> =
|n0l=l
1—N
= |
£lA,a(r, x) + o(r 2 |
), |
|
||
поэтому |
|
|
|
|
|
-^-a(r, |
,v) = |
£ l/X a (r , |
л:) + |
о(г-Ц-^). |
(2.31) |
dr |
|
|
|
|
|
В силу выбора константы R производная |
существу- |
||||
ет при всех r^(R, |
оо) |
и оценки |
|
dr |
выполнены |
(2.30) — (2.31) |
|||||
равномерно по |
|
|
|
|
|
Преобразуем интеграл /г(е, х)
|
|
О |
|
|
|
is) a (г, х) ~dr — |
|
||
е/а (е, |
х) = s' I |
rN/2 |
|
t (г 1/ ”^, + |
|
||||
|
|
r |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
О |
|
|
|
|
|
|
|
= е (X + |
is)-'/2Г а (г, |
х) |
— |
(rNI2 Н{%(г ]/Х+Те)) dr = |
|||||
|
|
J |
|
|
dr |
т |
|
|
|
|
|
Л |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
00 |
|
|
|
|
|
|
= — is [1 |
о(е)] J |
rN/2 Н%2 (г ]/Х -г’ |
is) а (г, х) dr+ |
||||||
|
|
|
R |
|
|
|
|
|
|
|
со |
|
|
|
|
1—N |
|
|
|
+ е J rN/2 |
2 (г ] / А + |
is) о (г |
2 |
)dr-f- О (в), |
|
||||
|
я |
|
|
|
|
|
|
|
|
Отсюда следует, что |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
О |
|
|
|
|
|
|
|
|
2е/2 (е, х) = е j rw/2 [Яуу _ |
(r]/rX + is) — Шуу (г |А, + |
£е)] X |
|||||||
|
л |
|
7 |
1 |
|
|
2 |
|
|
X a (г, |
x)dr + |
|
|
оо |
|
(г ]/А + |
Ie) a (о *) dr + |
||
О (е2) J /-w/2 |
|||||||||
|
ОО |
|
|
R |
_____ |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
)dr + 0(s). |
|(2.32) |
||||
+ s^rN'2 H%{rV% + is)o{r 2 |
|||||||||
R
Оценим каждое слагаемое в этой формуле, воспользовавшись справедливыми при r^R оценками
|Я(^ _ 1(г 1/Х+Тв) — £#<$ (г /ЗГ+Тв) 1< Сг~3/2 e“ °’5rE, |
г > R, |
|
2 |
2 |
|
4 А. А. Арсенье! |
|
49 |
