ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 06.08.2024
Просмотров: 86
Скачиваний: 0
|
\Н^(гУ^ + ^ ) \ < С Г 1/2е-°'5ге, |
r > R |
|
||||||||
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
и оценкой (2.30), |
получим |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
е |j rNI2[#(jy_ i (rV% + ie) — iHl%(r ]A |
-f ie)] a (r, x) dr |< |
||||||||||
Я |
2 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
oo |
. N _ 3_ _ |
JV— 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
<Ce J е_0'5г8г 2 |
2 |
2 dr = eO(log l/e)->-0, |
e->--|-0; |
||||||||
R |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 (e2) |J rN>2 H%(r П |
+ is) a (r, |
x) dr |< |
0 (e2) f e-0’5' 8dr |
||||||||
|
|
= o(e)->0; |
|
|
+ 0; |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
l-W |
|
N |
|
|
|
0 (e) |
j"#jy (r ]/X + |
ie)о (r |
2 |
) r 2 dr < |
|
|
||||
|
l / e |
1—ЛГ |
W—1 |
|
|
oo |
|
|
I—AT |
|
|
|
|
|
, —0.58Г 0 (r |
2 |
\ |
||||||
. < 0 (e)[ |
f e- 0’5Ero(r |
|
|
|
|
j |
|||||
2 )r |
2 |
dr+ |
1—N |
dr |
|||||||
|
я |
|
1—ЛГ |
|
|
lVT |
. |
2 |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
= 0 (V^i) + |
шах |
— — о (1) —v0, |
|
e-»--j-0. |
|
||||||
|
|
Ye |
r~2~ |
|
|
|
|
|
|
|
|
Из оценок этих следует, что равномерно по xeS |
выполнено |
||||||||||
равенство |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
е/2(е, х)-> 0, |
е -> 0, |
|
|
||||||
поэтому из формулы (2.28) |
и оценки |
(2.29) вытекает равен |
|||||||||
ство |
|
lim ||/ (е, |
х) 11^00(5) = |
0. |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
“8-Н-О |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Формула (2.27) доказана.
Из (2.25), (2.26) и (2.27) следует, что каково бы ни было
ограниченное измеримое множество S, |
|
|
|
|Ф (х, k) - Т+ (X) {е*У + |
Ф) (х, k) Ц 5) < |1(Г (А, + ie) - |
||
— Т+ (X)) (eiky+ ф) |L?(S) + |
(mesS)*/*{II К(Х + |
ie) ф |LM(S) + |
|
+ ||ф||«}1 1 — еге'|->0, |
е-^ + |
0, |
|
поэтому для почти всех х 6 S |
|
|
|
.50
<f(x, k) = T+(X) (eik,J+ ф).
Лемма 2.5 доказана.
Из теоремы 2.2, лемм 2.4 и 2.5 следует Теорема 2.3.
Для того чтобы функция
|
и(х, к) — ё кх+ ср (х, k) |
|
|
|
|
являлась решением задачи (2.18) — (2.20), |
необходимо |
и до |
|||
статочно, чтобы |
функция |
ф ( х , k) являлась |
решением |
урав |
|
нения |
|
|
|
|
|
Ф (х, |
к, Я) = |
Г+ (X) ( е1ку + ф) (х, |
к, |
Я) |
(2.33) |
при к2= Х и принадлежала некоторому L^, 1<^<?-<;°о, причем если функция ф(х, k, X) принадлежит некоторому L“J и удов летворяет уравнению (2.33), то она принадлежит любому
Lq, - 2- - . < q < o o .
N — 1
Г л а в а 3. ИССЛЕДОВАНИЕ ОСНОВНОГО ИНТЕГРАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ
§ 1. Операторы |
Т(Х) |
и Т+(Х) |
|
|
Напомним определение операторов Т(X) и 7Ч+)(Я): |
|
|||
T(X) = — eU(E + K(X))g, |
X^2nim/t + 4, |
ri>0, |
||
Т+ (Я) = - еи (Е + К+ (Я)) g, |
X6 [0, |
оо]. |
(3.1). |
|
Пусть - |
|
|
|
|
Тм (Я) = — ext(E-\-K(X))gM, |
Хф2лш/{ + r\, |
Т1 > 0!,.. |
||
Tt(X) = - e » ( E + K+(X))gM, |
Я е [0, |
с»].. |
(3.2)! |
|
Операторы g и gM определены нами формулами (2.10), операторы К(X) и К+{X) определены в теореме 6.6. Заметим, что
{e-xt _ о0(0)-' = в" (Е + К (Я))., |
£ [0, 1],г |
lim (e-(M-f*)<— G0(О) - 1 = ем(Е + К+ (Я)), |
е -« 6 [0, 1]. |
е-Н-0 |
|
В дальнейшем будет удобно рассматривать операторы Т(Х) и
Т+(Х) как частный случай операторов Тм(Я), Т^(Я) при зна чении параметра М= оо, Перечислим здесь те свойства опе
раторов Тм(Я) и ГЙ(Я), которые являются : тривиальными следствиями свойств операторов gM и (Я), 8С+(Я), доказан ных нами в теоремах 1.1, 1.3, 1.4 ив § 5 гл. 6.
4* |
51 |
|
Теорема 3.1.
1) Оператор TM(h) ^[Ьр-ь-Ьч, 1-^ р ^ оо, 1 ^ д ^ о о ] и го ломорфен по А. в плоскости с разрезами вдоль прямых
|
А = 2mm.lt 4- г], |
|
р > О, |
т = 0, |
+ 1 . . . |
; |
|
||||
2) оператор Тм (А) вполне непрерывен как оператор в |
|||||||||||
|
[LP-+U, |
|
К р < о о , |
|
l < q < o o ] ) |
|
|
||||
3) |
если D — любое компактное множество, лежащее на |
||||||||||
положительном расстоянии от прямых |
А = 2лтгД+р |
, р^О, |
|||||||||
т= 0, |
±1, |
то оператор |
7м(А)->-Г(А) в равномерной |
опера |
|||||||
торной топологии пространства [Lv-^Lv, |
К р -^ оо, |
|
|
|
|||||||
при М-у-оо; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2м4) |
при |
А £[0, оо) |
оператор Тм(А) 6 [Lp->• L? |
1 < р < о о * |
|||||||
---------<£q < |
оо] и вполне непрерывен как оператор |
|
|
|
|||||||
N — 1 |
ГLP^Li, |
|
1 < р < о о , |
— 2N |
< р < о о |
; |
|
|
|||
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
N г- |
1 |
|
|
|
|
5) оператор Т%(А) |
непрерывен по А |
при А £ [0, |
оо) |
в рав |
|||||||
номерной операторной |
топологии пространства |
|
|
|
|
||||||
|
[LP-+L4, |
1 < р < оо , |
ОД/ |
|
|
; |
|
||||
|
N_ l - < ? < o o |
|
|||||||||
6) |
равномерно |
по |
А£[а, |
ft] с: [0, |
оо] |
операторы |
|||||
Тм (А) -*■ Т+ (А) при М -> оо в равномерной операторной тополо гии пространства
j Lp^~L4, |
1 < р < о о , |
|
< 9< 00j ; |
7) при А £ (0, |
оо) в равномерной |
|
операторной топологии |
пространства |
|
|
|
^LP-+L4, |
1 < р < о о , |
' |
< ? < ° ° j |
справедливо равенство
lim [Т(А + te) — Т+(А)] = 0.
8 -> + 0
Доказательство свойств 1—7 основано на теоремах (1.3),
(1.4), (6.7) и следующем тривиальном замечании.
Если оператор А (а) £ :[Щ2 Щ3] и непрерывен по а в силь ной операторной топологии пространства [3(2->-3(8], а оператор В (Р) £ [9^ -*-Щ2] вполне Непрерывен и непрерывен по р в рав номерной операторной топологии, то оператор
С (а, р) = Л(а)Д(р)£[311-^ЗГ3]
52
непрерывен по совокупности переменных (а, Р) в равномер ной операторной топологии и вполне непрерывен.
§ 2. Основное интегральное уравнение при Ае(0, <х>)
Пусть Й={х, |V.(х) |= оо}, |
число R |
выбрано |
так, |
что |
|||||
Qc:{x, |x|<tf}, fii — |
наибольшее открытое |
связанное мно |
|||||||
жество, которое содержится в множестве |
|
|
и |
содержит |
|||||
множество {х, \х\>2R}, Q2= ^iv\ (Q U Hi). |
|
удовлетворяет |
|||||||
Теорема 3.2. Если функция |
ср(х, iA)eL°° |
||||||||
условиям излучения (3.3), |
при |
|х|-»-оо имеет асимптотику |
|||||||
|
|
|
|
1—N |
|
|
и —N |
|
|
Ф(х, |
А) = exp (t |х |VJ.) |х | 2 (5 (/г) + |
О ( |х | 2 |
), |
(3.3) |
|||||
где п = |
е > 0, |
а |
Р(ц) |
непрерывна, |
и |
при |
некотором |
||
|
1*1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
О удовлетворяет уравнению |
|
|
|
|
|
|
|||
|
е~м'<р(х, Я) = |
j" G (х, у, (')ф(г/, |
A) dy, |
|
(3.4) |
||||
то ср(х, А.) = 0 при xeQi. |
Так как ф(х, |
А) |
удовлетворяет |
||||||
Д о к а з а т е л ь с т в о . |
|||||||||
равенству |
(3.4), то |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(е- м _ О 0 (*))ф = _ £ ф . |
|
|
|
|
(3.5) |
|||
Умножив обе части этого равенства на (е-(М-<е><— G0(t))—1, по лучим
ф + (е~м— е—(?.+ie)f) g(X+ie)((£ _j_ (А -|- £е)) ф = |
|
= - ( £ + * (А-Мв))£ф |
(3.6) |
и так как ф(х, А) удовлетворяет условию излучения, то из (3.7) в силу леммы 2.4 следует, что ф(х, А) удовлетворяет
равенству |
|
|
|
|
|
ф = |
— еи (Е + К+ (А))£ф. |
(3.7) |
|||
Так как К+(к)* = К~Щ и ядро g(x, у, |
t) |
действительно1, то |
|||
из (3.8) следует: |
|
|
|
|
|
ф* = |
_ |
<.«(£ + * - (А,)) |
|
|
(3.8) |
Умножив обе части (3.8) |
на (ё'ф) (л:), |
а |
(3.7) |
на (g3 P *)(*), |
|
проинтегрировав по х и почленно вычтя, получим
0 = J (£ф) (х) [#+ (А, \х— у\) — Кг (А, \х— у \)J (£ф*) (у) dxdy=
1 Ниже мы используем прием, указанный Л. Д. Фаддеевым.
53
__N |
|
N |
W Ъ\Х— у\ |
|
|
— ] |
|
|
|
|
(CT*) (У) dxdy— |
|
|
|
\Х — УI-2E-m |
= {2n)~N |
J dn |J |
e x p |
i ((n—, у) V К) ( £ ф(у) dy |
|
= (2it)—N . |
|
(3.9) |
|
= |
I I P W dn. |
|
|
|
ti/~x |
|nl=l |
Так как p(n) непрерывна, i(3(n)=0 и из (2.1) вытекает, что
1—N
cp(.v, А) = О ( |л: 1 2 |
), |
|л: | ->- оо. |
Но из теорем 2.1 и (3.4) следует, что функция ф(лг, А,) удов летворяет уравнению
#Ф = Аф, |
(3.10) |
поэтому из теоремы Т. Като [6] следует, что вне некоторого шара ф(лг, А)=0, но тогда из теоремы Е. М. Ландиса [7] сле дует, что функция ф ( х , А) равна нулю на связной компоненте множества 7?^\£2, содержащей бесконечно удаленную точку, т. е. на множестве Qi. Теорема доказана.
Тецрема 3.4. 1) Если потенциал V(х) удовлетворяет усло виям A (a, R), то существует такое не зависящее от t счетное
множество точек {А^+)} с: (0, оо), что для каждого А-+) уравнение
|
|
|
|
Яф = А£ф |
|
|
|
|
|
(3.11) |
имеет trii, l^Z m .i<oo |
линейно-независимых решений из L2, все |
|||||||||
эти решения принадлежат L°° и равны нулю вне множества |
||||||||||
fi2 (отсюда следует, |
что если |
mesQ2= 0, |
то |
|
множество |
|||||
{Aj+>} пусто), |
а для всех |
А£(0, оо)\{А^} |
оператор . |
|
||||||
|
(Е - |
Т+ (А))-1 € |
[ li+L*, |
< |
q< |
оо]; |
|
(3.12) |
||
|
|
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
2) |
необходимым и достаточным условием того, |
что функ |
||||||||
ция ф(х, Ki)^L2 и удовлетворяет уравнению |
(3.11), |
является |
||||||||
выполнение равенства |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
Т+(А,)ф = |
ф; |
|
|
|
' |
(3.13) |
3) |
число точек |
множества {А*}, лежащих |
в интервале |
|||||||
(0 А) |
(каждая точка А*+) считается столько раз, |
сколько ли |
||||||||
54
