ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 06.08.2024
Просмотров: 78
Скачиваний: 0
Оценим |
последнее слагаемое |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
г ч.IIф (X, 0 ||^(RjV4Di) < Г " IIф (X, t) ||Г’ |
j |
I ф (х, t)\dx< |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
R^\D, |
|
|
|
|
|
|
< i-* c»(M V H МЦ^Иф МЦГ1 |
j |
dx [ j G0 (x, y,t)\<? (y) |dy}< |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
Rplj\Dl |
Do |
|
|
|
|
|
|||
|
< |
r qC4(t, I Ус_) (x) 1 )j| ф (x) « г 1 (4Яt)-N/2 |
j |
dx x |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Rtf\Dt |
|
|
|||
|
_ (x—y)2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
_ |
|
|
||
X |
j e |
4< |
dy ||ф(у) Цое < Г«С « (f, JVм (x) l ) |[ф(X) m e |
8t |
X |
||||||||||
|
D0 |
|
|
|
|
|
|
|
_ d > ____ \N |
q |
|
|
|
||
|
|
|
(Х-УГ- |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
X |
jdy |
j |
e 8' |
dx (4nt)~NI2 < |
О (e |
st t |
2 |
)_*.(), f-*- + |
0. |
||||||
Do |
%\B| |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Теперь оценим первое |
слагаемое. |
В |
силу 'леммы |
1.7 функция |
|||||||||||
Ф (х, t) есть |
решение задачи |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
J i . = |
Дф — У(х)ф,' |
f > 0 , |
хб D2, |
|
|
|
||||||
|
|
|
dt |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ф|/=о=ф(*)> |
x ED2, |
|
|
|
|
' |
0-53) |
|||||
|
|
|
фГдгегро,= j G (х, у, t) ф(y)dy, |
|
|
|
|
|
|||||||
которую представим как сумму двух функций |
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
Ф (х, |
t) = ф<и (х, t) + |
ф(2) (х, t), |
|
|
|
|
|
|||||
где функция ф(2)(*> |
0 |
есть решение задачи |
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
= Дф(2)— У'(*)ф«2>, |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
Ф(2) |(=о = 0, |
|
|
|
|
|
|
|
|
(1.54) |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
ф(2) (х, t) UerpDl= |
j |
G(x, у, i) ф(у) dy, |
|
|
|
|||||||
а функция ф(|>{х, t) |
есть решение задачи |
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
dt |
Дф(1) — |
у (jc)cpO), |
x 6 D 2, |
|
t > |
О, |
(1.55) |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
ф(1) |
+ 0) = ф (*), |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
ф(1) (х, t) UerpD, = |
0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
37
Пусть фп (х) и А,„ — собственные функции и собственные значения задачи
дФл М — V (х) + %,$м = О,
Фл I*erp0a = О,
Ф?1 — коэффициенты Фурье функции ф (х) по системе Функция
-Kt
ф(1)(*.о = 2 е " ф а (-''■)•
Так как функция ф(х) финитна в D^D\<^D2, то равно мерно по x<^D\ сходится ряд
<Р(|) (*, t) —ф (*) |
(Яф) (X) = |
|
[ — £------ I~KJ ФлФл(х) |
||
t |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
и справедливо равенство |
|
|
|
||
|
II Ф(1>(х, t) —ф (х) |
(Яф) (JC) t“ (Dl)< |
|||
|
|
|
|||
|
|
|
|
V V V I |
Ф«(*) А |
<(Е ^[-^+Ч Т (2^ -)'А< |
|||||
|
|
< С - O(t)-+0, |
^ + 0. |
(1.56) |
|
Решая задачу (1.54) с помощью потенциала двойного слоя, легко получить оценку
Иф(2)(*> 0llL°c(Di) < Ce "• |
(1-57) |
Воспользовавшись неравенствами (1.56) и (1.57), мы по лучаем
|
Ф (х, t)— ф (лг) + (Яф) (х) |
< |
|
|
|
|
|
Lq(D\) |
|
< mesDiU |
Ф(1) (х, t) — ф (х) + |
(Нр) (х) |
+ Г 9|ф(2) (X, t) iu| |
• о , |
|
t-+ + 0. |
|
|
|
Равенство |
(1.51) доказано, |
а отсюда и следует второе |
ут |
|
верждение теоремы. |
|
|
|
|
Так как |
|
|
|
|
IG (t) ф|р < С(*, |У(-) (х) В,)IG0(0 Ф |1р< С ((, |И“ >(х) ||,) |Ф|р,
норма оператора G(t) ограничена равномерно по те[0, t],
sup || G (т) ||p-»p ■< C(t, || K( ) (x)||?)< o o , |
(1.58) |
а так как множество финитных в Р^Хй-функции плотно в Lp(Rn'\Q) при р е ( 1, оо], то третье утверждение нашей тео ремы есть следствие оценки (1.58) теоремы Банаха—Штейн- гауза и второго утверждения.
Теорема доказана.
Теорема 1.10. В L2 операторы G(t) образуют полугруп пу слабо измеримых по t при t>0 ограниченных самосопря женных операторов. Справедливо равенство
lim G (t) ср = P(Q) ср,
где
(Р(0 ) Ф)(*) = |
ф(-*0, х в Rn \ |
|
0, |
||
|
До к а з а т е л ь с т в о . Ограниченность и самосопряжен ность операторов G(t) вытекают из того факта, что G(i) — интегральный оператор с симметричным ядром, удовлетворяю щим оценкам леммы 1.6. Пусть фe L 2, t, т>0, тогда
G {t -j- г) ф = G (t) G(т) ф.
Но из теоремы 1.2 |
при |
любом т > 0 |
следует, что |
0(т)ф <= L2(Rn^Q), |
а из |
теоремы 1.9 — |
что функция |
G(t)G(т)ф непрерывна по t как элемент L2(Rn'\Q.) , поэтому функция С(^+т)ф непрерывна по t при всех t>0, а отсюда
вытекает ее измеримость. Воспользовавшись |
теоремами 1.9 |
|
и 1 .2, получаем |
|
|
lim G (t) ф = |
lim G (t) [P (£2) ф + P (RN\ |
ф£2)] = |
< - » + o |
<-h - o |
|
=lim G (t) P (£2) ф + 0 = P(£2) ф. /-»+o .
Теорема 1.1C .доказана.
Г л а в а 2. ЭКВИВАЛЕНТНОСТЬ ЗАДАЧИ СТАЦИОНАРНОЙ ТЕОРИИ РАССЕЯНИЯ ИНТЕГРАЛЬНОМУ УРАВНЕНИЮ
§ 1. Формулировка задачи
Пусть А0 — инфинитезимальный оператор полугруппы G(t), рассматриваемой либо как полугруппа операторов в
Ьр, где р — произвольное фиксированное число |
из интер |
вала (1 , оо], либо как полугруппа в B(RN\Q) |
(см. ниже), |
£2 = {х, |V(х) |= оо} и Р(:£2) — проэктор на множество функ ций, равных нулю в £2.
39
Определение. Операторам Шредингера называем опера
тор
H= —A0P(\Q),
Область его определения
D (Я) = {/, P(Q)feD(A0)}.
Символом |
Нм будем в дальнейшем обозначать |
оператор |
— (Л0)лг; |
(Ло)лг — инфинитезимальный оператор |
полугруп |
пы GM(t).
Основная задача квантовой теории рассеяния состоит в
том, чтобы найти решение уравнения |
|
|
Ни = Хи, |
Х£ (0, оо), |
(2.1) |
которое принадлежит L°° и равно сумме двух слагаемых |
||
и± (х, k) = exp (± |
ikx) -j- qp± (х, k), |
(2.2) |
где k2 = X, а функция ф±(л, k) |
при x e{x, \x\^R0}, |
где Ro — |
достаточно большое число, удовлетворяет условиям изучения
|
1 — N |
|
|
|
|
|
|
I —N |
|
Ф±(л',£) =0(|х| |
2 ), |
|
(— |
ч= il/rx)cp± (x, |
k) — o { \х\ |
2 ), |
|||
|
|
|
V<Н*1 |
|
/ |
|
|
|
(2.3) |
|
|
|
|х|—>-оо. |
|
|
|
|
||
Условия (2.3) понимаются в следующем |
смысле: |
должна |
|||||||
существовать |
такая |
константа |
Ro<°°, |
что |
при |
всех |
|||
.te{x, \x\,^Ro} существует V |
cp(x, k), причем |
|
|
||||||
|
■ - У |
= |
( У д - ф |
(X, k), —Х Л |
|
|
|
||
|
|
|
V |
|
|*1 |
/ |
|
|
|
удовлетворяет оценке (2.3) |
равномерно по п = |
------. |
|
|
|||||
Так: как и~(х, k) = (u+(x, |
k))*, |
|
|
1*1 |
|
|
|||
то в’ дальнейшем будем |
|||||||||
рассматривать лишь функцию и(х, k)=u+(x, k). |
|
|
|||||||
§ 2. Эквивалентность уравнения (2.1) интегральному |
|
||||||||
|
|
уравнению |
|
|
|
|
|||
Введем |
вспомогательное |
банахрво |
пространство |
||||||
5 (^jv\:Q), состоящее |
из |
функций, |
эквивалентных |
нулю на |
|||||
множестве Q. Норму в B(RN\Q) зададим формулой |
|
||||||||
|
И /(*)Н |
j |
\f{x)\e~^dx. |
|
|
|
|||
Лемма 2.1. Полугруппа G(t) есть полугруппа класса С0
в B(/?W\Q).
40
