ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 06.08.2024
Просмотров: 84
Скачиваний: 0
нейно-независимых решений уравнения (3.11) ей соответ ствует), удовлетворяет асимптотической оценке
N (к) — V |
|
_N |
_N |
1< ----------2^ |
----- — Я2 + 0(к2), Я->оо. |
||
,(+)<, |
(4д)^2г ( т |
+ 1) |
|
|
|
|
(3.14) |
До ка з а т е ль с т в о . . |
Фиксируем |
произвольное |
|
^ ^ ^ , о с ). Так как в силу теоремы 3.1 оператор
Г+(Х) вполне непрерывен как оператор [Li^>-Li], то выполнено либо включение (3.12), либо уравнение
Г+(Х)ф = ф
имеет нетривиальное решение ф(х, k)^Li и удовлетворяет ф(х, X)eL°°, н о тогда из теоремы 1 .1
(3.15)
из' Li. Если функция уравнению (3.15), то следуют оценки
I (£Ф) (х , |
Я) |= О( |я \~ N ~ a), |
|V, &Ч>) (*, |
X) I = О ( I х | -"-“ ), |
поэтому из теоремы 6.6 и равенства (3.15) |
следует, что функ |
||
ция ф(х, |
к) удовлетворяет |
условиям излучения и оценке |
|
(3.3); умножив обе части равенства .(3.15) |
на {е~и — G0(t))>- |
||
получим, |
что функция ф(х, к) |
удовлетворяет уравнению (3.4), |
|
поэтому из теоремы 3.2 следует, что функции ф(х, Х)=0 при x e Q b Так как ф(х, X)eL°°, то отсюда следует, что функция
•ф(х, A )eL 2, но так как оператор G(t) самосопряжен в L2, при фиксированном t> 0 существует не более счетного мно
жества точек {^+)Ь для которых уравнение (3.4) имеет не тривиальные решения из ZA Из теоремы 2,1,следует, что каж дое это решение удовлетворяет уравнению (3.11) и множе
ство точек {Ь<+)} не зависит от t.
Пусть теперь функция ф(х, X,-)eL2 и удовлетворяет урав нению (3.11). Из теоремы Т. Като [6] следует, что функция ф(х, Х) = 0 при x^Qi, а из теоремы 2.1 следует, что функция
ф(х, X) при всех t> 0 удовлетворяет уравнению |
|
|
е~и ф = G (t) i|v |
(е~и — G0(^))ij) = — £ф. |
.(3.16) |
Так как ф(х, X)eL>, то из (3.16) в силу теоремы 6.7 следует,
что функция ф(х, Xj+)) удовлетворяет уравнению (3.13). Так как оператор T+{ki) вполне непрерывен, то существует лишь конечное число линейно-независимых решений уравнения
(3.13).
Нам осталось доказать асимптотическую, оценку (3.13). Пусть Х,£+)> 0 те числа, при которых уравнение (3.15) имеет нетривиальные решения из Li, ф(х, Х|+)) — соответствующие
55
собственные функции. Будем считать, что среди чисел Xj+> есть
совпадающие, |
но каждому |
|
соответствует только одна функ |
||||
ция ф(х, Л-+)), причем система функций {ф (х, |
ортонор- |
||||||
мирована. Так как при всех t^>0 выполнено неравенство |
|||||||
ф(х, Х() е~%? = |
j G (х, у, t) ф(у, Х{) dy, |
|
|||||
то в силу неравенства Бесселя |
|
|
|
||||
£ |
ф2(х, Xt) |
|
J G2(х, |
у, |
t) dy. |
(3.17) |
|
Ь;>0 |
|
|
|
|
|
|
|
Так как ф(х, |
?^)=0, xi£ Q 2, |
то из (3.17) |
следует, |
что |
|||
|
P—1UdN(X) < |
j |
dx j G2(x, |
y, |
t) dy. |
(3.18) |
|
Но |
|
|
|
|
|
|
|
G2(x, |
y, t) |
= Go(x, |
y, |
t ) g { cp(x, |
y, |
t, x ( t ) ) } 2 |
< |
<Co(x, у, |
0 [1 + <э {ф(_) (x> У> |
^W)2- 1} ^ |
|||||
|
|
= G0(x, y, 011+o(l)],. |
|
||||
поэтому из (3.18) следует оценка |
|
|
|
||||
? e~2UdN{a) < |
---- 1 + o(J^— mesQ2, |
|
|||||
ft |
|
|
(4n-2t)N/~ |
|
|
|
|
из которой вытекает формула (3.14). |
|
|
|
||||
|
§ 3. Оператор (Е—Т(X) ) |
1 |
|
||||
Так как функция Т(Х) |
периодична по ‘X с периодом 2nijt, |
||||||
нам достаточно рассмотреть |
оператор |
(Е—Т(Х))~1 в полосе |
|||||
{Л; Q^ImX<2n/t}.
Теорема 3.5. Оператор (Е—Т{Х))~\ рассматриваемый как
функция X со значениями в [Lp-*~Lp, |
1</?<°°], |
голоморфен |
|||
по X для всех l e {*,; |
C <Im ^ < 2 n/t, А ^ [0, |
оо]} |
за исключе- |
||
нием конечного числа полюсов |
>}, |
расположенных^на от |
|||
рицательной действительной оси. |
В каждой точке Xt урав |
||||
нение |
|
|
|
|
|
|
Т+(Х|_))ф = ф |
|
|
(3.19) |
|
имеет конечное число |
нетривиальных |
линейно-независимых |
|||
решений из L р, причем функция ф(х, |
X i~) |
в том и только в |
|||
том случае удовлетворяет уравнению (3.19), |
если она удовле |
||||
творяет уравнению |
|
|
|
|
|
56
Дф = А;ф. |
(3.20) |
Каждое решение уравнения (3.19), принадлежащее некото
рому L>\ 1 < р < оо , принадлежит L—L'flT-00. |
|||
Д о к а з а т е л ь с т в о . |
В силу теоремы оператор Т(А) |
||
вполне непрерывен |
и |
голоморфен по X как элемент |
|
[Lp- vLp, 1 <р< оо]. Докажем, что |
|||
ЦТ (Я)||р_»р->-0, |
ReA->-— оо. |
||
В самом деле, |
|
|
|
IТ (X) \р^р< |
| |
|(1 |
+ |К (A)|U,)ШР-+Р- |
По теореме (6.5) норма |
||К(X) |р_»р при ReA^—е<0 огра |
||
ничена константой, не зависящей от X, откуда и следует дока
зываемое утверждение.
В силу известной теоремы ![4,5] отсюда следует, что опе
ратор (Е—Т(Х))~ 1 голоморфен |
по X всюду за исключением |
|
некоторого счетного множества |
точек |
для которых |
уравнение |
|
(3.21) |
Т(А|_))ф = ф |
||
имеет нетривиальное решение в Тр, а в точках Xf~* оператор (Е—Т(Х))~‘ имеет особенность типа полюса, причем точки
Xj~) могут иметь точку накопления лишь на границе обла сти голоморфности оператора Т(А), т. е. на прямых
ImA= 2nm/t, ReA^O. Из равенства |
(3.21) и теоремы 3.1 сле |
||
дует, что каждое решение уравнения |
(3.21) принадлежит |
||
L= Llf\Lc°, поэтому, умножив обе части равенства |
(3.21) на |
||
оператор (е~Л*— G0(t)), получим, |
что |
каждая |
функция |
ф(х, Х(~*) есть собственная функция оператора 'G(t):
|
e-t-f’t ф(х, X-4 ) = j G(х, у, /)ф(г/, ХГ( |
}) dy. (3.22) |
|
В силу самосопряженности оператора G(t) отсюда |
следует, что |
||
_ |
1 = 0, поэтому {A,;}ci( — оо, |
0). Из теоремы 2.1. еле- |
|
Ime |
|||
дует, |
что каждая функция ф(х, Af-)) |
удовлетворяет уравнению |
|
(3.20) , а множество {Af- ''} не зависит от параметра t. Так как
оператор Т(А^-)) вполне непрерывен, то уравнение (3.19) имеет лишь конечное число решений.
Если |
функция ф(х, Ai—)) |
удовлетворяет уравнению |
|||
(3.20) , то она удовлетворяет и уравнению |
(3.22), |
поэтому |
|||
|
|
(е_ V — G0(t)) ф = — £ф, |
|
(3.23) |
|
применив |
к |
обеим частям |
равенства |
(3.23) |
оператор |
{e~XJ— G0(t))~l, |
получим, что функция ф(х, |
А|-)) удовлетворя |
|||
ет уравнению (3.19). |
|
|
|
||
57
§ 4. Существование и единственность решения задачи квантовой теории рассеяния
|
В силу теоремы 2.3 функция и{х, |
к) = ё кх + cp (х, |
k) в том |
|||
и только в |
том случае есть решение задачи рассеяния, если |
|||||
|
|
|
2/V |
и |
удовлетворяет |
уравне |
функция cp (х, к) £ L\ —— — < q < оо |
||||||
нию (2.33). |
Так |
как в силу теоремы |
3.1 Т+ (к2) е1кУ€ U,q 6 |
|||
€ |
2N |
оо , то из теоремы 3.4 следует |
|
|||
N — 1 |
|
|||||
|
|
Пусть потенциал |
V(x)^A(a,R), |
а число |
||
|
Теорема 3.6. |
|||||
А.=62е (0 , о о ). Тогда могут представиться два случая: |
||||||
|
1) если |
^ 6 {^1+,}> где {^i+)} — некоторое счетное множе |
||||
ство точек, свойства которого описаны в теореме 3.4, то урав нение (3.19) имеет конечное число нетривиальных решений, каждое из которых принадлежит L°°, равно нулю вне множе ства £2г и является собственной функцией вполне непрерыв
ного оператора Т+ (Xj+));
2) если i 6 (0, оо) \{А,(-+)},то существует единственное ре шение уравнения задачи (2.18) — (2.20), причем функция
ф(х, к) может быть найдена как решение интегрального урав- 2 дг
нения (2.33) и есть предел в метрике Lу, —— р <^q<^oo
при М > оо решений уравнения
|
фА1 (X, к) = |
Тм(к2) (е»‘У+ |
фл,) (X, к). |
(2.33*) |
|
Доказательство. |
Если |
к2 = %£ (0, |
°о)\{А,[+)}, то |
||
единственное решение уравнения (2.33) |
дается формулой |
||||
. |
Фм (х, k) = (Е— Tt (к2))-1T t (к2) ё*>. |
||||
В силу теоремы (3.1) |
|
|
|
|
|
II (Тм(к2) — 74+) (&2)) eiky|р-> 0, |
ЛГ-»оо, - Ж |
- < р < оо, |
|||
|
II Тм(к2) — Т+ (k2) \р-*р->• 0, |
Л4-*оо. |
|||
Поэтому . |
|
|
|
|
|
\ \ { E - T { k ^ - ( E - T t m ) - % ^ ^ 0 , |
М ^ оо , |
||||
откуда и следует доказываемое утверждение. |
|
||||
|
§ 5. О гладкости решения задачи рассеяния |
||||
Если |
|V(хо) |<ooj то поведение решения уравнения (2.1 ) |
||||
в окрестности точки Хо полностью |
определяется гладкостью |
||||
потенциала в этой окрестности и при наших предположениях о потенциале решение локально принадлежит C<2'v), Y > 0-
58
Сложнее обстоит вопрос о поведении решения задачи 2.1 при х-»-гр£2, £2 = {х, |V(,к) |= со}. Если множество Q достаточно
хорошее, то |и(х, k) |—>-0, х->-гр£2, в общем случае этот вопрос достаточно сложен. Тем не менее в этом направлении может быть доказан следующий результат.
Теорема 3.7. Пусть ф ( х , X)^L°° и удовлетворяет урав нению
е~мcp (х, X) = ^G(x, у, |
t)y{y, X)dy. |
(3.24) |
Положим |
|
|
х(*) = ПУ(*)ф(*. Ь)1. |
x t R N\Q |
|
1 о, |
хб П. |
|
Тогда н(x)<=Ll(RN). |
|
при всех |
Д о к а з а т е л ь с т в о . Так как функция ф ( х , X) |
||
t>0 |
удовлетворяет уравнению (3.24) (это следует из теоремы |
||||
2.1 ), то справедливы неравенства |
|
|
|||
|
о—WI |
|
|
ОФИфЦоо, |
|
|
|ф(х, X)|<jG(x, у, |
|
|||
|
|
|
t |
|
|
|
I ф (->с, Х)| < Ц 1 — е“ м)_ 1 11ф||оо j-dx J-G (х, у, x)dy, (3.25) |
||||
|
| |ф (х, X) |Vm ( х ) |
|dx < |
X(1 — e-W)~‘ |фЦ» х |
|
|
|
t |
|
x) |VM( x ) |dxdy. |
|
|
|
X j dr jG(x, у, |
|
|||
, |
о |
|
|
|
|
Пусть |
|
|
|
|
|
|
V+ (x) = шах {V (x), 0} |
V~ (x) = |
— min {V (x), |
0}, |
|
Vm { x) = min{V+ (x), M}, |
Vm (x) |
= min{V- (x), |
M} . |
||
Ясно, что |
|
|
|
|
|
|
Vm ( x ) = |
Vm ( x ) — Vm ( x ) , . |
|
||
|
I Vm (x ) I = Vm (x ) + Vm (x ). |
|
|||
|
Несколько отступая от обозначений гл. 1, положим |
||||
|
GM(х, у, t) = G0(х, у, t) х |
|
|||
|
X ^{фм(х, У, t; х(т))ф(-)(х, у, t; х(т))}. |
|
|||
Справедливо неравенство |
|
|
|
|
|
|
/ |
у, x)dxdy < |
t |
X .. |
|
0 < j dx J |Vm(х) JG(х, |
j dr J |Ум(х)| |
||||
59
