Файл: Арсеньев А.А. Сингулярные потенциалы и резонансы.pdf

Но какова бы ни была финитная функция ф(х), справедли­ во равенство

Так как множество финитных функций всюду плотно в B(Rn'\Q), то из (2.4), (2.5) и теоремы Банаха следует, что для любой функции ф(х)еД(./?яХ&2).

^Hrn IG(/) ср — ср \B(rn\ q) = °-

Лемма 2.1 доказана.

Пусть t — произвольное фиксированное положительное число, t e ( 0, о о ). Рассмотрим уравнение

Теорема 2.1.

1) Уравнение (2.6) при данном fe(0 , оо) может иметь решения из Ь°° только при X = ‘kQ+2mm/t, где Я,о^(—°о, оо ),

аот — целое число;

2)если функция и(х, X ) e L “ и при некотором t e ( 0, оо) удовлетворяет уравнению (2.6), то функция и(х, К) удовлет­ воряет уравнению (2.6) при всех ^>0 и является решением уравнения

41

удовлетворяющая уравнению (2.6) при Х<0, принадле­ жит L2.

Д о к а з а т е л ь с т в о . Если функция и(х, X)^L°° и при некотором t— to>0 удовлетворяет равенству (2.6), то в силу теоремы (1 .2) функция и(х, ДЛ равна нулю на множестве Q и поэтому принадлежит B(Rn nQ). Для ф^ В (RN\Q) спра­ ведливо равенство

Яф = — А0ф,

где А0 — инфинитезимальный оператор полугруппы G(t). В пространстве В(Д^\Й) рассмотрим операторы1

теоремы (1 .1 ) равномерны по t на любом замкнутом интер­ вале [а, '6] с ( 0, °°), в этом не трудно убедиться, просматри­ вая их вывод.)

Пусть функция и(х, X)^L°° и удовлетворяет уравнению (2.6) при t— t0>Q. Разложим функцию S(t)u, рассматривае­ мую как функцию i со значениями в банаховом пространстве B(Rn^Q), в ряде Фурье по t на промежутке [0, fij]. Так как

1 Здесь применен прием, использованный для аналогичных целей в книге

[5, стр. 484].

42

G(t) — полугруппа класса Со в B(RN'\.Q), то функция S(t)u сильно непрерывна по t на интервале [0, 4 ], а в силу равен­ ства (2.7) она периодична по t с периодом to, поэтому ряд Фурье функции S(t)n суммируем в метрике B(RN'\Q,) мето­ дом Чезаро

G(t), рассматриваемый как оператор в В2, самосопряжен, по­ этому из равенства (2.10) следует, что (1пи) (У, &)=0. Совер­ шенно аналогично доказывается, что

(/„«)(х, X) = 0, если Im(X + 2nin/t0)<^0.

43

Теперь предположим, что не найдется такого цеЛого числа д, что /дг(А+2ш'дД0) =0. Тогда для всех д выполнено равен­ ство (/„и) (х, Я) s 0 , и из (2.9) следует, что при всех £е[0, t0] выполнено равенство S(t)u—0, а отсюда вытекает, что и(х, А) = (S(to)u) (х, А)=0. Если найдется такое До, что Im(X+2mti/t0) =0, то положим Ао = А+2ш'д0До. Так как при пфп0 выполнено равенство (/пы) (х, А,) =0, то из (2.9) сле­ дует, что при всех £>0

числа разных точек Ао0для которых уравнение (2.10) имеет нетривиальные решения из L2, поэтому при данном t сущест­ вует не более счетного множества точек, лежащих в левой полуплоскости, для которых уравнение (2.6) имеет нетриви­ альные решения из А°°. Так как решение уравнения (2.6) при некотором t=t0>0 есть решение при всех ^ > 0, то множество точек {A; Ai<0}, для которых уравнение (2.6) имеет нетриви­ альные решения из А00, не зависит от t.

Теорема 2.1 доказана.

Лемма 2.3. Если,функция и(х, A)eL°° и при А=^=0 удовле­

(2.15), то функция P(Q)u при всех ^>0 удовлетворяет урав­ нению (2.6).

Из равенства (2.16) следует, что и(х, А)&О(Л0).

Рассмотрим функцию cp(x, t)—G(t)u. Эта функция удов­ летворяет дифференциальному уравнению

44

Легко видеть, что решение задачи (2.17) единственно, причем Ф(х, t) = е~и ф (х, + 0) = е~и и(х, X) = G (t) и.

Если А,=0, то те же рассуждения применимы к функции

P(Q)u.

Лемма 2.3 доказана.

Следствием леммы 2.3 и теоремы 2.1 является Теорема 2.2.

/) необходимым и достаточным условием того, что функ­ ция u(x; X)^L°° и есть решение уравнения (2.1 ), является выполнение равенства (2.6) при некотором tQ>0, причем если равенство (2.6) выполнено при некотором ^о>0. то оно вы­ полнено при всех t > 0;

2) если функция и(х, 0) есть решение уравнения Ни=0, то функция P{Q)u удовлетворяет равенству (2.6) при всех

i > 0;

3)уравнение (2.1) имеет нетривиальные решения из LM ТОЛЬКО при А,е(—оо, оо);

4)существует самое большое счетное множество точек

{Х,г-, Хг< 0}, для которых уравнение (2.1 ) имеет нетривиаль­ ные решения из L°°, причем каждое это решение принадлежит L и удовлетворяет уравнению (2.3) при всех ^>0.

§3. Решения уравнения (2.4), удовлетворяющие условию

*излучения

45