Файл: Арсеньев А.А. Сингулярные потенциалы и резонансы.pdf

Из интегрального уравнения для функции Грина t

Gm(-г, у, /) = Go (х, у, *- j* Ут J GqО, ^~ ■О X

л

X[Vt O ) - y - (z )],

Gm O, у, т)Уг

следует, что

Ям О, У, г1) = J JGoО, 2, / —T)[y^(z) —y-(z)]GM(z,r/,T)d2»

поэтому

<t

^dx j [Vt(z)~V-(z)]GM(z, y, x) dzdy = j Ям О, У, t)dxdy.

n

Следовательно,

*

] j Ут j [Ум 0) —У- 0)1 Gm О, У, v) dxdy |< | |Ям О, У, ОI dxdy.

n

13.28Y

В силу оценки теоремы 1.1 правая часть этого неравенства ограничена сверху константой, не зависящей от М. Из оценок

щим от М.

Но последовательность функций |Удг(х)ф(х, 7,) | есть мо­ нотонно возрастающая последовательность неотрицательных интегрируемых функций. Так как ф(х, А) =0 для почти всех х ей , то для почти всех последовательность

60

|VM(x)cp(x, Я,) I сходится к функции %{х, Я), из теоремы Беппо-Леви следует, что %{х, Я) ^ L l(RN). Теорема 3.7 дока­ зана.

В гл. 2 мы доказали (теорема (1.14)), что операторы G(t) образуют полугруппу слабо измеримых по t при ^>0, ограниченных самосопряженных операторов. Из теоремы [5, гл. 22; п. 31] следует, что

о

Из формулы (4.2) в силу единственности спектральной функ­ ции следует, что при Х2><к\ справедливо равенство

61

поэтому достаточно построить спектральное разложение опе­ ратора G (t) при некотором фиксированном ^>0.

§ 1. Исследование дискретного спектра

Пусть <Jd — множество точек дискретного спектра опера­ тора Н, т. е. множество тех точек Я, для которых существует нетривиальное решение уравнения

Следствием теорем 2.1 и 2.2 является Теорема 4.1.

1) Множество (—сю, 0) Пстй конечно. Для того чтобы функция ф(х, Я) и число Я е (—оо, 0) удовлетворяли равен­ ству (4.1), необходимо и достаточно выполнение при некото­ ром <?е[1, с»] равенства

Уравнение (4.5) имеет при фиксированном Я лишь конечное число линейно-независимых решений, каждое из этих решений

принадлежит любому L5, l^ /7-^оо;

2) множество (0, «ОПст^ не более чем счетно; для того чтобы функция ф(х, Я) и число Яе(0, оо) удовлетворяли ра­ венству (4.'4), необходимо и достаточно выполнение при не-

котором <7с f —— j-, ooj равенства

Это уравнение при фиксированном Я>0 имеет лишь конечное число- линейно-независимых решений, каждое это решение принадлежит £°° и равно нулю вне множества Й2. Число то­ чек множества (0, оо)Пстс;, меньших Я (с учетом их кратно­ сти), удовлетворяет асимптотической оценке

§ 2. Построение спектральной функции

Пусть и(х, k) — решение задачи рассеяния (2.1—2.3), {Я,} — собственные значения дискретного спектра оператора Я, {ф(х, Яг)} — соответствующие собственные функции.

Для любой функции f(x-)^L и k<={k, &2£Ё{Я*}} опреде­ лим функцию

62

/г — (Ф (х, к(), / (х)>.

Интеграл в формуле (4.9) понимается в Следующем смысле:

пусть {f)n{k) — сходящаяся в L2 к функции (/) (ft) последо­ вательность функций, каждая из которых равна нулю в окре­ стности множества {к, ft2e{X*}}. Для каждого п интеграл

/„(* )= j и*(х, к) (7)„ (к) dk

lfcl=<X

существует как интеграл Лебега. Утверждается, что последо­ вательность 1п(х) сходится в Л2, причем предел ее зависит

только от If{k) и не зависит от выбора последовательности

(7)» (*);

3) преобразование

_ _N

является взаимно-однозначным унитарным преобразованием про­ странства L2(Rn\Q) в ортогональную сумму пространств

Е2@1т, где т— мощность множества {Я,}. Обратное преобра­ зование дается формулой

63