ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 06.08.2024
Просмотров: 88
Скачиваний: 0
f {x) = U- l [(2n)-N/2(f)(k), |
{Д-Н = |
В этой формуле интеграл ло k лонимаетсятак же, как в (4.9),
а предел по А, в метрике L2. |
нам доста |
|
До ка з а т е ль с т в о . |
В силу формулы (4.3) |
|
точно найти спектральное |
разложение оператора |
G(t) при |
каком-нибудь фиксированном ^>0, поэтому исследуем опера тор
а D(p0) — расположенный в нижней полуплоскости замкну тый прямоугольник с высотой h> 0 и основанием [р', р"].
Лемма 4.1. Если ре£>(р0), Imp<0, то функция. Д(р, G(t)) представима в виде
R(P, G (t)) — R (p, G0(9 )+ 4 (p ), |
(4.И) |
где оператор Л(р) непрерывен по р при peD(po) в равно мерной операторной топологии пространства
(Предполагается, что в множестве Д(ро) введена топология, индуцированная топологией комплексной плоскости, т. е. все множества вида {z, (\z—z0\<е)ПЕ)(ро)} считаются откры
тыми.)
Д о к а з а т е л ь с т в о . Во всех точках р, где оператор Д(р, G(t)) существует, он удовлетворяет второму резоль вентному уравнению
R (р, G(*)) = R (р, G0 (0) - R (Р, G0(9) gR (Р, G(0). (4.12)
Легко показать и обратное: если оператор i?(p, G(t)) — решение уравнения (4.12), то он является резольвентной опе ратора G(t) [5]. Подставив в уравнение (4.12) формулу (4.11) мы получим, что оператор Л(р) удовлетворяет уравнению
A (p) = — R (p, G0)gR (p, G0) — R (p, G0)gA (p),
из которого следует, что
А (р) = — (Е + R (р, G0) g)-' R (р, G0)gR (p, G0). (4.13)
64
Пусть Я = -----j- logр и D — образ области]/) (р0) при этом
отображении. Так как в силу теоремы 6.6
R (Ц, G0 (0) = ехР (Щ (Е + К (Щ, Ь= — (log \L)/t,
где оператор К (Я) непрерывен по X для всех X£ D1 в сильной операторной топологии пространства Ьч-^-Ьч, 1 /р — l/q > Л' 1
(при ReA,>0, IrriX = 0 под оператором К(Х) понимаем опера
тор /(+(Я) = lim (К(Х + ie))), то оператор
е-»+0
B(X) = R (р, G0) gR (р, G0), X= — -j- log p
непрерывен по 1 в равномерной операторной топологии |
прост- |
||||
ранства |
- |
9N |
|
1.3 |
опера |
LP ->■Ьр — — - < р < / оо, (в силу теоремы |
|||||
|
|
N — 1 |
пространстве [Lp- » Ьч, |
1 <[ р < оо, |
|
тор g вполне непрерывен в |
|||||
1 < р < о о ]). |
Оператор Т(Х) |
в силу теоремы 3.1 тоже непреры |
|||
вен по X6 D в равномерной операторной топологии пространства |
|||||
ГLp—*Lp, |
^ < р |
и из (4.13) следует, что оператор |
|||
Л (Я) = (£ — Т(Х))~'В(Х)
непрерывен по X в тех точках ЯеД, где существует оператор (Е—Т(Х))~\ Однако в силу теоремы 3.5 оператор (Е—Т(Х))~1 существует при всех Яе(X, 0<1пШ <2я} и всех Яе[Я0—б, Яо+'б], поэтому оператор Л (Я) непрерывен по Я для
всех ЯеД. Лемма доказана. Пусть
q(Ц, f) (JC) = f (*) — (gR (И> G) f) (x). |
(4.14) |
|
Лемма 4.2. Если f(x)eL , то функция q(\i, f)(x) |
непре |
|
рывна по р'в метрике Ьр, |
1^р<оо,. для всех р&£>(р0). |
|
Д о к а з а т е л ь с т в о . |
Это утверждение есть следствие |
|
леммы 4.1 непрерывности оператора К(Х) по Я в сильной то пологии пространства 1/р— 1/р/>-^ ^ и вполне
непрерывности оператора g в пространстве [Lp^ L (>i К р ^ о о . l^q<oo].
Так как
R (Ц, G(t)) / = /?(!*, G0 (0) [Е- g R (ii, G(f))l f = R (p, G0 (/)) q(p, f),
то для любых двух функций fi, fi^L справедлива формула
|
|
|
|
{fi, [Я Г , G)-R(li,G)\f2} = |
|
|
|
|
= |
- |
(11 - lO </i, Я 0Л G) R (IX, G) Q = |
|
|
|
|
= |
— (H- — lO (R (n, G) h, R (fi*, G) /2) = |
|
||
= |
- |
(Ц - |
(1*) (Я (ц, G0) q((Л h), R (fi*, G0) q (p*. /2)> |
= |
||
|
= |
< q(IX, /О, [Я (p*. Go) - |
R (p, G0)l ? (p\ /*)> |
(4.15) |
||
Отсюда следует, |
что |
|
|
|||
|
|
|
1Д." |
|
|
|
//i,— |
|
f |
[Я (Л - te, G (0) - |
R (Л + ie,G (0)1 |
|
|
\ |
2щ ,) |
|
|
|
||
ч'
=У — Г (<7 О1 — ie, Д), [Я (Т1— is,G0 (i)) —
2я£ J
|
W |
|
(4.16) |
— R(r\ + |
i&,G0(f))]q(i\ — lB, fj)di\. |
||
В силу теоремы 6.5 |
|
|
|
R (т) — ie), G0 (0) — Я (ti + ie, G0 (i)) = |
|
||
218 |
£ + |
„2!Ч -Я ( -----J- log(*4 — ie)] + |
|
T)2 + 8 |
|
tl* + e* |
|
+ — -L— [ * ( |
---- j- log Cn — ie)) — Я ( ---- j- log(T) + ie)) |
||
Из теоремы 6.6 следует, что в равномерной операторной топо-
логин пространства ~U ^L\ 1/р— 1/<7> ^ +1 ^ справедливо
2N
равенство
1i:п К (---- |
j- log (т]— ie) — К ^---- j- !°g (л + ie)j |
||
e-»+0 |
|
|
|
= |
Iк+ (Л.) - |
K~ (ЭД, K= — J-log T), |
|
где оператор |
[K+Ck)—Я“ (?0] — интегральный |
оператор с |
|
ядром |
|
|
|
|
■[Я +(Л ,)-КШ *.У ) = |
|
|
О, |
|
• Ь<0, |
|
|
У-к У |
J (I х — у\У%), |
х > 0 . |
vC2я|х — у |/ |
2L-1 |
|
|
66
Переходя к пределу е-э-+0 в равенстве (4.16) и учитывая лемму 4.2, получим, что
= |
(к, [Е (К + 6, Я) - |
£(^0 - 6, / / ш = |
|
|
|
|
|
£ -1 |
X |
4я |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
х 7Д __, (\x — y\Vx) x |
(4-17) |
|
|
|
2 |
|
|
х q(e-w |
ю, /2 (х) Лс^Я, 6 |
[А* — 6, Х0+ 6] П [0, оо). |
||
При f (х) е £ |
и |
функция q(е~и — Ю, /) (х) 6 L, |
поэтому |
|
ее преобразование Фурье существует и является непрерывной функцией от k. Учитывая, что
2
^^ 8 ( \ к \ - У Ц ,
иприменяя к (4.17) равенство Парсеваля, получим
</х, [£(А,0 + 8 , Я ) — £(А.0 — 6, Н ) ] к ) = |
|
|||
= (2ii)_iV |
j |
(Я)0 (exp (— кЧ) — Ю,к)* (k) {q)0 X |
|
|
X0-e^fc2<X0+6 |
|
|
||
|
|
X (exp(— кЧ) — Ю, / а) (&)dk, |
(4.18) |
|
Лемма 4.3. Для всех Яе(0, °о)\{АД, k^Rx и |
спра |
|||
ведливо равенство |
|
|
|
|
(Фо (е~м — Ю, /) (к) = |
J [exp (£Ajc) + Ф (х, к, &)] / (х) dx, |
|||
где функция ф(х, |
к, X) есть решение интегрального |
уравне |
||
ния (2.33) |
|
|
|
|
Д о к а з а т е л ь с т в о . По определению, |
|
|||
(<7)0 (Ц, /) {к) = |
f exp (ikx) (f (x) — (gR (ц, G) f) (x)] dx = |
|||
= |
(/)о (A) — j |
(Я (H, G) ge{ft!0 (x) f (x) dx. |
|
|
Докажем, что функция |
— (Я (ц, G (0) geik,J) (х) |
|
||
|
x (к, (х) (х) = |
. (4.19) |
||
5 |
|
|
|
67 |
|
|
|
|
|
удовлетворяет уравнению
и (k, р) — R (р, G0) (G - G0)e‘by + R (р, G0) (G - G0) к (/г, p). (4.20)
(В силу теорем 2.1 и 2.2 решение этого уравнения существует
и единственно при всех р £ |
{е~ ¥ }). |
Подставив (4.19) в пра |
|||
вую часть уравнения (4.20), |
получим |
|
|||
R (р, G0) (G - G0) ё ку+ R (р, G0) (G - |
G0) Я (р, G) (G - |
G0) ё ку= |
|||
|
= Я (р, G) (G — G0) |
= х {k, р). |
|
||
Положив в этом уравнении р = |
и учитывая, что в |
||||
•силу теоремы 3.1 в равномерной топологии пространства |
|||||
|
1 <<7 <оо, |
< p < o o j |
|
||
выполнено равенство |
|
|
|
|
|
R (r(H «< G0) (G - G0) = |
Г (Я. + |
ie) -> Т+ (X), в-* + 0, |
|||
получим, что при всех X |
(А,£) |
|
|
||
lim |
I х (e_ ^+i8)i(, k) (х) — ер (х, k, X) |р = 0, ■■2iV |
< р < оо |
|||
е-*+0 |
|
|
|
— 1 |
|
(здесь |
ф(х, k, X)— решение |
уравнения (2.33)). Следовательно, |
|||
. |(<7)о (e~w — 1'е>/) (&) — |
j |
[eto — Ф (*> X ^)I/ W |
dx |= |
||
=11 [х (е- <^+ie)i, k) (х) — ф (х, k, А.)]/ (х) dx |=
=II / Ik' II и (e-(^+ie)', А) (х) — ф (х, k, X) Iр -*■0, e-v + 0, (р' = pip— 1).
Лемма доказана.
Следствие. При f^L и k2£ {X} справедливо равенство
q {e~kH— i0,f) (k) = j [u(x, k) f (x) dx, .
где u(x, k) ■— решение задачи рассеяния (2.1) — (2.3)
Из формулы 4.18 следует, что для любых X', X", удовлет
воряющих условию |\ X"]f]{Xi} = 0 и fi, |
справедливо |
|
равенство |
|
|
(fv [E(K‘ ,H)-E{k',H)]ft) = (2*rN j |
(ftf{k)(fo(k)dk. (4.21) |
|
Так как в силу известной теоремы ([5]; |
22.3.1) |
функция Е (X, М) |
есть разложение единицы относительно L2{RN\Q,), то, сум |
||
мируя равенство (4.21) по всем сегментам, |
содержащимся в |
|
множестве (—оо, оо)\ {Х }, получим равенство .
68
</i, P (Й) Q = |
(2я)-" J to* (A) (/1) (A) dk + |
|
+ ( £ 7 £ ( £ (^ |
+ 0 ,Я ) - £ ( Х £- 0 , Я ) ) /2). |
(4.22) |
h |
|
|
В силу теоремы 4.1 оператор £(А£+ О, Я )—Д(Л£—О, |
Я) ко |
|
нечномерен, и из равенства (4.22) следует равенство |
|
|
(fv Р (£2) /а>= (2n)~NJ (£)* (k) t o (A) dk + £ (/у)! (/2)£, |
(4.23) |
|
где / 4= (Ч>(■«» h )’>/(*)>•
Из формулы (4.23) следует, что отображение f- + u f= [(2 n )- N/2(7)(k),{m
есть отображение L в L2® / mi где fn — мощность множества точек дискретного спектра оператора Я (с учетом кратности). Докажем, что это отображение можно расширить до отобра
жения L2(^jv\fi) вЯ2ф /т- Пусть f(x) — произвольный эле мент множества L2(RN'\Q) и fn(x) — последовательность функций из L, сходящаяся, в L2(/?w\£2) к f(x). Каждой функ
ции fn (х) поставим в соответствие элемент L2 ® lh
f n - > - u L = № r NI2(f)(k),{m-
Из формулы (4.23) следует, что
( / „ - / ffl,P ( Q ) ( /„ - /m)) =
= (2k)-'v f I (?„)!(£)-;(7m) (k)\2dk + y \ (/J £- (U c I2. '
. ^
поэтому последовательность [(2я)-ЛГ/2 (/„) (/г), {(/„)£}] фундамен тальна в L2® C и в силу полноты L2®/m сходится к некото
рому элементу [(2n)-w/2 (/) (A), {f£}]. |
Докажем, что |
этот |
эле |
мент однозначно определяется функцией f (х) £ L2 и |
не зависит |
||
от выбора последовательности fn{x). |
В (силу линейности |
отоб |
|
ражения U для этого достаточно доказать, что Глюбой последо вательности {/„ (х)}, сходящейся к нулю в L2, соответствует последовательность [(2я)~N/2 (fn) (к), {(/„)г}]> сходящаяся к нулю в £2ф/т> что есть тривиальное следствие формулы (4.23).
Итак мы доказали, что отображение расширяется
до однозначного отображения L2(RN\Q) в £2® /т - (Это рас ширение будем обозначать тем же символом U.)
Пусть Д и /2 — произвольные элементы |
из L2 (Rn \ Й), а |
[(2я)-"/2 (й(А), {(Ш ]> [(2л)-"/2 (?2) (А), {/2>£] |
их образы при |
69
