ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 06.08.2024
Просмотров: 85
Скачиваний: 0
отображении U. Из формулы (4.21), справедливой для функций из L, предельным переходом легко получить формулу
(ft, Е (X, Н) /2> = (2я)-" |
J |
(ТгГ (k) (1) (A) dk+ £ (/,)* (/,),. |
||
|
lfe|2<X |
|
|
а.г<х |
|
|
|
|
(4.24) |
Обозначим символом Р(Я2) |
проектор |
на |
подпространство |
|
функций из Е2, для которых функция |
|
|
||
Ф (Я) = ( / , £ ( * , Я )/> |
|
|
||
абсолютно непрерывна |
по |
X для всех |
Хе[0, оо). Пусть |
|
A — P(Hq)L2. Из формулы (4.24) следует, |
что А является ор |
|||
тогональным дополнением в L2 к гильбертову пространству, |
||||
натянутому на векторы {ф(х, |
Аг)} и к L2(Q). Чтобы доказать, |
|||
что каждый элемент множества L2® 1,п является образом некоторого элемента из L2(i?^\Q) при отображении U, нам достаточно доказать, что каждый элемент L2(RN) есть образ при отображении U некоторого элемента из А, а для этого нам достаточно [8] доказать существование волновых опера
торов.
Теорема 4.3. Существуют волновые операторы
W±(H0, Я) = lim exp (isH) exp (— isH0),
s - » ± o o |
' |
W±{H, H0) = lim exp (isH0) exp (— isH)P(H).
S“ »±00
Пределы здесь понимаются в смысле сильной топологии про странства [L2-+-L2] и операторы W± вычисляются по фор мулам
<Л, |
(Я, Я0) /2) = |
(2n)~Nj (fS (k) (f2) (k) dk, |
(4.25) |
W-, |
(Я, Я0) f = {2n)~NJ exp (— ikx) Cf) (k) dk, |
(4.26) |
|
</i. W- (Я0, Я )/2) = |
(2*)“ " J {hY (k) (7ajо (A) dk, |
(4.27) |
|
(W- (H0, H) f) (x) = |
(2n)~N| a* (*, k) (~f)о (A) dA. |
(4.28) |
|
Д о к а з а т е л ь с т в о . Из определения оператора Я сле дует, что P(Q)H = H. Поэтому оператор Я в L2 самосопря жен, и в силу теоремы М. Ш. Бирмана [12] нам достаточно доказать, что при некотором ^>0 существуют волновые опе раторы
W± (G0 (t), G(/)) - WT(Я0, Я) и (G (t), G0(0) = |
(Я, Яс), |
|
(4.29) |
70
а существование волновых операторов W±(Go(f), G(t)) и W+{C(t), G0(0) есть следствие того факта, что в силу теоре мы 1.7 оператор g(t) =С0(0 —G(t) ядерный.
Докажем формулу (4.9) для вычисления спектральной функции. Так как для любой функции f{x )^ L 2 функция
«р (к) = </(х), (Е (к, Н0) /) (х)> = (2л)~м j |(По(ft) I2 dk
абсолютно непрерывна и операторы W±(H, Но), W±(HoH) существуют, то в силу известной теоремы [8] оператор W-(H, Но) отображает А все L2. Но из формулы (4.26) сле
дует, что
(/] (ft) = j exp (ikx) {W- {H, H0) {x) dx,
поэтому преобразование f —*Щ —(2л) Nl2 (/) (ft) |
является од |
нозначным преобразованием А на все ZA |
|
Пусть/6L*CR*\Q). [(2л)—^/2 (/) (ft). {fг}] |
образ функции |
fjx) при отображении U, (/)„ (ft) — сходящаяся в [L2 к. функции
(/) (ft) последовательность функций, каждая |
из которых |
равна |
|||||
нулю в окрестности множества {ft, ft2 6 {ft;}}- |
Так как |
по |
дока |
||||
занному каждый |
элемент множества |
L2 ® 12тявляется |
образом |
||||
некоторой |
функции / (х) (ЕL2 (Д^ \ £2) |
при |
отображении |
U, |
то |
||
найдется |
такая |
последовательность |
/„ (х) в Е2 (Rn \ |
“ )> |
что |
||
ufn=[(2n)-Ni2(T)n( k ) ,m - |
, |
Для каждой функции fn(х) и любой функции а W с ьо |
|
в силу доказанной формулы (4.8) |
справедливо равенство |
( а ( х ) , (Е (к, Н) / п) (а-)) = |
|
= (2я)-ы12 Г (a) (ft)* (Ъп |
dk+ £ (а)*/; = |
В формуле (4.30) перемена порядка интегрирования воз можна, ибо функция и*(х, ft) абсолютно интегрируема по ft на носителе функции fn(k), а функция а(х) финитна. Тогда из (4.29) следует, что
Е{к, Н) fn= (2я)“ " Г и* (х, ft) (/)„ (ft) dk + j£ / £ф(х, Я.,).
В силу формулы (4.22) справедливо равенство
J |/ (JC) — /„ (х) I2 dx = (2я)~мJ I (/) (ft) — Cf)n (ft) I dk-> 0, n-*oo.
71
поэтому
Е(К Я )/= 11 т£ (\ , H)fn =
П->оо
= Пт [(2я)-" J* и* (х, А) (/)„ (k) dk + £ |
(х, А,,)]. |
||
П-—*оо |
lfe|*<X |
\<Х |
|
|
|
||
Формула (4.9) |
доказана. |
единицы |
относительно |
Так как |
£ (А,, Я )— разложение |
||
L2(Rm\ Q), то
Пт ||/ (х) — (Е (А,, Н) f) (х) |l*(rj,\q) = 0.
\-»со
Теорема 4.2 доказана.
§ 3. Об эквивалентных регуляризациях задачи рассеяния на сингулярном потенциале
' Пусть p(f) — такая |
абсолютно непрерывная |
мера на |
[0, оо), что при некотором е>0 |
|
|
|
00 |
|
exp (et) d\i (t) < оо, j t~4*~edn(t) < po |
(4.31) |
|
о |
о |
|
и пусть |
|
|
F (A,) = |
00 |
(4.32) |
J exp (— Ai) dp.(^). |
||
о
Предположим, что функция cp (x)^ L p при каком-нибудь фик сированном р е [ 1, оо] и такова, что функция
Ф(х, if) = jG(x, у, t)y(y)dy
сильно непрерывна по t в Lp при ^>0. Определим на таких функциях оператор F (Я) ^[Lp-^Lp] равенством
• ОО |
(4.33) |
F (Я) ср = | G (t) yd\i{t). |
о
Интеграл в (4.33) понимается в смысле Бохнера. Определе ние (4.33) корректно в силу непрерывности функции 0(£)ф, оценки (4.31) и неравенства
sup ||О(0ф||Р<С||ф(*)||р.
72
Если cp 6 L2, то G(/) ср непрерывна в L2 и
ОО 00 |
00 |
F (Я) ф = Г К е-ЩЕ (К Я) ф] й\к {t) = |
j F (К) dE (К, Я) ф, |
О 0 |
о |
так что наше определение согласуется с общим определением функции от оператора. Полугруппа G (t) не есть, вообще го воря, даже полугруппа класса А, поэтому применить непо
средственно теорию операторного исчисления Хилле |
Фил |
липса [5] в случае L°° не удается. Легко видеть, что Е(Н) — |
|
интегральный оператор с ядром |
|
F (Я) (х, у) = j G (х, у, 0 ф (0 |
(4.34) |
о |
|
(в (4.34) интеграл понимается в смысле Лебега — Стилтьеса), причем для этого ядра справедлива оценка
0 < F (H )(x,y)< C \ x — y\~N, хф у .
В дальнейшем ограничимся случаем V(x)^0, так как это значительно упростит выкладки, а общий случай не внесет
ничего принципиального нового.
Лемма 4.4. Справедливо неравенство |
|
|
||||
|
|
1, |
К 1<4£, |
|
|
|
j g (*, У>0 dH< • С |^ехр |
-у-1 х ) + |
И > 4 R, |
||||
|
|
|
|
|
|
(4.35) |
где константы не зависят от i. |
М < 4 # } |
неравенства |
||||
До к а з а т е ль с т в о . |
При |
|||||
(4.35) следует из оценки |
|
|
|
|
||
|
О |
g (х, у, t) |
Gq(•*■>У* >. |
|
|
|
а при х^{х, |
|л:| >4/?} |
воспользуемся равенством |
|
|
||
|
|
|
|
1 |
|
|
fg (х, y,t)dy= 1 — Пт § jexp ^— tJ ]/м(2УТх (т) -f х) |
=■ |
|||||
v |
|
|
|
П |
|
|
= |
1 — lim <§( |
sup x(x)\\2Vtx{%)\<' |
|
|
||
|
'iW—>оо |
I, 0< т< 1 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
< |
-L |л' |, ехр ^ |
j VM(2 VTx (т) +*)>**)} — |
|
|||
|
|
|
О |
|
|
|
|
— lim $( sup |
|2 |Лл:(т)|> |
|
|
||
|
М-*оо |
(0<Т<1 |
|
|
|
|
1 Ъ
