ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 06.08.2024
Просмотров: 83
Скачиваний: 0
1
> ~ J X> exp (— ^Ум(21Лх(т) + л:)£^|. (4.36)
0
Если sup*12Vtx(т| < — |x|, a |x|>4R, to
o<t<i |
2 |
inf \2Vt x ( t ) -fx| > 2R,
0<T<1
поэтому найдется такое M0 < оо, что для всех
х 6 (х;|х |> 4#} и х(т) £ lx (т), sup |2уТх(т)| > — \х
|
|
|
I |
0<т<1 |
2 |
выполнено равенство |
|
|
|
||
|
lira |/х(т): sup |2]/7х(т)|< |
|
|||
|
М-+00 |
I |
0<т;<1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
< - i - 1х |, exp( — f ^ Via (2 V t x (т) + |
x) d(t)^| =*• |
||||
|
|
|
о |
|
|
|
= (э/х(т): sup |
|2Vtx (т) I < |
|
||
|
|
l |
0<t<l |
|
|
< |
|x I, exp |
i |
Ем0г(2 Vtx (t) + x) dt^j |
||
j |
|||||
|
|
|
о |
|
|
и из (4.36) следует |
неравенство |
|
|||
J S(■*, y,t)dy<£ 1— ^{х(т):^ир ^12V t x (t) |<
1
< -у I x I exp t j1Vm„(2_yt x {%) + x) df^| + b
+ S{x(r): sup \2Vtx(x)\> -L|x|) <
{ |
0<T<1 |
2 |
J |
|
|
|
l |
|
|
< 1 — 1 jexp |
t ^ Em, (2 1 /7 x (t) + x) di^j. -f |
|||
|
|
0 |
|
|
+ 2$ ( sup |
12 J/Tx (t)| |
|X |) < |
||
|
lo<x<i |
|
2 |
J |
|
I |
|
|
|
< ti |J drVM,, (2VTx (t) + x)j |
+ |
|||
74
+ 2§ I sup |2^ |
л:(т)|>4-|х | 1 < |
|||||
|
lo«<i |
|
2 |
J |
|
|
-Сt |
sup |
Vм„ (5 + x) + 3 (M„ + |
1) |
x |
||
lll<—Ul |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
X I |
( sup |
|2]/£ x (т) |> |
-i- |x |\ •< |
|||
|
1<XK1 |
|
2 |
J |
|
|
< C |^exp |
|
|
11X|-w-« j . |
|||
(Мы воспользовались условиями A (a, R).) |
|
|
||||
Лемма 4.4 доказана. |
|
|
|
|
|
|
Пусть Г (Я) — оператор с ядром |
|
|
||||
|
|
00 |
|
у, t) ф (f). |
|
|
Г (Я) (х, у) = j |
g (x, |
|
||||
|
|
о |
|
|
|
|
Лемма 4.4. Справедливы утверждения: |
|
непрерывен при |
||||
1) Г (Я) 6 [Lq -*■ L4, |
1 < q < |
оо] |
и вполне |
|||
1 <<7<°о; |
|
2) |
||Г (Я) — Г (Ям) А,-,,->■ 0, 1 <<7< о о , М -*оо; |
3) |
Г (Я) 6 [L(>~*LP, 1 < р < 7 < оо ] И вполне непрерывен; |
4) |
|| Г (Я) — Г (Ям) ||7-,р-» 0, 1 < р < < 7 < о о , М -> оо . |
Д о к а з а т е л ь с т в о . Если cpei>, 1< р<оо, то g(t)<p |
|
непрерывна по ( в Lp, и ее интеграл Бохнера — Стилтьеса |
|
есть сильный предел сумм вида |
|
s гй)1ИЬ+|)—!*&)]. t i < 7 i < t i + \ < T < o o ,
откуда и вытекает первое утверждение леммы. Второе сле дует из теоремы Лебега, оценки
IIГ (Я) - Г (Ям) К f II g (0 - gM (t) 1ф (t)
b
и неравенства (4.31). В силу леммы 4.3 для ядра Г(Я) (х, у) справедлива оценка
j |
00 |
|
Г (Я) (X, у) dy = j [j g (x, у, t) ф (*)] dy = |
|
|
|
о |
|
= |
j [J g (X, у ,t) dy] Ф (t) < С [1 + |X ]]-" -“ . |
(4.37) |
(Перемена порядка интегрирования возможна в силу неотри цательности подынтегральной функции и теоремы Тонелли.)
75
Отсюда следует включение
Г(Я) 6 [L°° -+LP, 1 < р « о о ] .
Так как при каждом л:6 R n
|Г(Я )ф , y ) - r ( ^ ) ( x , у )ф =
со |
о, М-► оо, |
= J [j.(g (X, у, t) - gM(х, у, t)) dyj ф (о -» |
|
о L |
|
то справедливо равенство |
|
|Г (Я) — Г (Нм) ||оо-»р-э-0, 1 < р < о о , м -»оо. |
|
Интегрируя, легко получить (4), а вполне |
непрерывность |
оператора Г(Я) следует из очевидной вполне непрерывности операторов Г(ЯМ).
Лемма 4.5. Если / (х) 6 L" f| |
то |
|
R(F(X + Ю), Е (Я0))/ = Р (Я)"1[£ + K t (Я)]/, |
||
где |
|
|
(Я.)/ = (2я)-"/2j £ (р2) [F (Я + |
t'O)— F (р2) ] - 1х |
|
о |
|
|
JN__ (P\*— y\)f(y) |
N_ |
|
X [J — -------- Y Z — |
iy] ? ‘ “p' |
|
I * — У\2
При достаточно малом 0> 0 ядро K t (Я, \х — у |) оператора Кр (Я) можно представить в виде
Kt (Я) (г) = —
w |
w |
4 Д' (Я) |
|
|
|
|
;__ЛГ |
__М |
|
|
|
+ \ г |
2 |
(2ш) 2 { |
J |
Я-(Р2)[.Р(Я)— ^(р^)]-1X |
|
|
|
|
a r g p = e |
|
|
X Н{1 _ л ( г |
р Р) 2 dp + |
J |
Е(Р2) [F (X )-F (Р2)]"1х |
|
|
2 |
|
a r g p = — 0 |
|
||
|
|
|
|
JL |
|
|
|
х Я ^ _ 1(гр)р2 dpj.- |
(4.38) |
||
|
|
2 |
|
|
|
76
Эта лемма доказывается’ прямым вычислением. Из (4.38) следует, что
к£ (\)е L-+L4,
Лемма 4.6. Решение и(х, k) задачи рассеяния для опера тора Я удовлетворяет уравнению
F (К)и = F (Я) и.
Д о к а з-а т е л ь ств о. Достаточно проинтегрировать по d\i(t) уравнение
ехр (— Xt)u = G (t) и\
Положим по определению
Tt (А) '= Д (F (А + Ю), F (Я0)) Г (Я).
Из лемм 4.4 и 4.5 следует, что оператор
Tt(X)e[u>-+is, _ ^ T < P < c « J
и вполне непрерывен.
Лемма 4.7. Если функция и(х, k) = ехр (ikx) +,ц>(х, k) есть решение задачи рассеяния, то функция ср(х, k) удовлетворяет
уравнению |
|
|
|
|
ср = Т~р (A) (exp (ikx) -f- ф), А = |
№. |
(4.39) |
||
До ка з а т е ль с т в о . |
Без изменения проходят рассужде |
|||
ния леммы 2.5. |
|
|
|
|
Лемма 4.8. Любое решение уравнения |
|
|
||
F (А) и = F (Я) и, |
|
|
||
принадлежащие некоторому |
Ьр, 1<р<;°°, |
удовлетворяет |
||
уравнению |
|
|
|
|
|
Ни = Аи. |
|
|
|
До ка з а т е ль с т в о . |
Это |
утверждение, |
есть следствие |
|
наложенных нами требований на меру ц('0 |
и теоремы 16.6.2 |
|||
из [5]. |
|
|
|
|
Лемма 4.9. Любое решение уравнения |
|
|
||
Ф = т £ (А)ф, |
|
(4.40) |
||
принадлежащее Lp при некотором |
|
|
принадлежит |
|
L2 и удовлетворяет уравнению |
|
|
|
|
|
Яф = |
Аф. |
|
|
77
Д о к а з а т е л ь с т в о . |
Из (4.40) |
следует, что функция |
ф(х, А,) имеет асимптотику |
|
|
|
1—N |
|
ф (х, X) = С {%, N) р (п) |х:| 2 |
exp(i]/X|x|) + |
|
Ь " -в |
8 > 0 п = х/\х\, |х|-*~оо, |
|
+ 0(|х| 2 ), |
||
где |
|
|
Р (я) = j* exp (— i (п, у) ]/Х (Г (Я) ф) (у) dy. |
||
Умножая равенство (4.40) |
на Г (Я) ф*, |
а равенство |
ф* = Т> ( W
на Г (Я) ф, вычитая и интегрируя, можно показать,1 что р (п) = 0 , поэтому
ф(х, Я,) = 0(|х| |
2 |
), |jc|—»-оо. |
(4.41) |
Умножив обе части (4.41) на |
R (F (X+ t'O), F(H0)), |
получим, |
|
что ф(х, X) удовлетворяет уравнению |
|
||
F (X) ф = |
F (Я) ф. |
|
|
Из леммы 4.8 и оценки (4.41) следует, что |
|
||
Яф = Аф, ф(х, ^,)=0, |
|
ф(х, X) 6 L°°, |
|
поэтому ф(х, Х)^Ь2. |
|
|
|
Теорема 4.4. |
|
|
|
1) Если X£{Xj}, то |
|
|
|
—1 |
|
2N |
(4.42) |
( E - T t (Х)Г € Lp -> U, |
N — 1 < Р < °° |
||
и существует единственное решение cp(x, k) уравнения (4.39), причем функция и(х, k) = eikx+q>(x, k) есть решение задачи
рассеяния;
2) если Ae{Xj}, то собственные функции дискретног спектра оператора Я удовлетворяют уравнению
Tt (Л.) Ф = ф. |
|
(4.43)' |
Д о к а з а т е л ь с т в о . Если Хф.{Х,}, |
то |
из теоремы 4.4 |
следует, что уравнение (4.40) нетривиальных |
решений не име |
|
ет, а так как оператор Т$ {X) вполне непрерывен, то справед ливо включение (4.42) и (4.43) имеет единственное решение,
1 Этот прием был сообщен автору Л. Д. Фаддеевым.
78
