Файл: Арсеньев А.А. Сингулярные потенциалы и резонансы.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 06.08.2024

Просмотров: 80

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

поэтому

функция и{х, k) =exp(ikx)+q>(x, k)

есть решение

задачи

рассеяния. Если A,e{A-j} и ф(л:, Kj)

— собственная

функция дискретного спектра оператора Н, то она удовлетворяет уравнению

ф= G(() ф,

т. е. уравнению (4.43). Теорема доказана.

ЧАСТЬ И

РЕЗОНАНСЫ В НЕПРЕРЫВНОМ СПЕКТРЕ ОПЕРАТОРА ШРЕДИНГЕРА

Поясним основную идею последующих вычислений. Пред­

положим, что потенциал V(х) имеет вид «ловушки» (рис. 1 на стр. 8). Рассмотрим вспомогательный потенциал V(x),

который совпадает с V(x)

при |л:|<i?0—6 и

|х|>^о + 6, но

равен .+ оо на некотором

множестве П = {x,

R0—6/2< |лг| <

</?о+'б/2}, и будем рассматривать потенциал V(х) как воз­ мущение потенциала V(x). Как мы увидим, при таком под­ ходе малым параметром является величина ехр[— (М—X)

V d(M)l4], где d(M), грубо говоря, толщина потенциального барьера У(х) на уровне V(x)=M, X— спектральный пара­ метр (энергия частицы).

Нам будет удобно рассматривать данный потенциал У(х) как элемент однопараметрического семейства потенциалов {Vm (x)}, Vm (х ) / V(х), .M-voo. В качестве такого семейства можно взять любую последовательность, удовлетворяющую, например, условию

min (М, V (х)) < Vm (х) < min (2М, V (х)).

Для конкретности положим Ум(х)=гшп(М, У(х)). Предпо­ ложим также что потенциал V(х) неотрицателен; общий слу­ чай сводится к этому стандартными методами теории возму­

щений.

<

80

Г л а в а 5. РЕЗОНАНСНЫЕ СВОЙСТВА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ РАССЕЯНИЯ

§ 1. Достаточные условия существования неотрицательного точечного спектра

В этом параграфе мы приведем достаточные условия су­ ществования у оператора Л точечного спектра, расположен­

ного на положительной, оси.

Напомним,

что Q={x,

V{x) =

= 0 0 }, ■&! — наибольшее открытое связное

множество,

содер­

жащееся в множестве

и содержащее бесконечно-уда­

ленные точки, С22= # я\ (£2 UQi) •

Теорема 5.1. Если р(Йь 'й2)> 0 и mesQ2>0, то собствен­ ные функции точечного спектра оператора Н существуют и

образуют полную в L2(Q2) систему функций,

а

и(х,. k) =0

при хеЙг, k2^. {ki}.

 

 

 

 

 

существу­

Доказательство. В силу условий теоремы

ют функция е (х) 6Со° и такие

окрестности множеств £2г, и Q2,

что

 

 

 

?

 

 

 

О С в (jc) С 1; е(х) =

0, лг 6 0(QX);

е(х) = 1,

х£ 0(Qa),

 

O(Q1)nO(Ga) = 0.

 

 

Функция

и(х, k) = и(х,

k)t{x)

принадлежит I s и в силу замк­

нутости

оператора Н удовлетворяет уравнению

 

 

 

 

Л1л = к*и.

 

 

(5.1)

Так как нетривиальное

решение

этого

уравнения

существует

лишь При &2(: {^i}> то ПРИ А2

 

{кс} и (х, к) = 0 ,

поэтому

 

и (х, к) = 0, х £

к2 {Х£},

 

 

и для функции / (х) £ Со° (й£)

справедливо равенство

 

 

(П (А)= j*«

(х, k) f (х) dx =

0, к2 <£ {А.*}.

(5.2)

В силу теоремы 4.2 справедливо равенство

J |f (х) |2 dx = (2zt)~NJ |/ (&) |2 dk +

+ J] I ('Ф (>

f) i2>

h

 

которое в силу (5.2) для-финитных в £22 функций превращает­ ся в равенство

6 1/ 4 А . А . А рсен ьев

'

^

J|/(*)|2d *= ]T I№ (,

А,),

/>|2,

Я2

X(

 

 

что и доказывает нашу теорему.

£2г)>0, и mes£22>0, то

Следствие. Если

V(x)^0, р(&ь

собственные функции

неотрицательного

точечного спектра

оператора Н образуют полную в Е2(йг)

ортонормированную

систему функций.

 

 

 

§2. Оценка вспомогательного интеграла

Вэтом параграфе мы получим оценку, которой в даль­ нейшем будем неоднократно пользоваться.

Пусть ф(х, А,-) — собственная функция точечного спект­

ра оператора Н, Aj>0, им(х, k) — решение задачи рассея­ ния для оператора Нм. Положим

фм (k, Ау) f ф(-^> Ау)Ц-м{.х, k) dk,

' (5.3)

0(М, t) = ||G(Q — GM(t)\\2.

Теорема 5.2. Если у оператора Нм при любом М <°° то­ чечный спектр отсутствует, то справедлива оценка

(2я)_ЛГ j

|фА, (/г, A,.) |2 dk <

 

< exp (2А,-0 (1 — exp (— at))-2 6* (M, t),

(5.4)

где t — произвольное положительное число.

удов­

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Функции им(х, k) и ф(х, Ау)

летворяют равенствам

им exp (— kH) = GM(t) им, фехр (— А,/) = G (0 Ф>

откуда следует, что

[ехр (— kH) — exp (— Ау-01 фм (k, Ay) =

= J им (У, k) [ J [Gm (y, x,t) — G (y,x, 0] Ф (x, Ay) dx] dy

(возможность перемены порядка интегрирования вытекает из компактности носителя ф(х, Aj)), и в силу равенства Парсеваля

(2n)~Nj |exp (— kH) — exp (— Ajt) |21фм (k, Ay) |2 dk =

= IGM(t) - G(0) ФII2 < IIGM(0 - G (t) |1= 62 (M, t).

82

Но

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(2jt)“ w

j

 

|-фл1(k,

12dk<

 

 

 

 

l k - — X j \ > G

 

 

 

 

 

< (2n)-w ■,

exp(f

i0m. ■f |e->* -

e"V |21Ум (k, \) 14k,

(1—exp (—at))-

 

J

 

 

 

 

 

откуда и следует оценка (5.4).

 

 

 

 

t) через па­

Представляет интерес оценка величины 0(М,

раметры потенциала.

 

 

 

[1//]

— целая часть числа 1//,

Лемма 5.1. Пусть 0</< 1,

V(х) ^ 0 . Тогда

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0 (М ,ф /*1)< М е(Л Г , /).

 

 

До к а з а т е л ь с т в о .

Так

как при

V (x)^0

справедли­

вы неравенства I|G(/)||<1,

I|Gm (/) ||<1, то

 

 

0(м, т 6)= I g (tQy - GnM(g|< nиg(g- Gm(g|.

Лемма 5.2. Положим

 

 

 

 

 

 

 

d (M) = -у p ({ас, К(At) < M},

(a:, V (At)

= oo}).

Если

 

 

 

 

 

 

 

 

 

V(x)>0,

d(M)/2VM < - i - , d(M) M*/.>2 (N— 2),

то для некоторого /<(1/2

справедлива оценка

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

N—2

0 (Л4. Z [ l / Z ] ) <

 

[

+

г(УУ/2)

(,

2

у

д(М)/м~ у

X exp 1

Доказательство . В силу определения (5.3) 0 (М, t) < sup f [GM(At, y,t) — G (x, y, /)] dy\

X J

воспользуемся леммой 5.1 и теоремой 1.8.

Отсюда следует, что если V (х) — \R0— |х ||—v, то

 

j ___ i_

 

9 ( М , /[1 //]) ~ /И е х р ^----- /И 2

v

/И —>-оо.

А. А. Арсеньев

83

§ 3. Поведение собственной функции оператора Нм вблизи собственного значения оператора Я

В силу теоремы 4.1 функция ф(х, Xj) тогда и только тог­ да является собственной функцией дискретного спектра опе­ ратора Я, когда она удовлетворяет уравнению

{Е— Т+ (Х;))ф = О фб р >

(5.5)

Отсюда следует, что точка р=1 является особой для резоль­ венты R{\x, T+(Kj)). Пусть Вр— идеал вполне непрерывных операторов в L p, Se = {AT, ||AT||p<e} f] B v и p — произволь-

ное фиксированное число из интервала

 

 

Будем

рассматривать

i?(p, Т)

как

функцию

со

значениями в

[ L p - ^ L p ]. Так как

T + ( X j ) ^ B p ,

то справедлива

 

 

Теорема 5.3. Если Xj— простое собственное значение то­

чечного спектра оператора Я, то

и б> 0,

что

при

всех

1)

существуют такие числа

е>0

ДT eSe внутри круга {р,

|1—р|<6} у оператора i?(p,

Т+ +

+ ДТ)

есть точно один полюс первого порядка ру(ДТ);

 

2)

при всех

рб {р; |1— р| < б },

р 9^ру(АТ)

и АТ б S

оператор R (р, Т+ +

АТ) может быть записан в виде

 

 

где

Я(р, Т+ +

АТ) = (р -

р,- (АТ))-1Е} (АТ) +

S, (АТ),

(5.6)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3)

оператор

Rj(AT)

непрерывен

по

АТ,

оператор

5j(p,

АТ) голоморфен по

р в окрестности. р= 1 непрерывен

по АТ в равномерной, топологии;

4)оператор Я,-(АТ) может быть записан в виде

(Ej {АТ) /) (jc) = ф(х, X, |AT) j ф (х, X/1 АТ) / (х) dx,

где функции ф и ф~ суть собственные функции,

отвечающие

собственному значению ру(АТ):

 

 

(Т+ -!- АТ) ф= Ру (АТ) ф, (Т+ + АТ) ф - р/ (АТ) ф,

где оператор Т+ — сопряженный в Lp к Т+;

р/(ДТ) та­

5)

функция ф(х, Х/\АТ), ф (х, Xj \АТ) и число

ковы,

что

 

 

 

I ф(х, Xt) — ф (х, Xj|АТ) |р -> 0;

 

 

IIФ■(*. h )

Ф (х>h I ДГ) II?->0-

 

 

] 1 — Р/ (АТ) |

0, при |ДТ||р->-0.

 

84

Смотрите также файлы