ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 06.08.2024
Просмотров: 82
Скачиваний: 0
Введем обозначение
р/ (Х) М) = |^-^.| + Ж->.
Из теоремы 3.1 вытекает Лемма 5.3. Для любого е > 0 можно найти такое б(е)^>0,
что при р;- (X, М) < б(е) |
оператор Т% (X) — Т+ (Xj) 6 5£. |
||||
Так как |
|
|
|
|
|
Tt (X) = |
— gMexp (Xt) (Е + К+ (X)), |
||||
то из теорем 1.3 и 6.6 вытекает |
|
|
|
||
Лемма 5.4. Оператор |
(X) -> Т+ (Xf) |
в |
равномерной опе |
||
раторной топологии пространства |
1 |
|
|
||
LP-+L4, 1 < Р < |
2N |
|
при ру (X, Af) ->- 0. |
||
N + 1 |
1 < у < о о |
||||
|
|
|
|
|
|
Так как яри любом М < оо у |
оператора Нм на полуоси |
||||
Х>0 нет точечного спектра, то справедлива |
единица не есть |
||||
_ Лемма 5.5. Ни при каком М<оо, 1>0 |
|||||
собственное значение оператора Тм (X).
В силу теоремы 2.3 справедливо равенство
им (х, k) — exp (ikx) + R (1, Тм (k2)) Тм (k2) exp.(ikx), (5.7)
поэтому из теоремы 5.3 и лемм 5.3—5.5 вытекает
Теорема 5.4. Если Xj — простое собственное значение дис кретного спектра оператора Я, то существует такое бу>0, что при всех (k, М)<={Л4, k\ 0<р3(&, М) < б3} функция им{х, k)
(решение задачи рассеяния для оператора Нм) |
может быть |
представлена в виде |
|
им(х, k) = exp (ikx) + фм (х, k). |
|
фм (х, k) = ф(х, Х,-1k2, М) Шу (k, М) -f Ху (х, |
k, М), (5.8) |
где
coy (k, М) = ру (k2, М) (1 - ру (k2, М))~> еу (k,M),
ву (k, М) = | exp (ikx) ф (х, Xj |k2, М) dx. |
|
(5.9) |
||
Функции ф(х, Xj \k2, М), ф (х, Xj |k2, М) |
и число |
р3- (k2, М) |
||
удовлетворяют равенствам |
- |
|
|
|
Тм (X) ф = Ру (X, М) ф, |
Тм (X) ф = Ру (X, М) ф, |
X= k2 |
||
и обладают тем свойством, что |
|
|
|
|
||ф(х, Xj\k2, М) — ф (х'Ду)[|р->-0; 2N/(N— 1) |
< р < о о , |
|||
||ф(х, Ху1^,7И)-ф(х, Xj) |
1< у < |
оо, |
||
б1/»* |
85 |
{X, M) -*■ 1 |
прИ| |
Р/ (Я,, М)-> 0. |
|
Функция еу (х, k, М) |
непрерывна по k при всех (k, М) 6 |
||
6 [k, М\ р3.(&, М) < б3} |
и существует функция %/(х,к0), такая, |
||
что |
|
|
|
||(л-, k, М) — х/(х, /е0) |
- v 0, \k— k0 \+ М - 1->0, |
||
каков бы ни был вектор k0, kl = |
Я,;.. |
||
§ 4. Исследование функции coj (/г, М) и доказательство резонансного поведения функции им(х, &)
Так как р.Д62, М)->1, М-^-оо, k2-yXj, то можно было бы подумать, что уже из 5.7 вытекает резонансный характер функции им(х, k) при Л4->-оо к А2- ^ . Покажем, что такое заключение было бы преждевременным.
Лемма 5.6. Функция еД&, М), определенная равенством (5.9), удовлетворяет соотношению
|е3(&, М) |-»0 при р3- (k2, Л4)-> 0.
Доказательство. Из равенства
Т+ф==— цеи (Е +/С+ (Я,))ф = ф
следует, что функция
т] (х, Xj) = exp (Xt) (Е + К+ (X) ф
удовлетворяет условиям излучения и уравнению
exp (— Xt) г) (х, Xj) = G(t) т] (х, Х;),
поэтому т] (х, Х^) — ф (х, Xj). Следовательно,
ф{х, Xj) = (exp(— Xfl — G0(t))ф (x, Xj),
поэтому
|tj (k, M) |= j j exp (ikx) ф (л:, Xj \k2, M)dx |=
=|J eikx[ф (x, Xj |k2, M) — ф(x, Я,,-)] dx +
+[exp (— Xjt) — exp (— kH)\ j exp (ikx) ф (x, Xj) dx |<
< 1ф(x, Xj \k2, M) — ф(x, Xj)Hi + |exp(— Xjt) —
— exp( - kH) ЩФ(x, Xj) |k-* 0, pj (k\ M) -*- 0.
Лемма доказана.
8 6
Тем не менее справедлива Теорема 5.5. (О существовании резонансов в непрерыв
ном спектре оператора НМ-) |
определена формулой (5.3) и |
||
Пусть |
величина 0(44, t) |
||
пусть у Нм нет точечного спектра при любом М<оо. |
Если |
||
сг(44)-Я), |
сг(М)"19(М)-ИЗ 44—voo, то для определенной фор |
||
мулы (5.8) |
функции '<£>j(ft, 44) |
справедливо равенство |
|
|
Пт (2л)~N |
|ю;. (ft, 44) 12dk = 1. |
(5.10) |
Л'1->00
\k-—ЬА<о(М)
Доказательство. Справедливо равенство
1 = |
j I'vKjc, Xj) рdx = |
(2я)-" j |
|ф(ft, X/)pdk = |
|
||||
|
= |
(2n)~N |
|
j |
|$(ft,Xy)pdA + |
|
||
|
|
|
lk2— |
|
|
|
||
|
+ |
(2я)"" |
|
j |
\^(k,Xj)\2dk. |
(5.П) |
||
|
|
|
I A2—xfi> a (M ) |
|
|
|||
Положим |
|
|
|
|
|
|
|
|
I (Xj, a, 44) = |
|
(2n)~N j |
|соу (ft, 44) p dk |
|
||||
и обозначим |
символом |
|
o(l) |
величину, которая стремится к |
||||
нулю при М~*-оо, |
сг-Я) |
|
;а_10-Я). Из теоремы 5.4 следует, что |
|||||
|
|
(2n)~N |
|
J |
|ф(^, Xj)]2dk — |
|
||
|
|
|
|
Ik1—Д,у|<а |
|
|
||
= (2л)~Л' |
J |
|
|J (exp (ikx)-f Sj (k2, 44) (x)) ф (x, Xj) dx j2 |
dk -f |
||||
|fta—XjKtr |
|
|
|
|
|
|
||
+ (2n)_iV 2Re |
|
J coy (ft, 44) [ф (.v, Xj) ф(x, Xj |ft2, 44) dx] x |
||||||
|
Ik2—Xy|<cr |
|
|
|
|
|
||
x [ j |
(exp(ikx) + |
|
Sj (ft2, 44) (x)) ф (x, Xj) dxj dk + |
|
||||
|
|
+ |
(2я)-^ |
f |
|coy (ft, 44) P x |
|
||
|
|
|
|
|
Ik2—Ту!<а |
|
|
|
|
x |
j j |
ф(x, |
Я.у) ф(x, Xj |ft2, 44) dx j2 dk. |
|
|||
Легко видеть, что в силу теоремы 5.4 первое_слагаемое в этом
равенстве есть величина о(1), второе— ]/7-о(1) и третье — /(1+о(1)). Поэтому из (4.2) и (2.2) следует равенство
87
1=0(1) + / / •О(1) + / (1 + о (1)),
т. е. I —1+ о(1), что и требовалось доказать.
З а м е ч а н и е . Обычно резонансы связываются с особенностями ана литического продолжения функции им (х, к) по переменной к. При наших предположениях об убывании потенциала, если даже и существует анали тическое продолжение функции им(х, к), то его особенности могут не иметь никакого отношения к резонансам (так называемые «ложные» полю сы в теории рассеяния).
§ 5. Особенности аналитического продолжения решения задачи рассеяния вблизи собственного значения оператора Н
Пусть Ll — гильбертово |
пространство со скалярным про |
|||
изведением |
J Г (х) g (х) exp(— а |х |) dx. |
|
||
(/. 8)а= |
|
|||
Cj,a — операторы класса . Сх в Ll[4]. |
V(х) удовлетворяет усло |
|||
Теорема 5.6. Пусть потенциал |
||||
виям Л (a, R) и пусть при ]x|>R |
выполнено неравенство |
|||
|У(*)|<Сехр(-*|лг|). |
(5.12) |
|||
Пусть константы а и а удовлетворяют неравенствам |
|
|||
a < Y |
b’ a < min(~ ^ b>: «А ), |
|
||
где b— константа неравенства |
(5.12), t — параметр, |
входящий |
||
в оператор Тм (Я). Тогда ' |
|
|
|
|
1) оператор Тм (X) |
голоморфен по X в области |
|
||
D0 = {X; |
jlm Я |< n/t, X£ [0, оо)} |
|
||
как элемент пространства [Ь1-> Ьа2] и принадлежйт классу Ci>a при каждом X6 />,
2) как элемент [L\-+ L.I] оператор Тм {X) имеет аналити ческое продолжение из D0 в область
D+ = {X, ReA,>0, — а < 1 тЯ ,< 0},
которое вычисляется по формуле
Tt(X) = eH(E + K+(X))gM
и в область D~ = {X; ReA.>0, 0 <Im x<a}, которое вычисляет ся по формуле
Тм(Х) = ёН(Е + К-(Ь)Вм).
(операторы /С* {X) определены на стр. 117);
8 8
3) операторы Т*м(Я) £ Ci,a и
||(А.)|| о 2->0, Re Я -*— оо,
Lar+La
4) равномерно по Я на каждом компакте в DQ\JD+\J D~— справедлива оценка
\\Т( Х) - Тм(Х)\\г2 ,2-vO, М ->оо.
La'~*La
Пусть D= 'Dq[) D+U D~ — кусок накрывающей поверхно сти голоморфной функции ТМ(Х), в точках которой оператор Тм(Х) вычисляется по приведенным выше формулам. В даль нейшем будем рассматривать оператор ТМ(Х) как функцию точки на Д и опускать знаки (+ ) и (—) там, где безразлич но, какая именно точка поверхности Д накрывает данную точ ку Я.
До к а з а т е л ь с т в о . В нем нуждается только послед нее утверждение теоремы, так как первые три есть тривиаль
ные следствия теорем 1.4 и теоремы 6.5. |
'*■ |
Справедливы оценки |
|
1(Тм (X) - Т (Я))/Ца < С j e - a l ^ + a u - y l |{ ( g - g M) f) {у ) р dy dx <
< С ' j |
e2o|i/|+2a'z| (g |
2j t)—gM(y, |
z, 0)2^^Z||/||a< |
<C " j |
M\g{y, z, t)— gM(y, |
z,t)\dydz\ffa. J5.13) |
|
Ho
'iy- \g(y,z,t)-^gM(y,z,t)\dz = 0
ММ\ J |g(y, г, t) — gM(y, z, t)\dz<
<2 J|ff(у, z,t)\dz<C">e-bW.
Всилу теоремы Лебега из (5.13) следует утверждение 4 на шей теоремы.
Предположим, что условия, теоремы 5.6 выполнены. Тогда
справедлива Лемма 5.7. Точки положительного дискретного спектра
оператора Н суть полюсы первого порядка оператора
{Е-Т{Х))-\
Доказательство . Пусть Я,- — точка положительного дискретного спектра оператора Н. Тогда уравнение
(£_Т ±{Я /))ф = 0 |
(5.14) |
89
