ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 06.08.2024
Просмотров: 76
Скачиваний: 0
имеет нетривиальное решение из L\ поэтому Яу есть особая
точка R{ 1, Т’ (Я)) в La. Следовательно, в окрестности Я,- спра ведливо разложение
(Е— Т (Я))-‘ = Ак(Я — Яу)-* + 4 - i (Я- Х,)-++' +
где операторы 4 конечномерны. Но в силу оценки
| (£ -Г (Я / + /е))-Ча =
= |(e~{Xi+w — G0) (e~^+ie)i— G)-'1|a < 2e->
все операторы А k^2, равны нулю, поэтому Яу— полюс первого порядка.
Собственное значение Xj дискретного спектра операто ра Н назовем простым, если соответствующее собственное подпространство одномерно. Очевидна
Лемма 5.8. Если Xj — простое собственное значение опе ратора Н, то точка р=1 есть полюс первого порядка для опе
ратора /?(р, ^(Яу)). |
|
|
|
|
|
|
|
||
Из теоремы 5.6 и лемм 5.7—5.8 вытекает |
|
значение |
|||||||
Теорема 5.7. |
Пусть |
Яу— простое |
собственное |
||||||
дискретного 'спектра |
оператора h. |
Существуют |
такие |
числа |
|||||
ау> 0, 5у> 0, М; < о о , |
что |
как |
только |
то в круге |
|||||
(р; |1 — р К а у} |
при любом |
фиксированном Я(Е{Я;|Я— Яу-|< |
|||||||
<Cbj} и М < оо существует точно один |
полюс первого порядка |
||||||||
(Я, М) оператора R (р, Т%(Я)) и |
нет других особых |
точек |
|||||||
этого оператора. |
Функции р* (Я, М) |
голоморфны |
по |
Я |
при |
||||
фиксированном М в |
окрестности {Я; |Я — Яу-1 <С bt) |
и |
удовлет |
||||||
воряют условию |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lim pf (Я, М) = р* (Я, оо) = рд (Я), М—>00
где pf (Я)— полюс оператора R(\i, Г* (Я)).
З а м е ч а н и е . |
Так как каждая собственная функция оператора Т^(Я ) |
||
из LP |
принадлежит |
L^, то при Я = |
Я2> 0 введенные в теореме 5.7 функции |
РуНЯ, |
М) совпадают с введенными |
в теореме 5.4 функциями [if {ft2, М). |
Предположим, что константы а,- и bj выбраны достаточ но малыми, а константа Mj достаточно большой.
Лемма 5.9. Справедливо неравенство
4 г |
> б > 0 |
|Я — Яу|<6у |
M > M j . |
(5.15) |
||
дХ |
||||||
|
|
|
|
|
||
Доказательство . |
Справедливо разложение |
|
||||
R(1, т± (Я)) = |
(1 - |
pf (Я))-1 E j |
(Я) + Sy (Я), |
(5.16) |
90
■где оператор Sj(X) аналитичен в окрестности Xj, a Ej(Xj)=y=Or Из (5.16) следует, что точка X=Xj будет полюсом первого порядка для оператора R( 1, 7±(Д,)) в том и только в том случае, если
Я = |
М = о о . |
(5,17) |
д'К |
|
|
Отсюда в силу соображений |
непрерывности |
вытекает |
(5.15). |
|
|
Следствие. Уравнение |
|
|
Ix = ]xf(X,M) |
(5.18) |
в круге |?о—Xj\<bj при M^M j имеет единственное решение
Xf (М, jut), причем это решение аналитично по р, при 11—р|< ■<flj и при М-^оо имеет предел АДр,), который является ана литической функцией р в том же круге.
В силу формулы (5.16) корни Xf (М, р) уравнения (5.18)
при р=1 суть особые точки оператора R(l, Тм (X)), поэтому справедлива
Теорема 5.8. Числа bjt Mf в теореме 5.7 |
можно выбрать |
|||
так, что в круге |А— |
у оператора |
7?(1,7 м 04) есть |
||
точно по одному |
полюсу Xf (M)^Xf (М, 1), |
причем |
||
Im Xf (М) < 0, Im Х~ (М) > |
0 |
(5.19) |
||
и |
|
lim Xf (М) = Х,. |
|
(5.20) |
|
|
|
||
|
|
М-*оо |
|
|
Неравенства |
(5.19) |
следуют из того факта, что в D0 опе |
||
ратор 7?(1, Тм^Ц) |
особых точек не имеет. |
|
|
|
Если Xj — не простое собственное значение оператора Я, |
||||
то абсолютно аналогичные рассуждения [8] |
показывают, что |
в круге |?у—X\<bj будет конечное число Xf (M)k, 1 ^ /е ^ m=
= dimE(Xj, Я), полюсов оператора R{1, Тм{%)). Для даль нейшего существенно не то, что Xj — простое собственное зна чение, а то, что у точки Xj есть окрестность, в которой при достаточно больших значениях параметра М у оператора
R( 1, Тм(Ц) есть в точности один полюс, и все наши дальней шие рассуждения проходят для этого случая.
Положим в формуле (5.7) k= nVx± где |п| = 1, и рас смотрим функцию и(х, k)=u(x, п, V А) как элемент про
странства La(g)S, зависящий от X. (S — множество непре рывных на единичной сфере функции вектора п,
il/ll= sup |/(п) |.)
|п |= 1
9 1
Из теорем 5.4 и 5.7 вытекает |
bf |
и |
М > |
функция |
||||||||
Лемма |
5.10. |
|
При |
|Я — Яу j < |
||||||||
им (х, п, |/Л. ) |
представима в виде |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
им (х, п, |
УХ ) = |
exp ( ± ’ t (/г, х) 1/Я ) + |
|
|||||||
+ |
ФГ |
Г М) taf (/г, / Г , М) |
-I- Sf (Л., Л4) (х), |
(5.21) |
||||||||
где |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
o f (п, |
К Г, М) |
= |
nf (Г М) (1 - | if |
(Я, М ))-‘ ef (n, X, М) |
||||||||
функция ef {п,Х,М) |
(определенная формулой (5.9)) |
аналитич- |
||||||||||
на по Я, |
при /И->оо имеет предел £*(«, Я), причем е£(/г, Яу) = |
|||||||||||
= 0, a Sf (X, |
М) и ф* (х, |
Я, М) аналитичны по |
Я и |
непрерыв |
||||||||
ны по М при М ->оо как |
элементы L%@S. |
|
|
|||||||||
Разлагая |
функцию и% (х, п, УХ) |
в |
окрестности полюса |
|||||||||
XJ (М), мы в силу теоремы 5.5 и формулы (5.21) получим |
||||||||||||
Лемму |
5.11. |
|
При |
|Я — Яу |< 6;- |
и |
М > Mt |
функция |
|||||
им(х,п, 1/Я) представима в виде |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
им(х, п, 1/Я ) = |
exp (± i(n, х) УХ ) + |
|
||||||||
+ W (х, |
Xf (М), М) ©f (п, X, М) + |
Sf (Я, М) (х), |
(5.22) |
|||||||||
где |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
со* (п, X, М) = IX— Яf (М ))-1af (п, М), af (п, М) = |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
, ± |
\ —I I |
|
|
||
|
|
= ef (п, Xf (М), М) |
|
'X =Xf(M),M |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Функция |
ф* в силу теоремы 5.4 удовлетворяет |
равенству |
||||||||||
|
|
Нт[|Ф±(х, Я± (М), М) — ф,- (х,'Яу))[| |
= 0, |
(5.23) |
||||||||
|
|
М—>оо |
' |
' |
|
|
|
|
|
|
|
|
а для того, чтобы |
точка Я = |
Хр (М) |
была бы |
полюсом , функ |
||||||||
ции им, |
необходимо и достаточно, чтобы |
|
|
* |
||||||||
|
|
|
|
|
ef (/г>Xf (М), М)Ф0. |
|
(5.24) |
|||||
Докажем утверждение, более сильное, чем это. Положим |
||||||||||||
7 f (о, М) = {2n)~N |
j\ |
|Sf {k, M) fdk, |
k ^ n V X. |
|||||||||
|
|
|
|
|
\P—[Xj\<G |
|
|
|
|
|
||
Теорема 5.9. Если o(A4)->0, M~>oo, |
но 0(Л4, t)/o |
|||||||||||
то |
|
|
|
|
Um7f (o(M), M)= 1. |
|
(5.25) |
|||||
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
M—*OQ |
|
|
|
|
|
|
|
92
Д о к а з а т е л ь с т в о . Оно является точной копией дока зательства теоремы 5.5, однако мы приведем его здесь под
робно, так как равенство |
(5.25) |
для нас является фундамен |
||||||
тальным. |
Воспользуемся равенством |
|
|
|||||
|
1 |
= |
(2n)~N |
J |
|(kфм, Ay) 12dk + |
|
||
|
|
|
|
Ifc*—Лу1<а1М| |
|
|
|
|
|
|
+ (2п)~» |
J |
\$M(k, X,)\*dk. |
(5.26) |
|||
|
|
|
|
Ik-—Ху|>о(ЛТ) |
|
|
||
Из формулы (5.22) следует, что если о достаточно мало, а М |
||||||||
велико, то |
|
|
|
|
|
|
|
|
фм (ft, Ay) |
= j |
[exp (i (n, x) ]/X) + |
Sf (X, M (x)] ф(x, Ay) |
dx + |
||||
+ |
co)f |
(n, |
A, M ) |
j фу(x, Аф (M ), M) ф(x, Ay) dx = |
|
|||
= Py'(ft) + |
a>(/z, |
A,M)(1 +o(l)), |
|A2 — A.|<0. |
J |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Следовательно, |
|
|
|
|
|
(5.27) |
||
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
(2n)~w |
j |
|фЛ1(ft, |
Ay) |2 dk = |
|
||
|
|
|
Ik2—^,y| <o(M) |
|
|
|
||
|
|
|
= (2я )-" |
j |
|py(ft)2|dft + |
|
||
|
|
|
|
lfc?— |
|
|
|
|
+ |
( 2 |
я ) ~ " ( 1 + o ( l ) ) |
j |
|©у (Ая, ,УИ)|2 dft |
+ |
|||
|
|
|
|
|
|fc2—Xy|<C7 |
|
|
|
+ (2n)~N2Re |
j |
(3y (ft) ©у (rt, A, +1) dk (1 + o(l)). |
||||||
|
|
|
|k2—Xy|«r |
|
|
|
|
|
Определенная равенством |
(5.27) |
функция Py(k, М) |
непрерыв |
на и равномерно по М ограничена на интервале |
\k2—Aj|<n, |
||||
поэтому |
|
j |
|Ру (ft) |2dft = |
0(a), |
(5.28) |
|
|
||||
|
|
к|2—ХуК о |
|
|
|
|
| |
| |
Py coy dk |= [/7y |
0 (<JI/a). |
|
|
Ik2—Xy|<C |
|
|
||
Из (5.26), |
(5.28) |
и теоремы 5.2- получаем: |
|
||
1 = |
О (а) + |
V T; |
О(о'Ь) + 1(1+ о(1)) + О ((0/а)2), |
откуда и следует доказываемое нами утверждение.
7 А. А. Арсеньев |
93 |