Файл: Мотт, Н. Электронные процессы в некристаллических веществах.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 15.10.2024

Просмотров: 131

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

 

 

Теория электронов

в

некристаллической

среде

 

53

на

своем

значении

Ер,

соответствующем

нулю

температуры.

Так

будет

в случае,

если

вещество

является

истинным

соб­

ственным

полупроводником

и

кривые

плотности

состояний в

зоне

проводимости

и

в валентной

зоне

имеют

одинаковую

форму вблизи краев

зон, или, иначе (см. 2.10), когда вблизи

середины

запрещенной

зоны плотность

состояний

велика,

на­

пример, вследствие структурных дефектов. Электроны забра­

сываются в состояния

с энергией больше Ее (фиг. 2.17). Тогда

проводимость

имеет

вид

(2.42).

Другой

вариант М(Е)\

объяснения формулы(2.45)

состоит

в допущении, что

Ее — ЕР

меняется

линейно

с

температурой,

 

 

Ес

— Ер =

Е (0)

-

уТ;

при этом также получа­ ется линейная зависимость In а от ИТ вида (2.45), причем

 

Е

=

Е(0)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

и

 

С = a0ev/fc,

 

 

 

InJUL

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

О-0=(СТ (0))р=Ес-

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Если

 

подвижность

на

 

 

 

 

 

 

 

 

границе

падает приблизи­

 

 

 

 

 

 

 

 

тельно в 1000 раз, а ток при

 

 

 

 

 

 

 

 

комнатной температуре пе­

 

 

 

 

 

 

 

 

реносится

электронами

в

Ф и г.

2.17.

Скачок подвижности, пока­

нелокализованных

состо­

зывающий

резкое

падение

подвижности

яниях, то, как мы виде­

 

 

 

при

Е <

Ес.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ли,

АЕ

— интервал энер­

 

 

 

 

 

 

 

 

гий,

в

 

котором

состояния

локализованы,-

не

может

быть

больше,

чем приблизительно

0,2

В.

 

 

 

 

 

В действительности во всем температурном интервале следует

ожидать

 

три

составляющие

проводимости,

т. е.

 

 

 

 

о = С ехр ( -

* , )

+

d

ехр ( -

§ )

+ С2 ехр ( -

*

) .

(2.46)

Здесь С «

103

О м - 1

- с м - 1 ;

эта величина уже обсуждалась.

Второй

член обязан электронам, возбужденным на край зоны, и для него

Ci ж 1

О м - 1 - с м - 1 и Et

= Е — АЕ +

AW; последний

член обу­

словлен

перескоковой

проводимостью

электронов с

энергией,

54

Глава

2

 

близкой к Ер,

так что С 2 <С Ci

и £ 2 €

при очень низких

температурах ехр (—Е2 /кТ) следует заменить на ехр (—const •Г"1 /*). На фиг. 7.7 в гл. 7 схематически представлено ожидаемое пове­

дение а, а в следующих главах даны некоторые примеры. Величина у имеет важное значение. В принципе она может

быть определена по изменению ширины оптической запрещенной зоны с температурой или из измерений термо-э. д. с. (гл. 7). Вели­ чина у может быть частично связана с тепловым расширением, но в веществах, в которых щель обусловлена структурой, кри­ сталлической или аморфной, зазор может меняться с возраста­ нием Т даже при постоянном объеме. Более подробно этот вопрос обсуждается в гл. 3.

Следует заметить, что независимое от Т значение С может встре­ чаться и в кристаллических полупроводниках. Для этих веществ

число

электронов

в

зоне

проводимости или

в

валентной зоне

в

единице объема

равно

 

 

 

 

подвижность |л равна ет/тп*. Можно записать

т — L/v, &/2m*vi =

=

кТ

и L да a (ЛкТ),

где /

составляет несколько

электронвольт.

Таким

образом,

в случае решеточного

рассеяния

 

 

 

 

 

 

 

eaJ

 

 

 

Коэффициент в

проводимости поэтому

имеет

вид

 

 

 

 

 

„

( 2 я ) 3 / 2 e4Jm

 

 

и не содержит Т. Более того, он того же порядка, что и в случае носителей тока у скачка подвижности в аморфных полупроводни­ ках. Это сходство случайно: большая эффективная плотность состояний у скачка подвижности приблизительно компенсирует уменьшение подвижности.

Следует подчеркнуть, что подвижность (х (Ее), которая может быть выведена из а0 в выражении (2.43), не совпадает с дрейфовой подвижностью, определяемой при инжекции электронов или дырок

в

аморфный

полупроводник.

Если инжектировать электроны

в

вещество с высоким сопротивлением и если глубоких

ловушек

мало и они

влияют слабо, то

при низких температурах

следует

ожидать перескоки между локализованными состояниями, тогда как при более высоких температурах дрейфовая подвижность определяется захватом на ловушках.

Представляет интерес теоретическая оценка интервала энер­ гий Д.Е. Мотт [371] предположил для халькогенидных стекол, селена, теллура и других веществ, в которых я-орбитали образуют

Теория электронов в некристаллической среде

55

валентную

зону, что в

формуле (2.33) можно принять U0m

J .

Это

дает

значение

А.Е

порядка 0,1

эВ.

 

 

 

 

2.9.3. Т Е Р М О - Э . Д . С .

 

В

этом

разделе

мы

дадим

сводку

формул, необходимых

для

интерпретации термо-э. д. с.

Последнюю можно выразить через

аЕ. В 2.2 мы ввели аЕ для разупорядоченной решетки при нуле температуры и показали, что при конечной температуре

Можно также обобщить эту формулу на случай перескоковой проводимости. Если р есть вероятность того, что электрон за единицу времени перескочит в другой узел, то можно записать

 

 

 

 

 

 

aB =

t*PR*N{EF),

 

 

 

и

формула

для

а сводится к (2.36). В

этом случае

термо-э. д. с.

S

можно

найти

из

уравнения

[116]

 

 

 

 

Доказательство

следующее. Если

F — поле, то ток dj,

переноси­

мый

электронами

с

энергиями

от Е

до

Е + dE,

равен

 

 

 

 

 

 

dj=-aB(-^)FdE.

 

 

 

 

 

Свободная энергия, переносимая этим током, равна — {Е

— EF)dj/e,

что

дает

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

-

(Е -

E F ) 4 = ± - g - Ge

(Е -

E F ) F dE.

 

Интегрируя это выражение, получаем полный поток тепла, пере­ носимый электронами, равный /П, где П — коэффициент Пельтье, так что

 

П '" = Т -

 

 

^s-§L(E-Ep)dE.

 

Поскольку S = П/Т, отсюда следует формула (2.47).

 

Теперь легко вывести следующие формулы. Если подвижность

 

такова, что ток

переносится

электронами с

энергиями, близкими

 

к EF, получим

известную

формулу

для

металлов

 

 

s ^ J f

L

\

^ n

 

(2.48)

 

 

3

е

L

dE

JE=EF

v

'

независимо от того, осуществляется ли проводимость перескоками или нет. В случае перескоковой проводимости, когда а имеет вид

56

Глава. 2

 

 

о"з ехр ( — W/kT),

S дается выражением

 

 

S = J^±\kT^A-^f\

.

(2.49)

3 е L

dE

dE J E = E „

V

'

Применение этой формулы к сульфиду церия (гл. 6), к аморфному M g — B i (гл. 3) и к стеклам, содержащим ионы переходных метал­ лов (гл. 6), обсудим ниже. Следует подчеркнуть, что полученные формулы справедливы только при кТ <С Ер.

Если в параболической зоне находится невырожденный элек­

тронный газ, то

 

 

~(т)

к Х у I n Г + const.

(2.50)

 

 

Если кТ больше ширины зоны, то

 

 

 

 

5 = ( 4 ) 1 п Т ^ Г '

 

С 2 -5 1 )

где

с — отношение чнсла электронов к числу атомов.

Форму-

лу

 

(2.51) вывели

Хейкс и Юр

[234]. Она находится в

согласии

с

экспериментом

для стекол,

содержащих

ионы ванадия V 4 +

п

V 5 + (гл. 6).

 

 

 

 

 

 

Для полупроводников, в которых можно ввести понятие сред­

ней

длины свободного пробега

L , получим

обычную

формулу

* - T ( - V t + f + ' ) •

где

г = d (In x)ld (In E ) , а

т — время

релаксации. В

случае

аморфных

полупроводников,

еслн величина

О"Е принимается

рав­

ной нулю

при Е < Ее,

а при Е > Ес

ведет

себя

как о0

+

&Е,

то

можно

найтп [116]

 

 

 

 

 

 

 

 

 

S = —к

[Е°кТЕр

+ 1 + Ч л е н ы

порядка

Г ) .

(2.52)

 

 

е

 

 

 

 

 

 

 

 

В случае многих видов проводимости некристаллических веществ, как, например, проводимость в примесной вырожденной, зоне, средняя длина свободного пробега оказывается порядка расстояния между атомами и проводимость должна зависеть от Е как IN (EF)]2 [формула (3.16)]. Поэтому можно ожидать, что для термо-э. д. с. хорошо выполняется соотношение

(2.53)

Таким образом, заполненная наполовину примесная зона должна дать нулевое или малое значение термо-э. д. с. В случае перескоковой проводимости [формула (2.49)], поскольку величина сг0 пропорциональна N (Е), первый член в (2.49) будет иметь ана-

Теория электронов в некристаллической среде

57

логичный вид. Следовательно, термо-э. д. с , обусловленная

при­

месной проводимостью по донорам, будет р-типа, если компенса­

ция

К меньше, чем '~ , 1 /

2

(гл. 6). Изменение знака термо-э. д. с.

при

низких температурах

 

— обычное явление, которое может быть

интерпретировано как изменение механизма проводимости от

переноса заряда возбужденными носителями (либо

в нелокализо-

ваиных, либо в

локализованных

состояниях) к

проводимости

по какой-либо

зоне дефектов.

Примеры приведены в гл.

6 - S .

 

 

 

2.10.ПЕРЕСКОКОВАЯ ПРОВОДИМОСТЬ

НА ПЕРЕМЕННОМ ТОКЕ

Мы уже рассмотрели при нулевой температуре величину о (со) — проводимость при частоте со. Она вычислена с помощью формулы Кубо, удобной для расчета оптических переходов между занятыми и- свободными уровнями в веществе. При низких частотах вели­ чина сг (со) обычно выводится другими методами, основанными на уравнении Больцмана. Так, например, если ток переносится электронами в нелокализованных состояниях, проводимость при частоте со дается формулой Друде

где N — эффективное число свободных электронов в единице объема, а т — время релаксации. Следует подчеркнуть, что, пока обмен энергиями с фопопами не играет существенной роли (кото­ рую он играет в случае перескоков), формула (2.54) должна следо­ вать из формулы Кубо — Гринвуда (2.10). Мы видели также, что формула Друде справедлива только при kL i; ее, конечно, нельзя применять к свободным носителям вблизи критической энергии Ее [371].

Если состояния локализованы, проводимость осуществляется перескоками и а (0) стремится к пулю с Г; мы уже видели, что при абсолютном нуле величина о (со) пропорциональна со 2 . Следует ожидать, что проводимость будет зависеть от частоты, если веще­ ство неоднородно в макроскопическом смысле. Например, если вещество с проводимостью о0 содержит области с пониженной

проводимостью

с г в , которые

занимают

долго / объема тела, то

элементарный

расчет показывает,

что

при со <С 16я 2 с г 0 с г в

про­

водимость пропорциональна

оп, а

при со0 >

а0

проводимость

равна а0 . Внутри интервала

4я У а0ов

<С со <С а0

проводимость

растет

с частотой пропорционально

со 2 . Фольгер

[525] дал

обзор

таких

механизмов.

 

 

 

 

 

 

Смотрите также файлы