Файл: Мотт, Н. Электронные процессы в некристаллических веществах.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 15.10.2024

Просмотров: 157

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

Фонолы и поляроны

117

Энергия электрона понижается на е 2 / и р г 0 . В то же время энер­ гия поляризации окружающей среды равна

00

го

 

Таким образом, энергия системы понижается на Wp,

где

" » - Ь £ г -

< 4 Л 0 »

В практических случаях величина Wp может быть порядка половины электронвольта.

4.5. ПЕРЕХОДЫ ОТ ОДНОГО ЛОКАЛИЗОВАННОГО СОСТОЯНИЯ К ДРУГОМУ В ПОЛЯРНОЙ РЕШЕТКЕ

Вернемся к случаю, рассмотренному в 4.3, а именно к случаю двух локализованных состояний с энергиями, отличающимися на WD, и с перекрывающимися волновыми функциями, но на этот раз учтем поляризацию решетки. Величина WP может быть поряд­ ка 0,5 эВ, a WD — значительно меньше. Мы будем следовать рас­ суждениям Остина н Мотта [32].

Используя обозначения предыдущего раздела, будем

считать

<7i и q2 конфигурационными координатами двух молекул,

распо­

ложенных в узлах с разностью энергий WD. Тогда мы

утверж­

даем, что если электрон способен перескочить от одной молекулы к следующей, то энергии электрона в любом из положений без учета энергии искажения решетки должны быть одинаковы, т. е.

В (?, - д2) = WD.

Если электрон первоначально находился на молекуле 2, то энер­

гия, необходимая

для

создания

такого состояния,

равна

 

A(q2

+ ^ - ) 2

+ A(q0-q2)*

(4.11)

и имеет минимум

при

 

 

 

 

 

1

WD

 

Подставляя это выражение в (4.11), находим, что минимальная энергия, необходимая для создания конфигурации такого рода, равна

W = WH + {WD + - ^ - ,

(4.12)

где

118 Глава 4

Отсюда следует, что вероятность перескока в единицу вре­ мени из одного узла в другой будет содержать экспоненциальный

множитель вида ехр (— WlkT)

с W, задаваемым выражением (4.12).

В практических случаях WH

^> WD

 

и последним членом в (4.12)

 

 

 

 

 

 

 

можно пренебречь.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Проведенный

 

анализ

V(x)

 

 

 

 

 

 

приводит

к

важному

ре­

 

 

 

 

 

 

 

зультату,

что член

W ц

 

 

 

 

 

 

 

в выражении для энергии

 

 

 

 

 

 

 

активации перескока приб­

 

 

 

 

 

 

 

лизительно равен половине

 

 

 

 

 

 

 

энергии поляризации

Wp.

 

 

 

 

 

 

 

Это

справедливо

только

 

 

 

 

 

 

 

для

модели,

в

которой

 

 

 

 

 

 

 

электрон

одной

молекулы

 

 

 

 

 

 

 

не влияет на значение q

 

 

 

 

 

 

 

другой молекулы.

Одна­

 

 

 

 

 

 

 

ко, например, в полярных

 

 

 

 

 

 

 

веществах, в которых две

 

 

 

 

 

 

 

поляризационные

ямы пе­

 

 

 

 

 

 

 

рекрываются и могут

вли­

ф и г . АЛ. Потенциальные ямы пары понов

 

ять друг на друга,

это не

 

выполняется. В таком слу­

 

а п б в процессе перескока.

 

 

J — перед

перескоком;

г — термически

акти­

 

чае

процесс

можно

пред­

вированное

состояние,

когда

электрон

может

ставить следующим

 

обра­

двигаться; 3 — после

перескока.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

зом.

Первоначально

элек­

трон захвачен потенциальной ямой,

как показано на фиг. 4.4, 1.

Чтобы электрон совершил переход, термические флуктуации дол­

жны

обеспечить

равенство глубин потенциальных ям. Если ве­

личина WD

равна нулю или пренебрежимо мала, очевидно, что

наименьшая

энергия активации, которая может привести к

такой

конфигурации,

будет иметь место при условии, если глу­

бина

обеих

ям

равна

половине глубины первоначальной ямы.

Энергия, необходимая для создания такой конфигурации, состоит из следующих слагаемых:

Энергия повышения уровня электрона в яме а (см. фиг. 4.4),

wp.

Энергия поляризации, выделяемая в яме б, Wp — W p

=1 w

4 rrP-

Энергия образования ямы б,

Wp.

Эти слагаемые дают полную энергию активации 1/zWv. Если WD =7^=0, можно воспользоваться формулой (4.12).

 

Фопоиы и поляроны

119

В

случае полярных решеток,

если расстояние R, которое

проходит электрон, невелико по сравнению с г0,

формула

более

непригодна и должна быть

заменена на

[32]

 

^ = - 4 ^ ( ^ - 4 - ) -

<4ЛЗ>

Это обусловлено уже упомянутой причиной; ямы перекрываются, и энергия, необходимая для создания промежуточной конфигура­

ции, показанной на

фиг.

4.4, 2,

уменьшается.

 

Обратимся теперь к предэкспонеициальному множителю выра­

жения

для вероятности перескока

в единицу времени

из узла а

в узел

Ь. Для случая

WD

= 0 детальное исследование

произвели

Холстейн и Эмии [154, 249] в работе, посвященной поведению

поляронов;

обобщение

для случая,

когда WD =^=0,

произвел

Шиакенберг

[449] г ) . Мы различаем

два случая.

 

а) Адиабатический случай, при котором в течение времени

порядка 10~1 2 с, пока

существует

активированное

состояние

(фиг. 4.4), электрон совершает несколько перескоков туда и обрат­ но между двумя ямами. При этом, как показывает анализ, ско­ рость перескоков можно записать в виде

рехр ( —Цг) ,

(4.14)

где величина р равна частоте ю0 оптического фонона (в простой используемой модели дисперсии нет).

б) Неадиабатический случай, когда вероятность того, что электрон переходит пз одной ямы в другую в течение одного коле­ бания решетки, мала. В этом случае при Т > 1 / 2 б вероятность перескока дается выражением (4.14) с

 

 

 

p = nl2

^-(WHkT)lh.

 

 

Здесь

/

— разность

энергий четного и

нечетного

состояний

(фиг. 4.1) в иеискажениой решетке. В практических

случаях

величина

р, вероятно, не слишком отличается от

 

 

 

 

р^ще-2аК,

 

 

(4-15)

где

е~ а Л

описывает

затухание

волновой

функции

электрона

в одном из локализованных состояний, если учесть влияние поля­ ризационной ямы (фиг. 4.4). Чтобы получить подвижность, сле-

х ) Алдеа [9] дал обобщение анализа Шнакенберга на случай проводимо­ сти по примесям на переменном токе.

120

Глава

4

 

дует выражение (4.15) умножить

на е/кТ и каким-то

способом

усреднить по

WH; этот вопрос

будет рассмотрен в гл. 6.

Описанные

результаты получены путем вычисления

вероят­

ности одновременного испускания и поглощения фононов. Будем

предполагать, что

фононы не взаимодействуют друг

с другом,

т. е. пренебрежем

ангармоничными членами в силовых

постоян­

ных, ответственными за теплопроводность. Если эти члены доста­ точно велики, то в выражениях (4.14) и (4.15) правильнее писать кТ/h вместо ш0 , как в теории скоростей химических реакций. Связь между теорией скоростей химических реакций и описывае­ мой здесь теорией еще не исследована [73]. Абсолютное значение р

не

зависит существенно от

того,

какой

теорией пользоваться,

но

это определяет

температурный

ход

р.

 

 

 

 

 

1

 

4.6. ПЕРЕСКОКИ ПРИ НИЗКОЙ ТЕМПЕРАТУРЕ

 

Когда температура падает ниже VoOj,, энергия активации

уменьшается от Wн

+ 1/2WD

до значительно меньшего значения

WD.

Это можно объяснить различными способами. Можно сказать,

что нулевая энергия создает активированное состояние, показан­ ное на фиг. 4.4, 2. Шнакенберг нашел, что для предэкспонепциального множителя можно воспользоваться формулами преды­ дущего раздела, но с множителем e~2v, где

WB

В качестве а следует взять множитель, описывающий туннельный переход между двумя ямами, представленными на фиг. 4.4. При промежуточных температурах величину W'н следует заменить на [32]

W п

th (У4Пщ/кТ)

w

Г.

i I too \ 2

1

(А

16\

 

1 / 4 Й О ) о / и ,

~ W H

^ 1 - ^ ^ j

. . . j .

( 4 . 1 b )

При T та г/2&

энергия перескоков падает на 8%,

при Т «

V 4 6

—

на 3 0 % .

 

 

 

 

 

 

 

Подробные формулы приведены в оригинальной статье Шнакен-

берга [449] и

в обзоре Остина и Мотта [32]. В гл. 6 эти формулы

применяются

к проводимости по примесям в полярных

веществах

типа N i O и

к проводимости в стеклах, содержащих

ионы пере­

ходных металлов.

4.7. ПОЛЯРОНЫ В КРИСТАЛЛАХ

До сих пор мы рассматривали сильно локализованные состоя­ ния, в которых радиус состояния г0 определяется в первую очередь беспорядком, как, например, вокруг вакансии, и не очень зависит

Смотрите также файлы