Файл: Мотт, Н. Электронные процессы в некристаллических веществах.pdf

2.7. ПЛОТНОСТЬ СОСТОЯНИИ

До сих пор мы рассматривали простейший возможный неперио­ дический потенциал, а именно модель Андерсона — кристалличе­ скую систему ям случайной глубины. Теперь применим введенные понятия к другим системам. Начнем с плотности состояний. Как отмечено выше, если воспользоваться моделью невзаимо­ действующих электронов, понятие плотности состояний N (Е) пригодно как для кристаллических, так и для некристаллических тел. В предыдущем разделе мы видели, что, если состояния лока­ лизованы, волновые функции неодинаковы для двух направлений спина, но плотность состояний, усредненная по большому числу атомов, будет той же самой. Было установлено также, что в неко­ торых областях энергии волновые функции локализованы, а в других областях нет. В настоящем разделе мы рассмотрим плотность состояний, а также факторы, влияющие на нее, и приведем неко­ торые дальнейшие соображения относительно условий, при кото­ рых происходит локализация состояний. Имеется мало точных доказательств, и поэтому мы будем обобщать то, что можно извлечь либо из теоретических расчетов, основанных на приближениях, либо из экспериментальных наблюдений.

2.7.1. БЕСПОРЯДОЧНОЕ Р А С П Р Е Д Е Л Е Н И Е ЦЕНТРОВ

ВПРОСТРАНСТВЕ

Одной из простейших является задача о беспорядочной системе центров, каждому из которых соответствует атомная функция s-типа. Отличие от модели Андерсона заключается в том, что при этом нет случайного потенциала, зато узлы расположены в объеме хаотически. Случай слабого рассеяния, когда центры расположены вплотную друг к другу, рассматривается в гл. 3, посвященной жидким металлам. В настоящем разделе подход опять основан на приближении сильной связи. Такое рассмотре­ ние мы применим к примесной зоне полупроводников без компен­ сации и, следовательно, без случайного потенциала; хотя, если концентрация не лежит достаточно далеко в сторону металла от перехода металл — неметалл (гл. 5.6), трактовка, пренебрегающая корреляционным членом е2 /г1 2 , приведет к ошибочным результатам.

Лифшиц [320] рассмотрел эту задачу, разделив центры на пары таким образом, чтобы расстояние между атомами в каждой паре было возможно малым по сравнению со средним расстоянием между парами. Результаты такого рассмотрения показывают следующее:

а) зона расширяется, причем ее ширина равна максимальному расстоянию между уровнями четного и нечетного состояний пары атомов;

б) если среднее расстояние между атомами достаточно велико, плотность состояний обнаруживает минимум в середине примес­ ной зоны (фиг. 2.11). Это объясняется следующим. Если Е — энергия электрона в изолированном состоянии, то энергия элект­ рона в поле пары атомов имеет вид

Е±1,

где I — энергетический интеграл перекрытия (как в Н^) для двух атомов. Доказано, что, если среднее расстояние достаточно велико, плотность состояний в центре понижается. Вольф и др.

Ф и г . 2.11. Плотиость состоянии в примесной зоне по Лпфшпцу.

J545] измерили величину N (EF) в примесной зоне р-кремния методом туииелирования сквозь барьер и обнаружили минимум плотности состоянпй, который можно интерпретировать, как описано выше х ) .

Мотт [368] привел качественное истолкование условий лока­ лизации в этом случае. Он нашел, что, если волновая функция спадает как ехр (— аг), величина aR должна быть больше восьми (R~3 — число центров в единице объема). Это условие может поте­ рять силу, если зона содержит один электрон на атом, так как тогда вещество может стать непроводящим из-за^члена е 2 / г 1 2 раньше, чем наступит локализация, обусловленная раз\порядочением (гл. 5). Если число электронов меньше одного на атом, как это имеет место в полупроводниках при наличии компенсации, то появляется хаотическое поле (гл. 6).

Плотность состояний и условия локализации в случае, когда каждый центр создает случайный потенциал, уже обсуждались.

х ) Другое объяснение заключается в том, что для значений R, приближа­ ющихся к переходу металл — неметалл, плотиость состояний должна быть мала для одного электрона на центр вблизи уровня Ферми, а значит и в се­ редине зоны; в 6.13 таким путем объясняется магнетосопротивление сильно легированных полупроводников [545].

40 Глава 2

Пока еще не сделано попытки рассмотреть комбинированный эффект хаотического распределения и случайной потенциальной энергии, хотя последняя, вероятно, важнее х ) .

2.7.2. ЖИДКОСТИ, СТЕКЛА И АМОРФНЫЕ ТВЕРДЫЕ Т Е Л А

С теоретической точки зрения эти вещества выдвигают более трудные проблемы, чем примесная зона, так как единственная информация, которая обычно имеется относительно их структуры, это бинарная функция распределения (гл. 3), которая достаточна для определения N (Е), только если рассеяние на каждом атоме мало. Вычисление N (Е) при этих условиях (т. е. для жидких металлов) приведено в гл. 3. Кроме того, были произведены подроб­ ные расчеты хвоста у нижнего края s-зоны (фиг. 2.12, а), вызван­ ные тепловыми флуктуациями плотности [223, 320, 563]. Мотг [365] отметил, что такие флуктуации вызывают появление неболь­

Предположение о том, что у краев зоны проводимости (или валентной зоны) аморфных или жидких полупроводников суще­ ствует область локализованных состояний, не связанных с тепло­ выми флуктуациями, высказали Фрёлих [190] и Баньяи [42] 2 ) . Теперь это общепринято; вероятно, наиболее прямое подтвержде­ ние тому дают измерения дрейфовой подвижности инжектирован­ ных носителей. Обзор опытов с дрейфовой подвижностью в аморф­ ном кремнии и в аморфном селене приведен в гл. 8 и 10. Мотт [368J отметил, что можно ожидать различия между зонами проводимости в случае, когда отдельные атомы на дне зоны имеют волновые функции s-типа (жидкие металлы, жидкий аргон или щелочногалоидные соединения) и в случае, когда они р- или d-типа (герма­ ний, халькогениды). В первом слз'чае мы исходим из сферической поверхности постоянной энергии в кристаллическом состоянии. В некристаллическом состоянии, если средняя длина свободного пробега достаточно велика, чтобы можно было ввести понятие поверхности постоянной энергии, эта поверхность также должна быть сферической, так что нет качественного различия между волновыми функциями в кристалле и в некристалле. Среднююдлину свободного пробега можно вычислить по теории возмуще­ ний, как это сделано в гл. 3.

Если волновые функции не обладают такой симметрией (напри­

2 ) Следует подчеркнуть, что это ловушки, обычно пустые, а не доноры-

*) Эффективная масса в аморфном теле может обладать локальной анизо­ тропией, будучи анизотропной в среднем по образцу [614, 659]. В этом случае также нет качественного различия волновых функций в кристаллическом и аморфном состояниях.— Прим. перев.

2 ) В случае аморфного германия на опыте не обнаружена большая концентрация локализованных состояний [135, 647]. По-видимому, ее скорееможно ожидать в аморфных полупроводниках с цепочечной И Л И слоистой?

структурой [607].— Прим. перге*

42 Глава 2

также хвост локализованных состояний, обусловленный флуктуацпями плотности илп координационного числа. В настоящей

зоне аморфных тел. Воспользуемся также формулой типа (2.29) для оцепкп о (Ес) со стороны нелокализоваиных состояний и выве­ дем из нее выражение для подвижности в полупроводниках. Это допущение нуждается в дальнейшем теоретическом подтвержде­ нии, но в его пользу имеется много опытных данных.

Аргументы, приводящие к этому несколько умозрительному заключению, таковы [371]'.

а) в кристаллическом состоянии вблизи края зоны, где состоя­ ния не пмеют симметрии s-орбиталей, уравнение Шредиигера

построить функции типа Ваннье, пспользуя все собственные зна­ чения в некотором достаточно широком интервале АЕ. Миними­ зируя полную энергию, определим распределение этих состояний в пространстве. Благодаря множптелю ехр (±ух) в кристалли­ ческих волновых функциях следует ожидать, что и в аморфном теле волновые функции экспоненциально убывают с расстоянием;

тивном случае из них следует составить функции, распространен­ ные по всему образцу х , 2 ) .

Итак, в зоне существует энергия Ес и ее положение опреде­ ляется из уравнения

asEN (Ее) В - ~ .

При энергиях, соответствующих локализованным состояниям, проводимость осуществляется за счет термически активирован­ ных перескоков. При энергиях, соответствующих нелокализованным состояниям, можно надеяться, что для проводимости спра-

х ) Несколько пную модель использовал Штерн [474], чтобы сделать количественную оценку для кремния; он нашел, что E Q лежит между 0,1

л 0,2 эВ от края зоны. Подобную же оценку для валентной зоны халькогенидов сделал Мотт [371].

2 ) Приведенная аргументация нам кажется неубедительной. В частности, непонятно, что за величина аЕ в выражении (2.35); она определяется через UQ из (2.32), но что представляет собой t70 для аморфного тела? Модель Ан­ дерсона применима для твердого раствора, по не для аморфных тел.— Прим. мерее.