Файл: Заманский, М. Введение в современную алгебру и анализ.pdf

450

ГЛ.

X.

ИНТЕГРИРОВАНИЕ

О сновное

свойство

ф ун кц и и

о гра ни ч ен н ой

в а р и а ц и и

ф орм у­

л и р уется

след ую щ ей

теоремой (по ня ти е

ф ун кц и и

о граниченной

в а р и а ц и и

м о ж е т

бы ть

расп ро стра не но

и на

ф ун кц и и , не

я в л я ю ­

щ иеся ф ун кц и я м и

д е й стви тел ьн ого

перем енного,

но

п ривод им ая

н и ж е

теорема имеет см ы сл

то л ь ко

д ля

д е й стви тел ьн ы х

ф ункций

д е й стви тел ьн ого

пер ем ен но го ).

Т е о р е м а

2.

Л ю б а я ф у н к ц и я о г р а н и ч е н н о й в а р и а ц и и может

быть

п р едст а вл ен а

к а к

разность

д в у х

в о з р а ст а ю щ и х

ф у н к ц и й .

В

сам ом деле, п о л о ж и м

g ( t ) =

V ( a ,

t )

;

ф ун кц и я g ,

очевидно,

возрастает.

П у с ть

h ( i ) —

g ( t ) —

f ( t ) ; д л я

д в ух

точек

t,

t'

имеем

— f ( t ) I

V ( t , t ' ) ,

и

значит,

f ( t ' ) —

f ( t ) ^ V ( t ,

t')-

если

t

<

t',

то

f ( О —

(t’

t') =

g { t ')

—

g {ty ,

с л е д о в а т е л ь н о ,

g { t ) - f { t ) < g { t ' ) - f { t ' ) ,

T.

e.

h { t )

^

h ( t ' ) ;

ф ун кц и я

h

то ж е

возрастает,

и

равенство

f

=

g

—

h д о казы ва ет теорем у.

И з

этой

теорем ы

следует,

что

если

/

— неко то р ая

ф ункция

о гра ни ч ен н ой

в а р и а ц и и

(им еется

в

ви д у

д е й стви тел ьн ая

ф ун к ­

ц ия д е й стви тел ьн ого

п ер ем е н н о го ),

то

в

к а ж д о й

точке t сущ е ­

с тв у ю т

f { t - \ -

0) и f ( t

—

0) ; но значение

f ( t )

не обязательно

за ­

кл ю че но

м е ж д у

предельны м и

значениям и

справа

и

слева

и

не

обязательно , чтобы f ( t —

0) ^ f (

r

+

0).

Т еорем а

1, в

прим енении

к

ф ун кц и ям

о гра ни ч ен н ой

в а р и а ­

ц ии ,

дает сл е д ую щ и й р езультат.

жет быть

пр ед ст а вл ен а

в

в и д е сум м ы

н е п р е р ы в н о й

ф у н к ц и и

о г ­

р а н и ч е н н о й

в а р и а ц и и

и

ф у н к ц и и , которая

являет ся

сум м о й

д в у х

ф у н к ц и й ск а ч к о в .

П о с л ед н я я

м о ж е т

бы ть

о п р е д е л ен а

Как

ф ун к ци я

s

и з

п.

2;

д о ст а т о ч н о

п р ед п о л о ж и т ь , что

р яды

2

ип,

2

ѵп а б с о л ю т н о

с х о ­

д я т с я .

в а р и а ц и и .

1)

Е сл и

f

—

л и п ш и ц ева

ф ун кц и я

п ор яд ка

1,

т.

е.

д ля л ю б ы х t,

t' имеем

\ f { t ) - f { t ' ) \ < M \ t - t ' I,

где

М —

п о стоя нн ая ,

за ви сящ а я

л и ш ь

от

и н тервал а , на

котором

рассм а три вае тся

/,

то

/

им еет

о гр а н и ч е н н ую

ва р и а ц и ю ;

это

сле ­

д уе т сразу ж е из определения.

В частн ости , если

п роизвод ная

ф ун кц и и

f

на

[а,

b]

сущ е ­

ствуе т

и о гр а н и ч е н а

(и л и н е п р е р ы в н а ),

то

/

имеет

о гр а н и ч е н ­

н ую

ва р и а ц и ю .

8. МЕРЫ НА ЧИСЛОВОЙ ПРЯМОЙ

451

2)

В ся ка я

м онотонная

ф ун кц и я на

[а,

Ь]

есть ф ун кци я

о гр а ­

ниченной в а р и а ц и и ,и б о

значит, здесь

V ( f , а, b) = \ f ( b ) - f ( a ) \ .

(С ледовательно ,

ф ун кц и я о гра ни ч ен н ой

ва р и а ц и и не

о б я за ­

тельно

непреры вна .)

И з

этого

свойства

вытекает,

что

теорема 2

характ еризует

ф у н к ц и и о г р а н и ч е н н о й в а р и а ц и и .

3)

Н еп р е р ы в н а я

ф ункц ия м о ж е т и

не

б ы ть

ф ункцией

о гр а ­

ниченной ва ри а ц и и .

Д о ста то ч н о постро и ть

ф ун кц и ю f, неп ре ры в ­

н ую

на [0, 1]

и т а к у ю ,

чтоб ы на

[ 1/ ( и + 1),

1/ті] ва ри а ц и я

ф ун к ­

ции

}

бы ла

больш е

или

равна

1/п (на пр и м е р ,

чтоб ы

/

бы ла

равна

н ул ю

в

то ч к а х

1/п,

1/ ( « +

1) и

имела

м аксим ум ,

равны й

1In,

на

[\/( п +

1), 1/я ]) .

F (t) =

I f (и)

d u ,

где f

и н те гр и руе м а

относи тельно

меры

Л еб ега ,

имеет

о гр а н и ­

ч ен ную

ва р и а ц и ю ,

та к к а к

F ( t ) - F ( f )

j f (и) d u <

и значит,

ь

V ( F , а, b X j I f ( u ) \ d u .

a

§

2.

О пределения мер на числовой прям ой

1.

М еры , определенны е при пом ощ и клана .

Н айд ем

п о л о ж и ­

тельны е

меры , которы е

могут,

бы ть

определены на R исходя из

кл а н а , п о р о ж д е н н о го

инте р вал а м и [а,

b

[.

П у с ть р — некоторая

мера;

и п усть

t0 — ф и кси р ован на я

т о ч ­

ка ; обозначим снова через р д е й стви те л ь н ую

ф ун кц и ю

д е й стви ­

тельного перем енного t,

определенную к а к

у ( і ) =

ц ([t0,

ф .

Т огд а

р ([я , 6[) = р (Ь) — р (а).

О чевидно , что

р —

во зра стаю щ а я

ф ун кц и я

(это есть

ф орм у­

л и р о в ка

конечной

а д д и ти в н о сти ).

П рим енение

аксиом ы

(«7 )

452

ГЛ.

X. ИНТЕГРИРОВАНИЕ

к уб ы в а ю щ е й

последовательности

[а„, Ьп [

интервалов ,

и м ею щ их

пустое

пересечение,

п оказы вает,

что

р

непреры вна слева, ибо

если рассм отреть

[ап , Ь [,

то

lim Iх([а„, è[) — О,

т.

е.

П-> оо

lim (р (Ь) — р ( а п)) =

О,

П-^ оо

а

та к

к а к р

возрастает,

то

р ( а п ) имеет

в

качестве

предела

р (Ь —

0), ка ко ва

бы

ни

бы ла

во зра стаю щ а я

последователь­

ность а п , стрем ящ ая ся к Ь.

О б ратное

д оказы вается сразу

ж е :

если

р —

во зра стаю щ а я

ф ун кци я , непреры вная слева,

и если п о л о ж и ть

Р ([а . Ь[) = ц ( Ь ) — р (а ),

то на R будет определена

п о л о ж и те л ьн а я

мера.

И т а к , в с я к а я п о л о ж и т е л ь н а я м е р а н а R о т н о с и т е л ь н о к л а н а ,

п о р о ж д е н н о г о и н т е р в а л а м и [а, b [, о п р е д е л я е т с я п р и

п о м о щ и

[а, b [ р а в н а р ( Ь ) — р ( а ) .

Э то т

р е зул ь та т

м о ж н о

и н те р пр ети р ова ть

сл е д ую щ и м

о б р а ­

зом :

если х о тя т

определить

на

R

м еру

посредством в о зр а ста ю ­

щ ей ф ун кц и и р, п о л о ж и в

Р ([а . Ь[) = р (Ь) — р (а),

то необходим о п р е д п о л о ж и ть

п ри этом ,

что р

непреры вна

слева.

О д н а ко м о ж н о

определить на

R п о л о ж и те л ь н у ю м еру посред ­

ством

возра стаю щ е й

ф ун кц и и ,

не

обязательно

непреры вной

слева

(что не вхо д и т

в противоречие

с

пре д ы д ущ и м

р е зул ь та ­

т о м ).

В

сам ом

деле,

п усть

р —

во зр а ста ю щ а я

ф ун кц и я ;

для

л ю б о го

интервала

[ а , Ь [

полагаем

Р ( К

b[) =

p ( b —

0) — р ( а — 0).

Тем сам ы м определена

п о л о ж и те л ьн а я мера,

ко то ра я

буд ет

той ж е

сам ой,

к а к

и

мера,

определенная

ф ункцией

р і,

где

Р !(^ )

=

р

— 0) , ибо,

к а к

мы

видели,

р і возрастает

и

непре ­

р ы в на слева (ср.

§

1,

п.

1).

О тсю д а следует, что

в с я к а я

ф у н к ц и я

о г р а н и ч е н н о й

в а р и а ц и и

о п р е д е л я е т н е к о т о р у ю м е р у .

О тм етим , что

д л я

та ко й

меры мера то ч ки а равна

Р (а +

0) —

р (а —

0),

т. е. равна с к а ч к у

ф ун кц и и

р в точке а .

(Д о ста то чн о ,

наприм ер ,

з а п и с а іь

а кси ом у

(S ')

в

тер м и н ах

счетной

а д д и ти вно сти

или

записать,

что вы полняется

теорема Б.

Л е в и .)