Файл: Заманский, М. Введение в современную алгебру и анализ.pdf

8. МЕРЫ НА ЧИСЛОВОЙ ПРЯМОЙ

455

2 l pft+i) —

n f t ) К

II f

II;

и ны м и словам и ,

p имеет о гр а н и ч е н н ую

ва р и а ц и ю .

И з

построения

р непосредственно следует, что

J x d p

=

f { x ) =

f

{х).

3.

М ер а Л еб ега .

П р о стр а н ств о

R n

явл я ется

л о ка л ь н о

к о м ­

п а ктн ы м

м етрическим

п ро стр а нство м .

С тал о бы ть,

определение

п ро стр а нства

9

м о ж е т бы ть

произведено

исход я

из

неп ре ры в ­

н ы х ф ункц ий

с

ко м п а ктн ы м

носителем

(д ля

к о то р ы х

и н те гр а л

п ре д по л агае тся

у ж е определенны м ) или

исходя

из

меры

о тн о ­

сительно

ко м п а к тн ы х

о тк р ы ты х

м нож еств

(см. раздел 4,

§

3 ).

Э то общ ее

зам ечание п рим еним о к

том у , что

назы вается м е ­

Н а

R

мера Л еб ега —

это

п о л о ж и те л ь н а я

мера, определенная

на

клане ,

пор ож д ен но м

инте р вал а м и

[а,

b [,

где

а ^

Ь,

и

р ([а , b [ ) = b — а.

М о ж н о

т а к ж е ска зать ,

что

она определяется

возра стаю щ е й

ф ункцией

перем енного

t,

задаваем ой равенством

i x ( t ) —

t. И н ­

те гр а л

от / е

9 ?

относи тельно меры Л е б е га

записы вается

в виде

J f d t

ил и J f ( t ) d t .

Н а

R n

мера

Л е б е га

будет мерой —

произведением .

Э та мера

определяет и н те гр а л

от с туп е н ч а ты х

ф ун кц и й

на

R .

А та к

к а к

л ю б а я непреры вная

ф ун кц и я

с

ко м п а ктн ы м

носи те ­

лем

есть

р авном ерны й

предел

с туп е н ч а ты х

ф ун кц и й ,

то

тем

сам ы м определен и н те гр ал

от

л ю б о й

непреры вной

ф ун кц и и

с

ко м п а ктн ы м

носителем ,

и

стало

бы ть,

м о ж н о

постро и ть

п р о ­

стра нство

3 ?

и н те гр и р уе м ы х ф ун кц и й

на

R .

(Я сно ,

н а ско л ько

бесполезно

п ы та ться здесь

р азл и ч ать

две

то ч ки

зрения ,

ве д у ­

щ ие к определению п ро стр а нства

9 . )

М ер а

Л е б е га

(на R n )

обладает одним

в а ж н ы м

свойством :

она

инва риа нт на

относительно

п е р е н о с а .

Более

точно , в

случае

меры

Л е б е га

имеет место

следую щ ее

очевидное

пред л ож ение .

J f(t) d t =

J f ( t — а) dt.

З а м е ч а н и е .

О тноси те л ьно

меры Л е б е га точка

имеет меру

нуль.

Е сли

е —

м нож ество нулевой

меры

Л еб ега ,

л еж ащ ее на

интервале

[а, 6], то

д ля

л ю б о го

е >

О оно

м ож ет

бы ть

п окр ы то

конечны м

ил и

счетны м

семейством

о тк р ы ты х

интервалов Д

сум м а мер

ко то р ы х

будет меньш е е.

Э ти

и н тервал ы

м о гут пред ­

п ол а гаться

попарно непересекаю щ им ися ,

ибо

(ср.

раздел 4, § 3, в

конц е ) м нож ество

е

м о ж е т бы ть

закл ю чен о

в о ткры тое

м н о ж е ­

ство

меры

м еньш ей,

чем е; но в

R о ткры тое

(непустое )

м н о ж е ­

ство

является

объединением конечного

или

счетного семейства

н е п усты х попарно

непересекаю щ ихся о тк р ы ты х

интервалов.

§ 3.

Производные монотонных функций

Ц е л ь ю

этого п ар агр аф а

является

доказа тел ьство

того

ф акта,

что л ю б а я

м онотонная

ф ун кц и я

на

R имеет

(ко н е ч н ую )

п р о и з ­

в о д н ую

почти всю д у

(относител ьно

меры

Л е б е га ).

В ся ка я м онотонная

ф ункция

представим а

в виде

сум м ы

не­

преры вной

м онотонной

ф ун кц и и

и

ф ун кц и и ска чко в .

Т а ки м

о б ­

разом , пред лож ение

д оказы вается

д ля

непреры вной

ф ункции ,

а затем

д л я

ф ун кци и

скачков .

Д ока зате л ьство д л я непреры вны х

ф ункц ий п р и н а д л е ж и т Р иссу.

М е р а

н а

R есть м ер а

Л е б е г а .

П р е д п о л о ж и м

известны м

эл ем ентарны й

р езультат,

в

соот­

ветствии с ко то ры м , д ля непреры вной ф ун кц и и f

JX f i t ) dt

а

имеет в

качестве

производ ной

f { x ) ,

а

д ля

ступе нча той

ф ун к ­

ции I

X

J f i t ) d t

а

имеет в

качестве

производ ной

f ( x )

в к а ж д о й

точке ,

где /

непре ­

ры вна .

1. Непрерывные монотонные функции.

Л е м м а .

П уст ь g

—

н е п р е р ы в н а я

ч и сл о в а я ф у н к ц и я

н а

к ом ­

пактном

инт ервале

I =

[а,

Ь].

И

пусть

Е —

множество

таких

х е ] а,

Ь [,

что

найдет ся

£

>

х ,

д л я

которого

g ( l ) > - g ( x ) .

8. МЕРЫ НА ЧИСЛОВОЙ ПРЯМОЙ

459

Т а ки м

образом , м н ож ество

тех

х ,

д л я ко то р ы х

А й (х ) >

Я ,

м о ж е т

бы ть закл ю чен о

в счетное сем ейство и н тервал ов ,

сум м а

мер к о то р ы х

буд ет

меньш е

е.

А

та к

к а к

м н ож ество тех

х , где

A d (x) =

+

оо,

равно

Г И м >

к

то оно имеет м еру нуль.

И т а к ,

н е п р е р ы в н а я

в о зр а ст а ю щ а я

ф у н к ц и я

f

имеет

почти

в с ю д у

к о н еч н ы е

п р о и з в о д н ы е числа .

б)

П о к а ж е м

теперь,

что

А d (х) < 6g {х).

П . В .

П у с ть

0 < Я '

< Я

и

g ( x )

=

f { — x ) +

K 'x. Р ассм отрим

для

g

м н ож ество Е ,

определенное в лемме,

обозначим

его через Л ^ Я ') ,

то гд а

на

этом

м нож естве

8g <

Я'.

Н а

интервале

] а *, ßft [

из

Е х (Я ')

имеем

H a

]ctfc,

ßk[

п рим еняется

р е зул ь та т ,

и з л о ж е н н ы й

в

а),

т.

е.

на

}ak,

ßft

[р а ссм а тр и в а ю тся

и н те р ва л ы

]a Ai {, ßkt {[,

на

к о то р ы х

Я <

\ d (x),

и

П у с ть

^ (ßft. i —

a

k , t X

f

(ßft. i) —

f (а *. <)•

£ ,2W

=

U

ßfe, Я-

k,i

Т а к

к а к

мера

p есть

мера

Л еб ега

( у ( а ,

Ь ) =

Ь -—

а ) ,

то

я 2

р ( а к . и

f o , i X f ( ß k )

— f ( « б К і І ' ( і ( а ь

ßk).

П рим еняем то т ж е м етод

в

к а ж д о м

и нтервале из £ 2(Я ); п о ­

лучаем м нож ества Е г { К ') ,

Е 4(Я ),

д ля ко то р ы х

р ( Е 4 (Я)) <

4 г

Р

(*-'))»

и т - Д-