Файл: Заманский, М. Введение в современную алгебру и анализ.pdf

x-+f(x) 4-g(*)- Отображение f -f- g снова линейно и

Будем через 0 обозначать линейное отображение, определяемое как х->0 e f , а через —f будем обозначать линейное отображе­ ние вида x - * —f(x). Наконец, через af будем обозначать линей­ ное отображение x —*af(x) ( а — произвольный элемент из К). Тогда имеет место

П р е д л о ж е н и е 1. Множество линейных отображений про­ странства Е в пространство F образует векторное пространство

над К.

б) Пусть Е, F, G — три векторных пространства над одним и тем же полем К. И пусть / — линейное отображение Е в F, а g — линейное отображение F в G. Тогда g ° f есть линейное отобра­ жение F в G. Это кратко формулируется следующим образом:

П р е д л о ж е н и е 2. Композиция линейных отображений есть линейное отображение.

Эта композиция дистрибутивна относительно операций над линейными операциями. В самом деле, пусть х —>/у(х), х —>

—*-/2(х)—Два линейных отображения Е в F. Линейное отобра­ жение /і+ /2 определяется как х-»(/і (х) + /2(х)), а go (Б +М — как x-*g(fi(x) + f2(x)). Но

g(fi(x) + f2 (x)) = g(h(x)) + g(h(x)).

3.Свойства линейных отображений

Пр е д л о ж е н и е 1. Если f есть линейное отображение про­ странства Е в пространство F, то элемент 0 из Е имеет своим образом элемент 0 из F.

Всамом деле, согласно определениям, f(0)=f(0x)=0f(x) =

=0 ( e f ) .

Напомним, что f(E) означает множество всех элементов f(x) из F, когда X пробегает Е (гл. I, § 2, 2)). Речь идет о том, чтобы показать, что элементы из f(E) удовлетворяют восьми равен­ ствам определения (гл. II, раздел 4, § 2, в конце).

Элемент 0 e F принадлежит f(E) в силу а) из предыдущего параграфа. Если f(x:) и f(x2 )—два элемента из f{E), то /(хі) +

.+ /(*г) тоже принадлежит f(E), поскольку

четыре равенства тоже выполняются (там же).

З а м е ч а н и я . 1) Если f(E) имеет конечную размерность, то эта размерность называется рангом отображения f.

2) f(E) может не быть тождественно F. Так, линейное ото­ бражение

X — ах, Y = а'х

R в R2 есть отображение в, но не на (в элементарном выраже­ нии, f(E) есть прямая в R2). С другой стороны, если f(E) тож­ дественно F, то f есть отображение на, но не обязательно вза­ имно однозначное. Таков случай отображения

X = ах + by

пространства R2 в R.

Изоморфизм. Каким образом можно охарактеризовать вза­ имно однозначное линейное отображение f пространства Е на пространство F? Необходимо, чтобы f было отображением на. Пусть теперь f-1(0) есть прообраз элемента O e F , т. е. множе­ ство элементов из Е, образом которых в F при отображении f является элемент 0 из F. Множество f~l (0) есть векторное под­

Следовательно, для того, чтобы линейное отображение f про­ странства Е на F было взаимно однозначным, необходимо и до­

статочно, чтобы ядро сводилось к элементу 0 пространства Е.

Если это выполняется, то обратное отображение /-1 тоже

Это служит основанием к тому, что взаимно однозначное ли­ нейное отображение Е на F называется изоморфизмом Е на F.

В случае, если такое отображение существует, Е и F называются

изоморфными.

Предположим, наконец, что f —линейное отображение Е в F

изоморфизмом Е на подпространство f(E) пространства F.

В этом случае говорят, что f есть изоморфизм Е в F. Рассмотрим теперь п элементов х\, хч, ..., хп из Е. Если f

есть линейное отображение Е в F (векторное пространство над тем же полем К), то

в F при отображении f могут таковыми не быть. В самом деле,

нейное отображение пространства К3 в пространство К2. В К2 не могут существовать три линейно независимых элемента, и стало быть, образы трех линейно независимых элементов из /<3 не будут таковыми в К2. Однако имеет место следующий ре­ зультат.

линейно независимы в Е.

Эквивалентная формулировка:

Если хи ..., хп не являются линейно независимыми в Е, то их образы в F посредством линейного отображения тоже не бу­ дут таковыми.

что доказывает теорему. Эта теорема имеет два следствия, важ­ ные для дальнейшего.

ждый из этих элементов есть образ какого-то элемента

при отображении f; следовательно, в Е найдутся п таких эле­

можно было бы выбрать п~> р так, чтобы ут были линейно независимыми. По предыдущей теореме хт были бы тоже ли­ нейно независимы, что невозможно, так как Е имеет размер­ ность р < п .

Можно также сказать, что ранг отображения f не превосхо­ дит размерности пространства Е.

ство пространства Е, имеющее конечную размерность р', то ц>(Е') есть подпространство пространства F, имеющее ту же размерность р'.

Действительно, по предыдущей теореме, для отображения ср '(рассматриваемого определенным только на Е', которое яв­ ляется векторным пространством) пространства Е’ в F про-

мененная к ф-1, показывает, что ф-1(ф (£'))> которое есть Е', имеет размерность р', не превосходящую размерности простран­ ства ф (Е' )^. р' . Следовательно, ф (E') имеет размерность р'.

Можно, в интуитивном выражении, сказать, что изоморфизм сохраняет размерность и интерпретировать эти результаты на­ глядно. Так, для теоремы 4 скажем, что линейное отображение плоскости в трехмерное пространство преобразует плоскость «не более» чем в плоскость. Для теоремы 5 скажем: взаимно однозначное линейное отображение трехмерного пространства в трехмерное пространство переводит прямую в прямую, пло­ скость в плоскость и пространство во все пространство.

§ 4. Случай конечномерных векторных пространств

Т е о р е м а 1. Пусть Е и F — два векторных пространства нао одним и тем же полем К, имеющие одинаковую конечную раз­ мерность п. Если линейное отображение / пространства Е в F переводит базис пространства Е в базис пространства F, то f

на F, где Е и F — конечномерные векторные пространства над одним и тем же полем К, то Е и F имеют одинаковую размер­ ность.

Действительно, f~l тоже является линейным отображением F в Е. Если (bm) (m = 1, 2, .... q) — базис в F, то элементы