Файл: Заманский, М. Введение в современную алгебру и анализ.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 15.10.2024
Просмотров: 187
Скачиваний: 0
158 |
ГЛ. |
V. топология |
§ 2. Компактные пространства |
||
Понятие |
компактного |
пространства имеет своим истоком |
«лемму о покрытии» Бореля — Лебега. Это свойство для число вой прямой формулируется следующим образом: если семейство открытых интервалов покрывает некоторый замкнутый ограни ченный интервал прямой (или вообще ограниченное замкнутое множество), то существует конечное подсемейство, обладающее тем же свойством покрытия. Эта лемма, принятая за аксиому, определяет компактные пространства (примерами которых слу жат ограниченные замкнутые множества на R). Практически рассматриваются лишь те компактные пространства, которые являются прежде всего отделимыми.
1. Компактные пространства.
Определение. Говорят, что пространство {Е,ГГ), где ГГ— база топологии, компактно, если оно отделимо и если любое по крытие пространства Е открытыми множествами из ТГ содержит покрытие, состоящее из конечного числа этих открытых мно жеств.
Св о йс т в а . 1) Для того чтобы отделимое пространство Е было компактно, необходимо и достаточно, чтобы всякое его покрытие открытыми множествами содержало' конечное покры тие открытыми множествами.
Действительно, если свойство верно для любого покрытия от крытыми множествами, то оно верно, в частности, для любого покрытия открытыми множествами из ГГ. Обратно, если Е ком пактно и если имеется (произвольное) покрытие открытыми множествами, то каждое х е Е содержится в некотором из этих
открытых множеств О; |
но |
существует |
такое |
Х ^ Г Г , что |
х е X а О. Множество этих X |
снова покрывает £; стало быть, |
|||
имеется конечное число |
множеств (которым соответствуют от |
|||
крытые множества О), покрывающих Е. |
нет |
необходимости |
||
З а м е ч а н и е . Здесь |
снова |
видно, что |
||
рассматривать все открытые множества. С другой стороны, если на Е задана топология посредством счетной базы ГГ (это не бу дет так для любой топологии), то компактность (или ее отсут ствие) будет доказана, если рассматривать только покрытия счетными семействами. Это имеет место на прямой, где первое доказательство леммы Бореля о покрытии предполагало покры
тие счетным.
2) Для того чтобы отделимое пространство Е было компакт но, необходимо и достаточно, чтобы всякое семейство замкнутых множеств с пустым пересечением содержало конечное семейство с пустым пересечением.
Это свойство выводится из предыдущего при помощи двой ственности.
|
|
3. ОТДЕЛИМЫЕ ПРОСТРАНСТВА |
159 |
||
3) |
Если Е компактно относительно топологии ёГ, то оно ком |
||||
пактно и относительно отделимой топологии ёГ', менее сильной, |
|||||
чем ёГ, и в частности, для эквивалентной топологии. |
|
||||
Действительно, |
пусть ёГ' — база открытых множеств, менее |
||||
сильная, чем база открытых множеств ёГ (ср. § 2, 1)). И пусть |
|||||
имеется |
произвольное покрытие пространства Е множествами |
||||
X' <^ёГ'. Тогда для любого х е £ |
существует X' из семейства ёГ', |
||||
содержащее х. Но так как ёГ' — менее сильная топология, чем |
|||||
ёГ, то X' |
содержит некоторое X е |
ёГ, содержащее х. |
Множество |
||
этих X покрывает Е, а поскольку |
(Е,ёГ) компактно, |
то конечное |
|||
число Х\, |
Х2, ..., |
Хр этих множеств X |
покрывает Е, |
и тем более |
|
покрывают его множества XI, Х2, ... , |
Х'р, содержащие соответ |
||||
ственно |
Х2, .... Хр. Тем самым доказано, что (Е,£Г') ком |
||||
пактно. |
|
|
|
|
|
2. Компактные множества. |
|
|
|
||
Определение. |
Говорят, что подмножество Е отделимого то |
||||
пологического пространства компактно, если оно компактно как |
|||||
подпространство. |
|
Е, то множество |
пересечений |
||
Если |
ёГ — база топологии на |
||||
X' = X П А, где Х ^ ё Г , определяет базу топологии на А, и мы |
|||||
говорили, что для этой индуцированной топологии ёГ' множество |
|||||
А принимает название подпространства пространства Е. Стало быть, чтобы выяснить, компактно ли множество А, надо согласно определению обратиться к покрытиям А его открытыми множе ствами базы, т. е. к множествам X'. На самом деле можно рас сматривать снова покрытия открытыми множествами из Е.
В самом деле, пусть А — подмножество пространства (Е, ёГ) *и пусть некоторое семейство множеств вида X П А, где І е У , покрывает А. Тогда множества X, входящие в это семейство, по крывают А в Е. Обратно, если подмножество А из Е покрыто некоторым семейством Y e f в £, то Y П Л — открытые множе ства базы топологии, индуцированной ёГ, и покрывают подпро
странство А.
Предположим теперь, что Е отделимо (тогда А тоже отде лимо), что А есть его компактное подпространство и что имеется покрытие подпространства А открытыми множествами X из Е. Тогда из семейства X П А можно выбрать конечное покрытие
множествами Xtf}A, |
Х2П А, |
..., А'„ П А; следовательно, |
Хи Х2, ..., Хп покрывают множество А с. Е. |
||
Обратно, предположим, что из любого покрытия множества А |
||
открытыми множествами |
Х ^ ё Г |
можно выбрать конечное по |
крытие. И пусть имеется покрытие подпространства А откры тыми множествами X П А. Соответствующее семейство множеств X покрывает подмножество А в Е, и значит, существует
конечное семейство |
Х\, Х2, ..., Хп, покрывающее А в |
Е, |
и |
Хі Г) А, Х2П А, |
Хп {\ А покрывают А; это означает, |
что |
А |
160 ГЛ. V . топология
есть компактное подпространство. Отсюда получаем опреде ление.
Э к в и в а л е н т н о е о п р е д е л е н и е . Подмножество А отде лимого топологического пространства называется компактным множеством (или подпространством), если любое покрытие его открытыми множествами из Е содержит конечное покрытие.
З а м е ч а н и е . |
Часто сокращенно говорят компакт вместо |
компактного множества *). |
|
3. Свойства компактных пространств и множеств. |
|
Т е о р е м а \. |
В отделимом пространстве компакт А и точка, |
ему не принадлежащая, могут быть заключены в непересекающиеся открытые множества.
Пусть |
Е |
— некоторое |
пространство, £Г — база |
топологии, |
||
А — компакт |
и у ф А. Для |
любого х е А можно |
найти такие |
|||
Хх <=Т, |
Yx <= ST, что i e |
l |
tl у е Ух, и Хх Г) Ух = |
0 , |
поскольку |
|
Е отделимо. А так как А компактно и множество открытых мно жеств Хх покрывает А, то существует конечное число открытых множеств ХХі, .... ХХп, покрывающих А. Но
П
U -Ч
і—\
есть открытое множество, которое содержит А и которое не пе ресекается с открытым множеством
U = f ) Y v
1=1
содержащим у.
Это свойство формулируется также следующим образом:
в отделимом пространстве компакт и точка, ему не принад лежащая, могут быть отделены двумя непересекающимися
открытыми множествами.
Т е о р е м а 2. В отделимом пространстве два непересекающихся компакта можно отделить двумя непересекающимися открытыми множествами.
Доказательство аналогично доказательству предыдущей тео ремы. Пусть в отделимом пространстве Е имеются два непересекающихся компакта А в В\ для любого х е А заключим х в не которое Хх, а В — в некоторое открытое Ух (теорема 1) так,
чтобы Хх П Ух — 0- Множества Хх покрывают А, а так как А — |
||
компакт, |
то существует конечное число множеств ХХ], |
. .. , ХХп, |
*) Эта |
терминология отличается от терминологии, принятой |
в советской |
математической литературе; ср. А. Н. |
К о л м о г о р о в , С. |
В. Фомин , Эле |
менты функционального анализа, М., |
1972, Г, Е. Ши л о в , |
Математический |
анализ (специальный курс), М., 1961. |
|
|
|
|
з. |
о т д е л и м ы е Пространства |
|
161 |
|
покрывающих А; |
имеем |
|
|
|
||
|
|
|
A cz{JX x., ß c |
[ \ Y Хі |
|
|
и . |
|
|
( и ^ ) П ( П ^ ) = 0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Т е о р е м а 3. |
В отделимом пространстве компактное множе |
|||||
ство замкнуто. |
|
|
и х ф А , то |
заключим х |
||
Действительно, если А компактно |
||||||
в некоторое |
X e f , |
а А — в некоторое открытое |
Ц так, |
чтобы |
||
X fl U = 0 |
(теорема 1); тогда х не является точкой прикосно |
|||||
вения для А, поскольку х е Х е Й ( і ) |
и X не содержит никакой |
|||||
точки из U, |
а значит, и никакой точки из А. Стало быть, |
путем |
||||
логического отрицания приходим к тому, что всякая точка при косновения множества А принадлежит А, чем и доказано, что
Азамкнуто.
Те о р е м а 4. В компактном пространстве всякое замкнутое множество компактно.
Всамом деле, пусть Е — компактное пространство и А — за мкнутое множество в Е. Для доказательства компактности мно
жества А достаточно показать, что в подпространстве А любое семейство замкнутых множеств с пустым пересечением содержит конечное подсемейство с пустым пересечением (п. 1, свойство 2)). Но множество, замкнутое в подпространстве А, замкнуто и в Е. А для Е утверждение справедливо, так как Е компактно.
Соединяя вместе теоремы 3 и 4, получаем следующий важ ный результат:
Сл е д с т в и е . В компактном пространстве понятия замкну того и компактного множества совпадают.
Из этого утверждения можно вывести утверждение теоремы 2, если предполагать Е не только отделимым, но и компактным.
Т е о р е м а 2'. В компактном пространстве два непересекающихся замкнутых множества можно разделить двумя непересекающимися открытыми множествами.
Эта теорема есть всего лишь теорема 2 в применении к ком пактному пространству, в котором, по предыдущему следствию, понятия компактности и замкнутости совпадают. Теорема 2 при водит к определению нормальных пространств.
О п р е д е л е н и е . Пространство называют нормальным, если оно отделимо и если два непересекающихся замкнутых множества могут быть отделены непересекающимися открытыми множе ствами.
Эти пространства являются более специальными, чем отдели мые пространства (где можно отделить две точки, составляю щие замкнутые множества) и чем регулярные пространства, но более общими, чем компактные пространства.
6 М. Заманский