Файл: Заманский, М. Введение в современную алгебру и анализ.pdf

нечного числа компактных множеств компактно, пересечение произвольного семейства компактных множеств компактно.

Для конечного объединения доказательство очевидно.

Если, с другой стороны, рассмотреть некоторое семейство (Л;) компактов отделимого пространства, то пересечение П Аі содержится в каждом из Аі. А так как Аі компактны в отдели­ мом пространстве Е, то они замкнуты; значит, f] Alt как пересе­ чение замкнутых множеств, замкнуто. Но Л Аг есть замкнутое множество, содержащееся в некотором компакте (любом из Аі),

истало быть, по теореме 4, является компактом.

Те о р е м а 6. Для того чтобы произведение конечного числа пространств было компактом, необходимо и достаточно, чтобы каждое из пространств — сомножителей было компактом.

задается по определению базой топологии, составленной из всех

произведений X = П X,, где Х{<= STі. Легко видеть, что Е отде­ лимо тогда и только тогда, когда все Еі отделимы. Предполо­ жим, что Е компактно. И возьмем, например, Еі и некоторое покрытие Е\ множествами Х\. Тогда множества Х = (Х\, £ 2, ...

..., Еп) образуют открытое покрытие пространства Е. Для ком­ пактного Е можно выделить конечное покрытие. Но если семей­ ство множеств І е J" покрывает Е, то соответствующие М покрывают Еі. Следовательно, Еі может быть покрыто конечным числом множеств Хр, стало быть, Еі есть компакт.

Обратно, предположим, что пространства — сомножители Еі компактны. Покажем, что Е компактно. Докажем наше утверж­ дение индукцией по числу сомножителей. При п = 1 утвержде­

fc=i

М Д . . . Д № покрывает множество Х\ X Е2 X • • ■X £»• Семей­ ство множеств А’ь по построению, образует открытое покрытие Ер, так как £j компактно, то существует конечное число подмно­

Xкомпактно.

2.Свойства.

окрестность компактного подмножества А содержит компакт­ ную окрестность этого подмножества.

Действительно, пусть А — компактное подмножество из Е, и

Отсюда

Ас= О' сг О' cz О.

Атак как Ö' есть объединение конечного числа компактных множеств, то О' компактно.

Из теоремы 1 получаем следующее утверждение.

Пр е д л о ж е н и е . Всякое локально компактное простран­ ство регулярно.

В самом деле, любое открытое множество, содержащее точку X, содержит компактную окрестность. Но компактная окрест­

ность замкнута (§ 2, теорема 3). Таким образом, любое откры­ тое множество, содержащее х, содержит замкнутую окрестность этой точки, и значит, пространство регулярно (§ 1, предло­ жение).

З а м е ч а н и я . 1) Предыдущие свойства тем более верны в компактном пространстве. Теорема 2 влечет, в частности, что в локально компактном пространстве Е для любого компактного подмножества ^существует открытое множество О, содержащее А и такое, что Ö компактно. Это свойство не представляет инте­ реса для компактного пространства Е, ибо Е гэ А; но в случае локально компактного и не компактного пространства Е множе­ ство А отлично от Е и существует такое открытое множество

Ос £ , что Ö отлично от Е, компактно и А с: О.

2)Как и в любом отделимом пространстве, два непересекающихся компактных подмножества А и В локально компактного пространства Е могут быть отделены непересекающимися откры­ тыми множествами. Но если при этом Е не компактно, то сов­ падения между компактными и замкнутыми множествами уже не существует. Поэтому теорема 2 предыдущего параграфа остается справедливой и встает вопрос о том, справедлива ли теорема 2' (совпадающая с теоремой 2 для случая компакт­

ного пространства), или, иными словами, является ли локально компактное пространство нормальным. Можно показать, что это так.

Однако для доказательства теоремы Урысона достаточно тео­ ремы 2 из § 2 и теоремы 2 этого пункта.

3. Свойство Бэра локально компактного пространства. На- *помним, что множество А называется плотным, или всюду плот­ ным в Е, если Л = Е, т. е. любая точка х <= Е является точкой прикосновения множества А, или, еще, всякое множество X е е & (х ) содержит точку из А. Но всюду плотное множество мо­ жет не иметь внутренних точек (так, множество Q рациональных чисел плотно в R, но не имеет ни одной внутренней точки).

Напротив, если мы будем рассматривать множество А, замы­ кание которого не имеет ни одной внутренней точки, то мы при­ дем к понятию множества, которое не является всюду плотным и которое не содержит внутренних точек.

Таким образом, мы подошли к рассмотрению замкнутых мно­ жеств без внутренних точек (ибо если Л не имеет внутренних точек, то А не имеет их тем более). Такое замкнутое множество,

ства, внешность которых является всюду плотной; такие множе­ ства называются нигде не плотными.