Файл: Заманский, М. Введение в современную алгебру и анализ.pdf

не компактное пространство.

Действительно, каждая точка т е / ? содержится в некотором интервале [х — а, х + а], который компактен. Значит, R локально компактно. А так как последовательность целых чисел п не имеет точки прикосновения, то R не компактно.

2. Грани подмножеств из R. К R можно применить определе­ ния и свойства, относящиеся к упорядоченным группам и груп­ пам Рисса (гл. II).

Пусть А — подмножество из R. Напомним, что мажоранта множества А есть любое число а, удовлетворяющее условию х ^ а при любом х е А; если А имеет мажоранту, то оно назы­ вается мажорированным множеством; множество, одновременно мажорированное и минорированное, называется ограниченным; верхней гранью мажорированного множества называется наи­ меньшая мажоранта множества А (если она существует).

ветственно нижнюю) грань.

В самом деле, пусть множество А а R мажорировано числом Ь. Если А имеет верхнюю грань, то она не превосходит Ь. С дру­ гой стороны, пусть а —точка из А; если А имеет верхнюю грань, то она больше или равна а. Следовательно, верхняя грань, если она существует, принадлежит интервалу [а, Ь], который ком­ пактен.

Таким образом, для определения верхней грани достаточно показать, что мажоранты множества А, которые принадлежат

является точкой прикосновения всех Ах, то х0 принадлежит пере­ сечению интервалов [х, Ь]. Стало быть, точка х0 есть мажоранта множества А.

Если бы существовала мажоранта х'0 множества А, меньшая, чем х0, то открытый интервал с левым концом х'а, содержащий Хо, не содержал бы х' и не содержал бы ни одной точки из Л, а зна­

чит, Хо не была бы точкой прикосновения фильтра, образован­ ного множествами Ах. (Напомним, что если х0 —точка прикосно-

вения фильтра, то это означает, что любое открытое множество базы, содержащее х0, пересекает любой элемент фильтра.)

П р а к т и ч е с к о е з а м е ч а н и е . Характеристическим свой­ ством верхней грани Хо множества А является следующее свой­

Заметим, что если х0 — верхняя грань множества Л, то х0, будучи точкой прикосновения любого Ах, т. е. замкнутого мно­ жества точек из Л, является точкой прикосновения множества Л, и следовательно, если рассмотреть все точки прикосновения мно­

Обратно, допустим, что условие выполняется. Подмножество I может быть ни мажорированным, ни минорированным; мажо­ рированным и не минорированным; минорированным и не мажо­ рированным; ограниченным. Если, например, I ни мажориро­

Практическое замечание). Но поскольку / не минорировано, то

Точно так же рассуждаем в остальных двух возможных случаях.

210 ГЛ. VI. ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫЕ ЧИСЛА

Следствие I и свойства компактов приводят нас к следую­ щему предложению, которое встретится нам в более общем слу­

ложению), что для того чтобы А и В имели общую точку, необ­

есть нижняя грань. А так как А компактно, то существует под­

чтобы оно было интервалом.

Допустим, что Л связно и не сводится к точке. И пусть а е Л , b е Л. Согласно теореме 2 для доказательства того, что Л — ин­ тервал, достаточно доказать, что если а < х < Ь, то х е Л. Но если бы точка х не принадлежала Л, оно содержалось бы в объ­

b е Л имеем [а, Ь] а А. Пусть а — точка из Л; Л является объеди­ нением интервалов [а, х] и [х, а], когда х пробегает Л. Все эти интервалы имеют а общей точкой, и значит, их пересечение не­ пусто. Если мы докажем, что всякий интервал \а, Ь] связен, то Л будет объединением связных множеств с непустым пересечением, ИЗначит, будет связным (гл. V, раздел 3, § 4).

Допустим теперь, что [а, b] не связно. Тогда [а, Ь] есть объ­ единение двух непересекающихся замкнутых множеств F и F'. В силу предыдущего предложения (п. 2)

вести последовательное деление [а,Ь] пополам). По крайней мере одна пара (ah, afe+1) из этих точек такова, что а& принад­ лежит одному замкнутому множеству, а ük+i—другому; но это приводит к противоречию, ибо аи+ 1 — аи ^ 6/2, тогда как для лю­ бых x ^ F , y ^ .F ' имеем lx — yj ^ б. Тем самым теорема дока­ зана.

4. Определение компактности при помощи последователь­ ностей.

Те о р е ма . Для того, чтобы подмножество А из R было ком­ пактно, необходимо и достаточно, чтобы всякая последователь­ ность со значениями в А содержала последовательность, сходя­ щуюся к точке из А.

Пусть А — компактное подмножество из R. Известно, что если (хп) — последовательность точек из А, то из нее можно выделить подпоследовательность, сходящуюся к точке х е Л. Будем дока­ зывать обратное утверждение от противного.

Сначала выделим очевидный случай, когда А имеет конечное число точек. С другой стороны* если из любой последователь­ ности (хп) попарно различных элементов можно выбрать сходя­ щуюся последовательность, то это означает, что множество (хп) имеет точку накопления. Таким образом, осталось доказать, что если А есть такое подмножество из R, что любая бесконечная последовательность различных элементов из А имеет точку на­ копления, принадлежащую А, то любое покрытие множества А открытыми множествами (или открытыми множествами базы) содержит покрытие, состоящее из конечного числа этих откры­ тых множеств.

Но R имеет счетную базу; пусть (О,) — счетное семейство открытых множеств базы, покрывающих А, и пусть

U °п,

£=і

предположим, что, каково бы ни было п, множества 0'п не по­ крывают А. Обозначим через Х\ точку из А, не принадлежащую 0{ — 0\. Так как Лс : уО/ , то хх принадлежит некоторому от­ крытому множеству семейства (О/'), скажем, 0'Пг Пусть теперь не принадлежит 0'Пі; имеем х2 Ф_Х\. Продолжая этот процесс,