Файл: Заманский, М. Введение в современную алгебру и анализ.pdf

построим последовательность (Xh), все элементы которой по­ парно различны и которая, по предположению, имеет точку на­ копления Хо е Л . А поскольку А покрыто множествами (О;), то х0 принадлежит некоторому 0'Пр. Но 0'Пр открыто, содержит

точку накопления х0, а значит, содержит бесконечно много точек последовательности (хи), что невозможно, так как по построе­ нию этой последовательности 0'п содержит лишь точки, для ко­

дает: всякое бесконечное ограниченное множество Acz R имеет точку накопления, которая может и не принадлежать А. Но если А ограничено, то оно содержится в компактном интервале, а значит, и его замыкание А, которое замкнуто, поэтому Д ком­ пактно, и применима теорема Больцано — Вейерштрасса.

2)Предыдущая теорема принадлежит к тем, которые оправ­ дывают использование на числовой прямой последовательностей, т. е. конкретных фильтров вместо общего понятия фильтра. То же самое будет иметь место для метрических пространств.

3)Часто бывает удобным использование теоремы о монотон­ ных последовательностях-, для того чтобы возрастающая (убы­ вающая) последовательность была сходящейся, необходимо и достаточно, чтобы она была мажорированной (минорированной).

В самом деле, необходимость очевидна. Обратно, если хп возрастает и мажорирована, то обозначим через а мажоранту

так как в противном случае нашлось бы по крайней мере одно такое целое q > р, что

X, < xq < х0 — е < хр< х0,

что влечет xq < хр для q > р; но это противоречит условию о том, что (хп) возрастает.

§ 3. Свойства непрерывной числовой функции. Гомеоморфизм на R. Расширенная прямая R

В этом параграфе мы приведем свойства непрерывной функ­ ции на компактном или связном пространстве, когда функция принимает срои значения в R. Поскольку топология прямой R теперь хорошо известна, общие теоремы будут иметь более точ­ ные формулировки.

После этого можно будет рассмотреть более конкретно число­ вые функции переменного из R и определить затем гомеомор­ физмы, что приведет нас к введению элементов —оо, + оо, до­ бавление которых к прямой R превращает ее в расширенную прямую, которая компактна.

1. Свойства непрерывной числовой функции. Теоремы 1 и 2 (гл. V, раздел 5, § 3) могут быть сформулированы следующим образом: пусть / — непрерывная числовая функция на простран­ стве Е; если Е компактно, то f(E) тоже компактно; если Е связ­ но, то f(E) связно.

Но (§ 2) единственными компактными подмножествами в R являются замкнутые ограниченные множества, которые, в част­ ности, содержат свои верхние и нижние грани; единственными связными подмножествами в R являются интервалы, а един­ ственными компактными связными подмножествами являются ограниченные замкнутые интервалы. Итак, мы можем сформули­ ровать теорему.

Т е о р е м а 1. Пусть f — непрерывная числовая функция на компактном пространстве Е; множество значений [(E) ком­ пактно в R (замкнуто и ограничено)-, f ограничена на Е, имеет максимум и минимум, и в Е существуют по крайней мере одна точка а и одна точка Ь, для которых

f (а) = sup f {х) = sup f (Е), f (b) = inf f (x) = inf f (E).

связном пространстве Е; множество значений f(E) есть интер­ вал из R; в частности, если а и ß — два значения функции f, то любое число, заключенное между а и ß, является значением функции /.

В частном случае, когда Е есть подмножество из R (рассма­ триваемое как подпространство), получаются хорошо известные элементарные теоремы: если f — непрерывная действительная функция действительного переменного на ограниченном интер­ вале I, то f(I) есть интервал (это свойство часто доказывают, показав вначале, что если для а е /, Ь е / имеет место f(a)f(b)<; < 0, то между а и b найдется такое с, что f (с) = 0); если / замк­ нут, то /(/) тоже замкнут.

Теоремы 1 и 2 применимы, в частности, к случаю, когда рас­ сматривается непрерывная числовая функция на компактном или связном подмножестве из R2 (пример: абсолютное значение не­ прерывной функции от (I, t\ ) ^ R 2, абсолютное значение функции комплексного переменного с комплексными значениями).

З а м е ч а н и я . 1) Если f — непрерывная функция на тополо­ гическом пространстве Е, то прообраз любого открытого множе­ ства (пространства значений) есть открытое множество в Е.

Но в силу непрерывности / между с и b найдется такое а', что

мым условием является условие строгой монотонности f на /. Обратно, если / непрерывна на / и строго монотонна, то она является взаимно однозначным отображением интервала I на

принадлежат интервалу f(]a,b[). Отсюда получаем теорему.

Те о р е ма . Всякий гомеоморфизм между двумя интервалами из R определяется при помощи непрерывной строго монотонной функции.

В частности, нетрудно убедиться в том, что функция

определенная на ]а, Ь[, осуществляет гомеоморфизм между ]а, Ь[ и R. В силу транзитивности гомеоморфизмов получаем следую­ щий результат: любые два открытых интервала из R гомеоморфны между собой и гомеоморфны R.

Итак, более конкретное исследование гомеоморфизмов по­ казывает, что не только открытые множества преобразуются в открытые, но и порядок на R либо сохраняется, либо меняется на противоположный.