Файл: Заманский, М. Введение в современную алгебру и анализ.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 15.10.2024
Просмотров: 219
Скачиваний: 0
I. МЕТРИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА |
259 |
В самом деле, пусть |
31— отношение |
х ~ |
x' ФФ d (х, x') = |
0. |
||||||
Имеем |
|
|
X ~ |
X, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
х ~ х '= ^ х '~ х |
(в силу |
d(x, |
y) — d{y, х)), |
|
|||||
так как |
|
х ~ x' и x’ ~ х" =ф X ~ х", |
|
|
||||||
d (х, х") ^ |
d (х, x') -f- d (x', х") — 0. |
|
|
|||||||
|
|
|
||||||||
Пусть Е = &131. Элемент | <= Е есть |
множество |
тех х 'е< ?\ |
||||||||
которые связаны с некоторым х е |
8 |
отношением |
d (x ,x ')~ |
0. |
||||||
Если для I е Е, |
г\<=Е |
положить |
d(£, ri) = |
d(x, у), где |
|
|||||
у €2 г], то ясно, что при x' |
~ X и у' ~ у имеем |
|
|
|
||||||
в самом |
деле, |
d{x, y) = |
d(x', |
у '); |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
0 < d (х, г /)< d (х, x') + d{x', y) — d{x', у); |
|
||||||||
значит, |
имеем |
также |
d{x', у) |
d{x, у), |
а следовательно, |
|||||
d{x,y) = |
d{x', у). |
|
|
|
лишь от |
классов £, т. е. |
от |
|||
Таким |
образом, с?(£, ц) зависит |
|||||||||
элементов из Е. Теперь без труда устанавливаем, что d есть расстояние на Е. Метрическое пространство {Е, d) называется
пространством, ассоциированным с полуметрическим простран ством <3.
Практически же ассоциированное метрическое пространство определяется соглашением рассматривать как тождественные
элементы х, x' из Е, для которых d{x, х') = 0. |
расстоя |
|||
З а м е ч а н и е . Пусть |
на |
множестве |
Е определены |
|
ние d\ и полурасстояние |
d2- |
Тогда d = |
d\ -f d2 будет |
расстоя |
нием на Е\ все свойства расстояния выполняются, и в частно
сти, если |
d{x,y) — 0, то dj {х, у) -f- d2{x, у) — 0, а значит, |
di{x,y) = |
Q, и X = у. |
§ 7. Отображения метрического пространства в метрическое пространство. Непрерывность, равномерная
непрерывность, продолжение по непрерывности
1. Равномерная непрерывность. Определением непрерывно сти отображения f метрического пространства (£, d) в метри ческое пространство {F, б) может служить определение, данное для случая двух произвольных топологических пространств; здесь оно может быть заменено определением при помощи по следовательностей (§ 2, п. 7).
Новым же является то, что в метрических пространствах появляется возможность ввести понятие равномерной непрерыв ности.
9'
260 |
ГЛ. VII. МЕТРИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА |
|||
Определение. Пусть f —отображение метрического простран |
||||
ства (E ,d) |
в метрическое пространство |
(F, б). Говорят, что / |
||
равномерно |
непрерывно, |
если любому е > 0 |
можно поставить |
|
в соответствие такое |
а ( е )> 0 , что |
если |
d(x,x')< . а, то |
|
6 (f(x ),f(x '))< e . |
|
|
|
|
Если отображение / равномерно непрерывно, то оно непре рывно; однако обратное неверно (возьмем, например, непре
рывное отображение R+ в R+, определенное как |
х —►1/д:). |
|||
Имеются случаи, когда непрерывность влечет равномерную |
||||
непрерывность. |
При этом |
существенно, |
каково |
пространство |
(E ,d ). Докажем, например, |
такой результат. |
|
||
Те о р е ма . |
Пусть f — отображение |
компактного метриче |
||
ского пространства (Е, d) в метрическое пространство (Г, б). Если f непрерывно, то оно равномерно непрерывно.
Пусть е > |
0. |
Каждому х е Е поставим в соответствие такой |
открытый шар |
В(х, рж) с центром х и радиусом рж, что если |
|
х '^ В ( х ,р х), |
то |
6(f(x'),f(x))< is/2', это возможно, поскольку / |
непрерывно. |
|
открытые шары В(х, рх/2). Они покрывают Е, |
Рассмотрим |
||
и в силу компактности Е конечное число этих шаров снова покрывает Е\ пусть это будут B(xh р^/2).
Пусть
m — inf (pXi /2 ); |
|
|
возьмем такие две точки х, х' |
из Е, что |
d(x,x')< .m . Точка х |
содержится в некотором шаре B(xh рх/ /2), и значит, |
||
d (x', Xi) < d (x ', x) + d |
{x, X i)< m |
+ px./2 < pX(. |
Следовательно, х' ^ В ( хі, p*.). |
Тогда |
|
б (f (x'), f (*)) < 6 (/ (x'), f (Xi)) + 6 (/ (лг), f (xt)) < e,
поскольку x' и X принадлежат B(xit p*.).
Пр и м е р ы : |
н е п р е р ы в н ы е ф у н к ц и и , |
о п р е д е л е н |
||
ные при п о м о щи |
р а с с т о я н и я . |
1) Если |
(Е, d)— метри |
|
ческое пространство, |
то (х, у )—*d(x, у) |
есть отображение EXE |
||
в R. На Е X Е рассматривается, в соответствии с соглашениями, |
||||
топология — произведение. В § 1, п. 2 |
было получено неравен |
|||
ство |
у) — d(x', г /'Ж d (х, |
x') + d (у, |
y'), |
|
I d (х, |
||||
показывающее, |
что d — равномерно непрерывная функция на |
|||
E X E . |
5 было определено расстояние точки х до мно |
|||
2) В § 2, п. |
||||
жества А метрического пространства Е: |
|
|||
d(x, А) — in f d(x, у). 1/еЛ
|
1. МЕТРИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА |
|
261 |
|||
Функция x -* d (x,A ) |
равномерно непрерывна |
на Е |
для лю |
|||
бого подмножества А. |
как |
d(x, А) |
есть нижняя |
грань |
расстоя |
|
В самом деле, так |
||||||
ний d(x,u) |
для (і ё /4, |
то, |
каково |
бы ни было е > О, |
найдется |
|
такое и0е |
А, что |
|
|
|
|
|
d(x, A ) ^ d ( x , u0)< d (x , А) + е.
Пусть у — другая точка из Е\ имеем
d (у, иа) < d {у, x) + d (х, «о) < d (y, х) + d (х, А) + е,
а так как
d(y, А )= inf d(y, u ) ^ d { y , и0), us Л
ТО
d(y, A ) ^ d ( y , x) + d(x, A) + e.
В силу того, что е произвольно, получаем
d(y, A)<id(x, y) + d{x, А),
и, меняя местами х и у, получаем
d(x, A )^ d { x , y) + d{y, А).
Таким образом, для любого подмножества А и произволь ных двух точек X , у из Е имеем
I d(x, A) — d(y, А) I < d (x, у),
чем доказана равномерная непрерывность функции х d(x, А ).
2. Продолжение по непрерывности. Этот вопрос ставится следующим образом. Пусть Е и F — два пространства, А — под пространство, плотное в Е, и ф — отображение А в /'/непрерыв ное в А. Существует ли отображение f пространства Е в про странство F, непрерывное на Е и такое, что его сужение на А совпадает с ф?
Можно более образно поставить вопрос следующим образом: пусть f — непрерывное отображение Е в F и А плотно в Е\ можно ли восстановить f по его сужёнию ф на Л?
Решение этой задачи состоит в продолжении ф по непрерыв ности с А на Е.
Утвердительный ответ на этот вопрос составляют достаточно общие условия, которым удовлетворяют метрические простран ства (которые отделимы и нормальны).
Прежде всего заметим, что если f и g — два непрерывных отображения пространства Е в отделимое пространство F и если они равны в каждой точке некоторого подмножества А, плот ного в Е, то они равны в каждой точке из Е.
Действительно, каждая точка х е Е является точкой прико сновения множества А, и значит, f(x) есть предел значений
262 ГЛ. VII. МЕТРИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА
/(g), когда g стремится к х, и в частности, будет пределом зна
чений /(g), |
когда g e А стремится к х. Так как для g e |
Л имеем |
||
f(l) = g(l), |
то пределы равны, а |
единственность имеет |
место |
|
в силу отделимости F. |
плотного в Е подмножества |
|||
Пусть теперь <р — отображение |
||||
Л в отделимое пространство F. Для того чтобы можно было |
||||
продолжить ф на Е, необходимо предположить, что ф(£) |
имеет |
|||
предел, когда g e Л стремится к |
л е £ ; обозначим |
его |
через |
|
f(x). (В случае метрического пространства Е можно |
предполо |
|||
жить, что для любой последовательности (g„) элементов из Л, сходящейся к л е £ , последовательность ф^„) должна иметь предел, не зависящий от выбора последовательности (gn).) До кажем следующую теорему.
Те о р е ма . Пусть А — плотное подпространство в простран стве Е, F — нормальное пространство и ф— такое отображение
А в F, что для любого х; е £ |
значения ф ^) имеют в F предел |
|||||
f(x), когда g е Л |
стремится к х. |
Функция / непрерывна в Е. |
||||
Обозначим через X, X', ... открытые множества базы про |
||||||
странства Е, а через У, |
Y', ... — базы пространства F. По усло |
|||||
вию для любого |
У <= $ f([(x)) существует такое X |
e ^ s (x), что |
||||
Ф(XOA)czY. Но если |
х' — произвольная точка из |
X, |
то f(x') |
|||
будет пределом значений ф ^), когда g стремится к х' |
на X П Л; |
|||||
следовательно, |
f(x') |
есть |
точка прикосновения |
множества |
||
ф(ЙГ П Л), и мы можем записать |
л ' е і =#/(*') е ф ( І П Л ) с У ; |
|||||
стало быть, f ( X ) d У. |
|
|
|
У точки f(x) |
||
Таким образом, каждой замкнутой окрестности |
||||||
можно поставить в соответствие такую открытую окрестность базы X точки X, что f(X)cz У.
Но F, по предположению, нормально, т. е. два непересекающихся замкнутых множества могут быть отделены двумя непересекающимися открытыми множествами. Отсюда следует, что
любая открытая окрестность У' точки у е |
F содержит замкну |
|||
тую окрестность точки у, т. е. в Y' найдется такое содержащее у |
||||
открытое множество О, что у е |
О а Ö cz Y' |
(см. п. 2 § 1 гл. III). |
||
Наконец, если О — открытое множество, |
содержащее у, то О |
|||
содержит некоторое |
Y е |
3§F{y), содержащее у, и |
||
Ус: О, |
Усе б, |
г/ еУ с У с е б е : У'. |
||
Итак, для любого |
Y '<= <%F(f(x)) найдется такое У е |
|||
е $ F(f(x)), что /(х) е |
У се У сг У"; а так как множеству У мож |
|||
но отнести такое X ^ |
$ |
Е(х), что f(X)cz У, |
то отсюда получаем, |
|
что каждому Y' можно отнести такое X, что f(X)czY', чем и доказана непрерывность /.
Замечание, сделанное вначале, в соединении с этой теоре мой приводит к следствию.