Файл: Заманский, М. Введение в современную алгебру и анализ.pdf

в F, когда g е А стремится к х, то существует единственное

для а > 0, рассматриваемой как продолжение функции, опре­ деленной только для рациональных х.

Р А З Д Е Л 2 МЕТРИЧЕСКИЕ ГРУППЫ, МЕТРИЧЕСКИЕ ВЕКТОРНЫЕ

ПРОСТРАНСТВА, БАНАХОВЫ ПРОСТРАНСТВА, ГИЛЬБЕРТОВЫ ПРОСТРАНСТВА

Если множество наделено двумя структурами и если эти структуры должны рассматриваться одновременно обе, то прак­ тически необходимо, чтобы они были связаны друг с другом. Мы уже сталкивались с этим в оговорках о том, что структуры согласованы. Если, например, рассматриваются закон сложе­ ния и закон умножения, то второй предполагается дистрибутив­ ным относительно первого; если рассматриваются сложение и порядок, то предполагается, что x ^ y = ^ > x - \- z ^ y - { - z , каково бы ни было г; если рассматриваются порядок и топология, то предполагается, что множество положительных элементов зам­ кнуто, или что если последовательность, составленная из поло­ жительных элементов, сходится, то ее предел положителен.

Когда на множестве Е рассматриваются одновременно структура группы (записываемая, скажем, аддитивно) и тополо­ гия, то предполагается, что топология такова, что функции (х, у)—*х + у и X—*—X непрерывны, что в более привычной тер­ минологии формулируется как утверждение, что если последо­ вательность (хп) сходится к X, а последовательность (уп) схо­

действительных чисел или полем С комплексных чисел), на­

на К X Е. Разумеется, топология на К связана, как и ранее, со структурой абелевой группы поля К и кроме того, связана со структурой поля К условием, что функция (а, ß)—»aß непре­

Рассмотрим теперь группу Q с аддитивной записью, наде­ ленную топологией, относительно которой функции (х, у) —*х-\-у

иX —* — X непрерывны; тогда G называется топологической

группой.

Зафиксируем некоторый элемент а группы G и рассмотрим отображение х —>х-\-а группы G в группу G; оно называется переносом. Легко видеть, что оно взаимно однозначно и взаим­ но непрерывно, т. е. является гомеоморфизмом. Итак, переносы суть гомеоморфизмы. То же самое справедливо для симметрии

X —*■ — X относительно элемента 0. Из этих свойств вытекает, что если известна некоторая база открытых окрестностей точки 0, то перенос позволяет получить базу открытых окрестностей в любой точке. Но в том случае, когда топология определяется при помощи расстояния, встает вопрос о том, будет ли это расстояние инвариантно относительно переноса, т. е. будет ли при любых X , у , z выполняться равенство

d{x-\-z, y + z) = d{x, у).

Ответ отрицателен, как показывает простой пример (на адди­ тивной группе R рассматривается расстояние, определенное для двух точек X , у как d(x,y) = \x3— уъ|). Однако имеет место замечательный факт — всегда можно найти эквивалентное рас­ стояние, т. е. определяющее ту же топологию, которое будет ин­ вариантно относительно переноса. Именно в силу этого резуль­ тата (не доказываемого здесь) мы и принимаем в качестве определения метрической группы определение группы, наделен­ ной расстоянием, инвариантным относительно переноса. Мы бу­ дем предполагать, что группы коммутативны, ибо нами будет изучаться случай векторных пространств.

§1. Метрические группы. Нормированные группы Рисса

1.Определение. Метрической группой называется множество G, наделенное законом (абелевой) группы и расстоянием, ин­ вариантным относительно структуры группы.

Если взять г — —у, то d(x,y) — d(0,x —у). Теперь обозначим через \\х\\ расстояние от 0 до х:

1)||л:||==0#фх = 0,

2)\\х + J/IKIUII + ІЫІ,

3)|| - * || = ||*||.

Первое свойство очевидно. Что касается третьего, то в силу инвариантности относительно переноса имеем

Обратно, если на G определено отображение х —*■||х|| группы G в R+, удовлетворяющее трем указанным условиям, то, как легко видеть, d(x, у) = ||х — у\\ определяет на G расстояние, инвариантное относительно переноса.

Итак, можно, образно выражаясь, сказать, что для того чтобы знать расстояние между двумя точками, достаточно за­

—\\у\\\< \\х — у\\.

2.Пополнение метрической группы. Теорема о пополнении

метрического пространства практически применима и к группе. Однако встает вопрос о том, может ли пополнение метрической группы рассматриваться как метрическая группа.

подгруппа G плотна в G, G полна. Кроме того (ср. раздел 1, §5, п. 3))

6(Х, Y) = \\md{xn, уп) — lim d (хп— уп, 0) — b(X — Y, О);

значит, б инвариантно относительно закона группы G.

=sup (а, —х).

Пусть на G задана норма; в этом параграфе мы для удоб­

ства записи будем обозначать ее через ср. Таким образом, эта норма есть отображение группы G в R+, обладающее следую­ щими свойствами:

(Для большей простоты мы предполагаем, что ф есть норма, но можно было бы рассматривать ее как полунорму, т. е. пред­ полагать только, что ф ( 0 =) 0 без обязательного условия ф ( а ) =

=0 а = 0.)

Кроме того, мы предполагаем, что ф ( \х \) = ф ( а ) , что ка­ ково бы ни было целое п, у (пх) — пц> (х), и что для определен­ ной таким образом топологии множество положительных эле­ ментов из G замкнуто, или, иными словами, если последова­

пространство, и значит, отделимое, то имеет место единствен­ ность предела, а следовательно, х = \ х \ ^ 0 . Итак, если норма возрастает на множестве положительных элементов из G, то предел последовательности положительных элементов есть по­

ким образом, ф возрастает на множестве положительных эле­ ментов.

4 . П о л н а я н о р м и р о в а н н а я и л и п о л у н о р м и р о в а н н а я г р у п п а

Рисса. Утверждение, которое мы только что доказали, представ­ ляет особый интерес для теории интегрирования, которая бу­ дет излагаться позже. Но оно показывает также, что нормиро­ ванная группа Рисса обладает одним из свойств действитель­ ных чисел. В частности, если норма определена посредством по­ ложительной линейной формы, то, как мы покажем, для того чтобы эта группа была полной, необходимо и достаточно, чтобы любая монотонная ограниченная (по норме) последовательность была сходящейся.

Т е о р е м а 1. Пусть G — полунормированная группа Рисса, положительные элементы которой образуют замкнутое множе­ ство. Для того чтобы G была полной, достаточно, чтобы всякая монотонная ограниченная последовательность сходилась.