Файл: Заманский, М. Введение в современную алгебру и анализ.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 15.10.2024

Просмотров: 216

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

268 ГЛ. VII. МЕТРИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА

и то же самое неравенство будет выполняться, если рассмат­ ривать inf вместо sup, т. e., вообще, если на этом месте будет стоять общий символ is операции взятия inf или sup, несуще­

ственно (ср. гл. II, раздел 2, § 6).

 

 

 

(1)

остается справедли­

 

 

2)

Мы

покажем,

что

неравенство

вым, если абсолютные значения заменяются полунормами.

 

 

 

В самом деле, так как

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2 (sup (х„

х2) — хх) = х2 — X, +

1х2 — X, I,

 

 

 

то в силу неравенства треугольника имеем

 

 

 

 

 

 

 

 

ср(2(sup(хи х2) —

X,)) =

2ф(sup(х1; х2) — X,) =

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=

ф ( х 2 —

X,

+ |

Х2 — X, | ) < ф ( х 2 —

Xj) +

ф ( | Х2

 

Х\ I),

а

 

поскольку

ф(х) = ф(| х|),

то

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ф (SUp (Xj,

Х2) — X t) ^ ф (Х2 — X)).

 

 

 

 

 

 

 

Если предположить свойство верным для

р — 1

элементов,

то получим

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

sup(x,, Х2, . . . , Хр) — X, = su p (x 1;

sup(x2, . ...

Хр)) — Xj,

ф (SUp (х,,

Х2, ... ,

Хр) — Х[)<

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

<

 

ф(sup (х2, . . . ,

Хр) — X,) «= ф(sup (х2,

.. •,

 

Хр) — х2 +

х2— х , Х

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

р - 1

 

 

 

 

 

 

< ф ( з и р ( х 2, . . ., Хр) — Х2) + ф(х2 — Хі) = 2

ф(*й+1 — Xk).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

k--1

 

 

 

 

 

3 )

Пусть

(xn)— последовательность Коши

из

G,

т. е. такая,

что

 

 

 

 

lim

 

ф(хр — Хр) = 0.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

р-> оо, q-> ob

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Для любого

е >

О найдется такое

Р(г),

 

что

если

р ^ Р ( г ) ,

q ^ P ( z ) ,

то

ф ( х р —Хр) << е. Возьмем

последовательность

(е„)

убывающих положительных чисел, стремящихся

к нулю.

Числу

еі

соответствует

такое

целое

П\,

что

если

р,

q ^

П\, то

ф ( х р — х 9) < С е ь

в частности, если

р ^ пи

то

ф ( х р — х„,)

< е,.

Пусть

«' — такое

целое

число,

что

 

если

 

р, q ^ n 2,

то

ф ( х р —Хр) <

е2; выбирая п2 > m a x ^ ,

«2),

получаем, для р ^ п 2,

Ф

(хр — xnJ

< е2.

Так

постепенно

строится

такая

последователь­

ность

(пк) строго возрастающих целых чисел,

что

 

 

 

 

 

 

 

 

ф ( . Xnk’ —

Хпк) <

ч

для

любого

k ' ^ - k .

 

 

 

Подпоследовательность (x„fc) последовательности (х„) есть последовательность Коши, эквивалентная последовательности

U J.

2. МЕТРИЧЕСКИЕ ГРУППЫ

269

Для упрощения обозначений подпоследовательность (хпft) будет обозначаться (xh). Тогда утверждение может быть сфор­ мулировано следующим образом: для любой последовательно­ сти Коши и любой последовательности положительных чисел eh

с условием lim е&= 0 существует такая подпоследовательность

оо

заданной последовательности, что ф (% — **) < 8fc Для любого k ' ^ k .

В частности, можно взять еь = 1/2Й+1 или e/2ft+1 (е >■ 0) так, чтобы

00

1

е

V !

к

= —

или — ,

 

 

т. е.

00

2 Ч = 2ч-

к

4)Пусть теперь имеется последовательность Коши, из кото­

рой выбирается такая подпоследовательность {хк), что

< ' — хк) < l/2ft+1 для k' > k, и пусть

 

Ут,п = sup (л:т , *т+1,

. .. ,

*„),

где

т < п .

 

Согласно 2) имеем

 

 

 

 

 

 

 

л-1

 

 

 

 

 

Ф (Ут,п хт) ^

^

ф {хк+\

хк) ^

ТрГ•

 

 

т

 

 

 

 

Но

для последовательности

Коши

неравенство | ||л:|| — ||г/|| | ^

^

И*— у II влечет, что ф(хр)

есть последовательность Коши дей­

ствительных чисел, значит, сходится, и стало быть, ограничена. Следовательно,

I Ф (Ут,п) ф(хт) I ф (Ут,п хт) ^ 2т ’

чем показано, что последовательность ф (г/т,«Х ф (*т) +-7УП

ограничена. Последовательность (ут,п)п возрастает.

Если предположить, что любая монотонная ограниченная последовательность сходится, то в этом случае должен суще­ ствовать элемент ут^ G, к которому сходится ут , „ при п-+ оо. Тогда

ф(Ут Хт ) "^яГ •

270 ГЛ. VII. МЕТРИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА

Но

Slip (Хм, Xrn+1> • • • > SUp (Хт+и • • • у %n)f

Следовательно, если предположить множество положительных элементов замкнутым, то ут ^ ут+1- Стало быть, последова­ тельность (у-m) убывает. А так как она эквивалентна после­ довательности Коши (хт ), то она ограничена (по норме ср), и значит, сходится. Тогда (хт ) будет последовательностью Коши, эквивалентной некоторой сходящейся последовательности, и по­ этому сама сходится. Наконец, последовательность (хт ) яв­ ляется подпоследовательностью последовательности КоШи, и поэтому ее сходимость влечет сходимость рассматриваемой пер­ воначально последовательности Коши. Тем самым доказано, что любая последовательность Коши в G сходится, иначе го­ воря, G полно.

Т е о р е м а V. Пусть G — группа Рисса, / — положительная линейная форма на G и пусть ф(х) = / ( | *| ) есть полунорма, определенная посредством f. Для того чтобы G была полной, не­ обходимо и достаточно, чтобы всякая монотонная ограниченная последовательность была сходящейся.

Действительно, пусть вначале имеется последовательность (хп) положительных элементов, сходящаяся к элементу х. Утверждается, что х положительно. В самом деле,

| x | = s u p ( x , — х); значит, х < і|х |;

— I X I = — sup (х, — х ) ~ inf (— X, х) ^ х;

значит, —| х | < х < | х|.

Следовательно,

 

— I Хп — X К Хп — X< I Хп — X |.

 

А так как f — положительная линейная

форма, то

 

 

I f (хп— х) К f (I хп — X I) = ф(хп — х).

 

Стало быть, f{xn) сходится к /(х).

Но ф(х„) =

/(|х „ |) схо­

дится к

Ф (х ) — f ( I X I).

 

 

 

 

 

Поскольку

хп ^ 0 , то f(\xn\) = f(xn),

и значит,

f ( x ) ~ f ( \ x \ ) ,

откуда X =

|х| ^ 0.

 

 

Теорема

1 доказывает, что достаточное условие теоремы 1'

выполнено. Докажем его необходимость.

Предположим, что G полно и покажем, что любая ограничен­ ная монотонная прследовательность сходится. В силу полноты G достаточно показать, что любая ограниченная монотонная по­ следовательность есть последовательность Коши.

2. МЕТРИЧЕСКИЕ ГРУППЫ

271

Итак, пусть (*„) — последовательность, которую мы предпо­ лагаем возрастающей и которую можем предположить состоя­ щей из элементов ^ 0, заменив в крайнем случае хр на х р —ул . Имеем

Ф {xp - x q) =

f{ \Хр Xq I) =

f ( ± ( Хр - xq)) =

± ( f ( Xp) ~f ( xq)).

Если (f(x„)

ограничена,

то это означает,

что f ( \ x n \) = f ( xn)

ограничена. Так как хп возрастает и f есть положительная ли­ нейная форма, то f{xn) есть возрастающая и ограниченная по­ следовательность действительных чисел, т. е. сходящаяся по­

следовательность.

Следовательно, f(xp) — f(xq)

стремится к

нулю, и то же самое имеет место для у ( хр — xq),

чем доказано,

что эта последовательность (хп), монотонная и

ограниченная,

есть последовательность Коши.

группа Рисса,

Т е о р е м а 2.

Пусть G — полунормированная

положительные элементы которой образуют замкнутое множе­ ство. Если G полно, то любой последовательности Коши (хп)

можно отнести две

последовательности (ут),

(у'т), эквивалент­

ные ей и такие,

что y'm^ x m^ y m,

причем

(ут' ) возрастает,

а (ут ) убывает,

и

такие, что для

любого m

элемент у\п яв­

ляется пределом некоторой убывающей последовательности Коши,

аут— пределом возрастающей последовательности Коши.

Действительно, пусть в обозначениях п. 4) доказательства

теоремы 1

y'm,n = M (Xm’ •••> ХпУ’

тогда

 

 

 

Но очевидно, что У'т,n^ x m^ .y m^п для любых т и п .

Если у'т

и ут являются

пределами при п->оо соответственно

последо­

вательностей (У'т,я)яеы и ( y m, n) a t s N >

то в силу замкнутости

множества положительных элементов

имеем

 

 

У'т<Хт<Упг’

 

 

ут есть предел

возрастающей последовательности

{ут,п)п^ ы

и само убывает; у'т есть предел убывающей последователь­ ности (у'т п) N>и само возрастает. Кроме того,

Смотрите также файлы