Файл: Заманский, М. Введение в современную алгебру и анализ.pdf

Рисса является пример пространства & интегрируемых число­ вых функций (см. главу, относящуюся к интегрированию).

вых функций на Л; это множество есть группа Рисса. Про­ странство &(A), наделенное нормой равномерной сходимости:

|] XII= sup I x(t) I,

t s A

будет полным. Но последовательность (хп) возрастающих ог­ раниченных функций, а значит, равномерно мажорированных на Л, может сходиться к разрывной функции, и стало быть, не сходится в %?(А).

§ 2. Метрические векторные пространства. Нормированные пространства. Банаховы пространства

Как мы уже объясняли в начале этого раздела, в общем случае на векторном пространстве Е над полем К рассматри­ вается такая топология, чтобы отображение (а, х) —*ах произ­ ведения К X Е в Е было непрерывно, и это условие прибав­ ляется к условиям, относящимся к структуре группы простран­ ства Е. Это служит основанием тому, что поле должно быть наделено надлежащей топологией.

Практически же мы рассматриваем только поле R действи­ тельных чисел или поле С комплексных чисел, которые наде­ лены абсолютным значением, чем мотивируется введение по­ нятия нормированного поля.

Для весьма важной категории топологических векторных пространств непрерывность отображения (а, х)—*ах выпол­ няется; речь идет о нормированных пространствах. Понятие метрического векторного пространства будет также предпола­

Поле, на котором определено абсолютное значение, назы­ вается HQpMupoeüHHbiM полем.

I a-1 — a0l I > e/l a01(| a0 [ — e).

Эти свойства резюмируются утверждением, что введение на каком-либо поле абсолютного значения превращает это поле

втопологическое поле.

За м е ч а н и е . Неизбежны некоторые нарушения в термино­ логии и в обозначениях. Мы уже называли абсолютным значе­ нием на группе Рисса элемент |л:| == sup (л:,—х), а на норми­

рованном поле мы также обозначаем его |jc|. Точно так же мы снова будем пользоваться термином «норма» в случае век­ торных пространств, тогда как мы назвали также нормой на метрической группе число Цл;[| = d(0, х) . Практически же не возникнет никаких трудностей, лишь только будут сформулиро­ ваны принимаемые свойства, среди которых будет фигуриро­ вать свойство 2) из приведенного выше определения.

2. Метрические векторные пространства. Метрическим век­ торным пространством называется векторное пространство Е над нормированным полем К, наделенное расстоянием d, инва­ риантным относительно закона аддитивной группы и таким, что отображение {а,х)-+ ах произведения К У Е в Е непрерывно.

стоянием, то непрерывность отображения ах может быть сфор­ мулирована при помощи условия:

lim аге = а и lim хп= х ф lim апхп — ах.

С другой стороны, неравенство

ах — а0х0 = {а — аэ)(х — х0) + аа {х — х0) + (а — а0) х0

дает

d {ах, а0*0) < d ((а — а0) {х — *0), 0) +

+d (а0 (х — х0), 0) + d ((а — а0) *0, 0),

иотсюда следует, что непрерывность отображения (а ,* )—* а* эквивалентна непрерывности одновременно отображения а -» аХо при а = 0 (для любого х0е Е), отображения х —►а0х при х = 0

странство.

Определение. Нормой на векторном пространстве Е над нор­ мированным полем К называется отображение пространства Е

Пространство Е, наделенное нормой, называется нормиро­ ванным векторным пространством, или нормированным про­

странством.

Если условия 2) и 3) выполняются, а вместо 1) имеем только ||0|| — 0, то ||*|| называется полунормой, а Е называется

полунормированным пространством.

Когда на одном и том же пространстве рассматривают не­

торое расстояние, и для этого расстояния Е является метриче­ ским векторным пространством в определенном выше смысле. Нормированное пространство всегда рассматривается как про­ странство, наделенное этим расстоянием.

тельно гомотетии с центром 0 и коэффициентом гомотетии а, ибо

d{ax, а#) = || ах — ау || = ||а(х — у) || = | а| || х — г/|| = | а \d(x, у).

Обратно, если d —расстояние, инвариантное относительно пе­ реноса и гомотетии с центром 0, то

d (ах, ау) — d (ад: — ау, 0) = | а | d (х, у) — ]a\d(x —у, 0),

иd(x, 0 ) = ||x|| есть норма на Е.

Внормированном пространстве всякий шар может быть по­

нормированным пространством. В первом разделе (§ 6) гово­ рилось, как можно связать метрическое пространство с полуметрическим. Этот результат может быть применен и к случаю полунормированных пространств, но только необходимо иссле­ довать, будет ли соответствующее ему метрическое простран­ ство нормированным. Мы будем рассматривать вопрос с са­ мого начала, предположив, что Е — векторное пространство над нормированным полем К, наделенное полунормой ѵ. Эта полу­ норма определяет на Е топологию, которая не будет отделимой, если V не будет нормой.

Рассмотрим факторпространство Е/Е0 — <§, или, иначе, про­ странство, элемент X которого является классом эквивалентно­ сти, определяемым через д: е £ при помощи отношения экви­ валентности:

х~д:'4фѵ (х — х') — 0.

тен 0, а стало быть, X = 0.

Таким образом, ||Х|| есть норма на <8.

Т е р м и н о л о г и я . Практически часто говорят, что X полу­ чено отождествлением элементов х, х' е Е, удовлетворяющих равенству ѵ(х —х') — 0, и продолжают даже писать х вме­

1)Если на компактном интервале [а,Ь] из R рассматри­

ь

J I x(t) |rf*X ß — а) |х(/0) 1(1/2),

откуда выводим, что

I" I X (t) I d t = 0 X = 0 ;

остальные свойства имеют очевидные доказательства.

с пространством Ф, получится, если рассматривать как тожде­ ственные две ступенчатые функции, значения которых отли­ чаются ,д,руг от друга лишь в конечном числе точек.