Файл: Заманский, М. Введение в современную алгебру и анализ.pdf

3) Точно так же, если & — множество ярусных функций (равномерные пределы ступенчатых функций), то

ъ

J \ x{t)\ dt

а

снова определяет полунорму, и ассоциированное пространство получится, если рассматривать как тождественные две ярусные функции, равные между собой всюду, кроме счетного множе­ ства точек.

З а м е ч а н и е . Если для г е £ , х 'е £ имеем ѵ{х —х') = 0,

имеют одну и ту же норму, что позволяет положить ||Д|| = ѵ(х) для Х — с\х. Однако обратное неверно; так, на [—1,+1] сту­

нормы ѵь Ѵ2 на одном и том же векторном пространстве Е над нормированным полем К определяли одну и ту же топологию, необходимо и достаточно, чтобы существовали такие два числа а > 0, b > 0, что при любом х ^ Е

avj {х) < ѵ2 (х) < Ьѵ{(х).

В этом случае говорят, что нормы ѵі и ѵг эквивалентны. Достаточность следует из п. 3, § 2 раздела 1.

Докажем необходимость. Предположим, что шар с центром О

6. Произведение конечного числа нормированных пространств.

Пусть Еі ( і = 1 , 2, ..., п) — конечное число нормированных пространств над одним и тем же нормированным полем К. Если обозначить через х, произвольный элемент из Еі, то не возник­ нет никакой путаницы, если обозначить норму в Еі через ||д:*|| (а не через lUilli или ѵ,(*,)). Пусть

£ = І І Er,

где Хі е Еі. Согласно общему определению, данному для метри­ ческих пространств (раздел 1, § 2), топология — произведение на Е будет определяться расстоянием

трех норм на Rn (п. 5), можно рассматривать эквивалентные нормы ( 2 II ЛП|р)1/2 или sup 1 ||.

пространство. При пополнении векторного пространства Е над нормированным полем К, наделенного некоторой нормой, встает вопрос о том, может ли пополнение É быть отождествлено с

будет определен внешний закон, который, в сочетании с адди­ тивным законом, превращает ё , как легко видеть, в векторное пространство над К.

Пусть (хп)— последовательность Коши в Е; для расстояния d на метрическом пространстве расстояние 6 на Ё определяется равенством

из которого следует, что для последовательности Коши (хп)

n u „ i i - i u ; і і к і і

видим, что предел последовательности ||xj| равен пределу по­

Следовательно, ѵ есть норма на ё , являющаяся продолжением на Ё нормы, определенной первоначально на Е. Часто для этого используется то же обозначение, что и в Е, и записывается

ѵ ( Х ) = Ш .

Полные нормированные векторные пространства составляют весьма важный класс метрических векторных пространств.

Определение. Действительным (соответственно комплексным) банаховым пространством называется полное нормированное действительное (соответственно комплексное) векторное про­ странство,

Нам будут встречаться многочисленные примеры банаховых пространств (см. последний раздел этой главы).

8. Бесконечные суммы и ряды в банаховом пространстве.

Пусть Е —■векторное пространство, которое мы будем предпо­ лагать действительным (т. е. К, = R) и нормированным. Так как Е — абелева группа, мы можем рассматривать счетное се­ мейство элементов xt из Е и рассматривать конечные суммы

2xt,

ІS I

где / — некоторое конечное подмножество из N, и можем опре­ делить понятие суммируемого семейства (гл. VI, раздел 4, § 2). Мы ограничимся следующими понятиями.

Ряд с общим членом хп е Е называется абсолютно сходя­ щимся, если сходится числовой ряд с положительным общим членом ||х„||; семейство (хп) называется абсолютно суммируе­ мым, если суммируемо семейство (||хга||) норм.

В банаховом пространстве справедливо следующее предло­ жение.

П р е д л о ж е н и е . В банаховом пространстве всякое абсо­ лютно суммируемое семейство суммируемо и всякий абсолютно сходящийся ряд безусловно сходится.

9. Нормированная алгебра, банахова алгебра. Пусть А —

алгебра (ср. гл. Ill) над полем К, которое мы будем предпола­ гать полем R действительных чисел или полем С комплексных чисел. Если наделить векторное пространство А некоторой нор­ мой и пытаться использовать в топологических вопросах произ­ ведение в А, то это приведет к предположению, что норма в сочетании с умножением в А обладает свойством делать непре­

и обобщения), для того чтобы это было так, необходимо и до­ статочно, чтобы существовало такое число М > 0, что

WxyW^MWxWWyl

Заменяя норму ||x|| эквивалентной нормой Я,||х|| (X > 0), прихо­ дим к предположению, что

II ху ИСК х\\\\у ||.

Отсюда получаем определение:

Определение. Нормированной алгеброй (действительной или комплексной) называется такая алгебра А над полем R или С, что векторное пространство А наделено нормой, удовлетворяю­ щей условию ||хг/||^ ||х||||і/|| для любых х ,у ^ А .

Если нормированное пространство А является банаховым пространством, то нормированная алгебра называется банаховой алгеброй,.