Файл: Заманский, М. Введение в современную алгебру и анализ.pdf

ряд 2 * " абсолютно сходится. Если А полно, то ряд также схо­ дится (п. 8); стало быть, по теореме, только что сформулиро­

щает понятие группы Рисса.

Пространством Рисса называется действительное векторное пространство, являющееся группой Рисса относительно внут­ реннего закона и удовлетворяющее, кроме того, следующему ус­

Этим условием выражается согласование между порядком и внешним законом. Отсюда следует, что х ■< у и а > 0 =?> ах К ау.

Если пространство Рисса наделяется некоторой топологией, то при этом предполагается, что относительно этой топологии множество положительных элементов замкнуто; это то же самое предположение, что и для группы Рисса.

§ 3. Гильбертовы пространства

Гильбертовы пространства обобщают понятия евклидовых пространств Rn и банаховых пространств. Наиболее важной ил­ люстрацией понятия гильбертова пространства служит простран­

ство L2.

Поле К, которое будет в дальнейшем входить в определение векторных пространств, будет полем R действительных чисел или полем С комплексных чисел. Если а е К, то ä означает со­ пряженное с ос; если а е і ? , то а = а; если а — комплексное число, то Re а означает его действительную часть.

Гильбертово пространство есть банахово пространство спе­ циального вида, норма в котором может быть определена при помощи скалярного произведения. На самом деле можно было бы рассматривать векторное пространство Е, норма (или полу­ норма) которого получается из скалярного произведения; но легко видеть, что его пополнение Ё было бы гильбертовым про­ странством, т. е. можно было бы продолжить на Ё скалярное произведение, определенное на Е, и полученное таким образом продолжение определяет на ё норму, полученную продолжением нормы из Е.

1. Определение эрмитовой формы и скалярного произведения.

Эрмитовой формой на действительном или комплексном век­ торном пространстве Е называется отображение ф произведения Е X Е в поле К, удовлетворяющее следующим условиям-.

=ф (х , х), и значит, ф(х, х) есть действительное число.

2)Если Е действительно, то из условий 1) и 2) вытекает, что

Фесть билинейная форма на Е X Е.

3)В общих курсах доказывается, относительно квадратич­ ных форм, что ф определена, как только известны значения формы ф (х , х). Вообще,

ф(*. У) = \{ф (х-\- у, х + у) — ср(х — у, х — у)),

если Е действительно;

Ф(*> У) = т (Ф (х + У, X + у) — ф(х — у, X — у) +

+ /ф (х + iy, X + іу) — г'ф (х — іу, X — іу)),

если Е комплексно.

Определение скалярного произведения. Если на пространстве Е определена эрмитова форма, то значение ф (х , у) формы ф для пары (х, г/) е Е X £ называется скалярным произведением эле­ ментов X и у.

Скалярное произведение ф (х, х) называется скалярным квад­ ратом элемента х.

стве Е, для которого определена положительная эрмитова форма,

5. Определение гильбертова пространства. Гильбертовым про­ странством называется (действительное или комплексное) век­ торное пространство, наделенное нормой, определенной при по­ мощи невырожденной положительной эрмитовой формы, и пол­ ное относительно топологии, определяемой этой нормой.