286 |
ГЛ. VII. МЕТРИЧЕСКИЕ |
ПРОСТРАНСТВА |
|
П р и м е р ы . |
1) В Rn для двух |
точек *= (& ,), у — (щ) по |
лагаем (х\ у)— 2 IfeTfe. Тем самым |
определена невырожденная |
положительная |
симметрическая форма, ибо (*|*) = 2 і І |
обра- |
щаетсяв нуль только при = 0 для всех k. Норма М = |
(х\х)'^ |
является евклидовой нормой: |
|
|
і* і = ( 2 й ) ' я.
Вэтом случае неравенство Шварца дает
І2ілГ< (2Й )(2чі).
2) Пусть L2(N) есть множество последовательностей действи
тельных чисел, для которых |
ряд |
2 ё* |
сходится. По |
неравен |
ству |
Шварца, |
применяемому |
в Rn к точкам ( |іі |, .... |
||п |) и |
( h i | . |
• |
h n | ) , получаем |
|
|
|
|
|
|
|
П |
|
|
1/2 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
и отсюда заключаем, что сходимость рядов 2 ё * и |
влечет |
абсолютную |
сходимость ряда |
2 |
Следовательно, если |
x<=L2(N) |
и y ^ L 2(N), то X -J- у <= L2 (N), и, очевидно, |
что а* <= |
е L2 (N) для любого а е / ? .
Ha L2(N) определяется невырожденная положительная эрми
това форма (х\у) = 2 ІкУ\к, а значит, и норма || х || = |
( 2 |
I Р)‘/2. |
Пространство L2(N), наделенное этой нормой, полно. |
|
|
6. |
Простейшие свойства. |
(параллелограмма). |
В |
предло |
1. |
С в о й с т в о |
м е д и а н ы |
жении из п. 4 было получено равенство |
|
|
|
II * + |
У If = 1* II2 + |
11У II2 + ( х ) у ) + ( х \ у ) . |
|
|
Заменив у на —у и прибавив полученное равенство к преды дущему, приходим к равенству, называемому равенством ме дианы (или равенством параллелограмма):
ІІ* + іНР + ІІ*-іМР = 2(||*|Р + II г/|р).
Оно записывается также в виде
|
II* IP+ 11У IP = 2 | ^ | + 2 |
х — у 12 |
|
2 |
|
|
(Речь идет о соотношении плоской элементарной геометрии, которое формулируется следующим образом: в треугольнике сумма квадратов длин двух сторон равна удвоенному квадрату медианы третьей стороны плюс удвоенный квадрат половины третьей стороны.)
|
2. М Е Т Р И Ч Е С К И Е ГР У П П Ы |
287 |
2. |
О р т о г о н а л ь н ы е э л е м е н т ы . |
Два элемента х, у на |
зываются |
ортогональными, если (х\у) = 0. |
Если М есть под |
множество рассматриваемого гильбертова пространства, то х называется ортогональным к М, если х ортогонально к лю бому у <= М.
Иногда пишут х ± у, |
х і. М, и |
тогда эти два определения |
будут иметь вид |
|
|
|
|
X -L у<=$(х\ У) = 0] |
X 1 Мфф(х] у) = 0, |
Ѵуе=М. |
Если (х|г/) = |
0, то равенство |
|
|
\\х + |
у\? = \\х II2 + II у II2 |
+ (х\у) + (х |
Iу) |
представляет собой теорему Пифагора-.
x L y ^ \ \ x + y \ f ^ \ \ x \ f + \\y\f.
Ортогональность двух векторов может быть охарактеризо вана при помощи неравенства между нормами. Имеет место следующее предложение.
Т е о р е м а 1. Для того, чтобы х был ортогонален подпро странству М, необходимо и достаточно, чтобы
II X ІК И* — у II
для всех у е М.
В самом деле, если (х|г/) = 0, то теорема Пифагора в при менении к X и к —у дает
\ \ x - y \ ? = \\x\f + \\y\?>\\xf.
Отметим, что если М — подпространство и x j _М, то x j _ y для любого у е М, а так как —у е М, то
|
IU||2< | | x - ^ | | 2 |
|
для любого у ^ М . |
что ||х||2 < ||х — у\\2 для любого у ^М , |
Обратно, предположим, |
где |
М — подпространство |
(что влечет —у ^ М |
и ау <= М для |
любого числа а). Покажем, что х ортогонально М. |
Прежде всего заметим, |
что если у — 0 е М, то (х|0) = 0 . До |
пустим, следовательно, что у Ф 0 и что ||х||2 < |
||лг — у\\2 для лю |
бого у <= М. Имеем для у е |
М и для произвольного а: |
II XII2 |
II X — ау II2 = (х — ау | х — ау) = |
|
= {х] х) + ( — ау\ х) + (х I - оу).+ (— ау | — оу) =
= \ \ xf — a(y\x) — ä(x\y) + aâ(y\y) =
= \\ x\f — а(х\ у) — â(x\ у) -\- aâ || у ||2,
Отсюда
0 < aö II у II2 — а ( х \ у ) — â (х| у ) .
288 |
|
|
ГЛ. VII. МЕТРИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА |
|
|
|
Так |
как |
у ф О, а значит, || у || Ф 0, то |
мы |
полагаем |
а — |
= (х\у)/\\у\\\ |
а = (х\~у)І\\ у II2. Получаем |
|
|
|
|
0 < ( х | y){x\y)t\\yf — 2(х\ у)(х I у)/\\ y f = |
—I |
(х\ у)2І\\ у II2, |
|
откуда |
{х\у) = |
0, и теорема доказана. |
|
|
|
|
3. |
В ы п у к л ы е м н о ж е с т в а и в ы п у к л ы е п о д п р о |
с т р а н с т в а . |
Множество А называется выпуклым, |
если |
для |
любых точек х ^ А , у ^ А и любого действительного |
а е [ 0 , 1] |
точка ах + (1 — &)У принадлежит А.
Излагаемая ниже теорема, важная сама по себе, приводит, в сочетании с предыдущей теоремой, к теореме о разложении.
Т е о р е м а 2. Пусть Е — гильбертово пространство и А — выпуклое множество из Е, представляющее собой полное про
странство в Е. Тогда для любого х ^ Е |
существует такой един |
ственный элемент лг0 е А, что |
|
|
|
|
II X — х0II = inf II л: — |
г/1|. |
|
|
|
у е А |
|
|
|
|
Точка х0 называется проекцией элемента х на А. |
|
В самом деле, пусть |
|
|
|
|
6 = inf II X — г/ II, |
|
|
|
|
у<= А |
|
|
|
|
и пусть (уп)— последовательность таких точек из А, |
что |
lim Цх —у„Ц = 0. |
|
|
|
П-> ОО |
|
|
|
|
Покажем, что (уп) есть последовательность Коши. |
|
Свойство медианы в применении к ур — х |
и уч— х дает |
II yp + yq~- 2х |р + II ур - yqIP = 2 II ур- х |р + 11 yq- x IP, |
или |
|
|
|
|
\yp- y qf < 2 \ \ x - y ptf + 2 \ \ x - y qIf-II yp+ |
2x I |
Но А выпукло, и поэтому (yp + yq)l2 е |
А; |
следовательно, |
IIУР- У ЧІІ2< 2 || x - y ptf + 2 \ \ x - y qIf - |
4 |
І 2 І |
~ * |
а так как
6 = inf II X — у II,
У^А
то
Ур+ .
И II ур- yqIp < 2 II * — урІГ + 2 II .V- yqIP - 4Ö2.
2. МЕТРИЧЕСКИЕ ГРУППЫ |
289 |
|
Наконец, условие |
|
|
lim II X — //„|| = |
6 |
гг-» оо |
|
влечет |
|
|
lim |
И * — Уп II2 = |
б2, |
Л-» оо |
|
|
и, стало быть, |
|
|
Нт |
\\Ур — y q \= 0. |
р-» оо, q-> оо |
|
Таким образом, последовательность (уп) есть последователь ность Коши, а поскольку Л полно, эта последовательность схо дится к такому элементу х0^ А , что ||* — *оІІ = б.
Докажем единственность элемента х0. Если бы существо вали такие *о и *о Ф Хо, что
II * — *оII = б = II * — 4 II,
то последовательность (у„), определяемая как у2р= *0, у2р+1 = *о> была бы такова, что
lim II * — уп|| = б,
п->°°
и значит, была бы последовательностью Коши и имела |
(в силу |
отделимости пространства) единственный предел, т. е. |
требова |
лось бы, ЧТОбы Хо = |
Хо. |
|
З а ме ч а н и я . 1) |
Поскольку в полном пространстве замкну |
тое множество является полным подпространством, то можно было бы в теореме 2 предполагать А замкнутым выпуклым множеством.
2) Векторное подпространство пространства Е является вы пуклым множеством; поэтому теорема 2 применима, в частности,
к замкнутому подпространству пространства Е. |
Пусть М — |
|
4. |
Т е о р е м а |
о р а з л о ж е н и и . Т е о р е м а 3. |
замкнутое векторное подпространство гильбертова пространства |
Е. |
Для |
любого |
X е |
Е существует такой единственный |
элемент |
*о е |
М, |
что X = |
Хо + у, где у ортогонально М. |
|
Действительно, М, будучи векторным подпространством, вы пукло; оно замкнуто в полном пространстве Е, и значит, полно.
По теореме 2 для любого х ^ Е |
существует такой единственный |
элемент х0е М, что |
|
II* — *оІІ = |
inf II* — 2||. |
|
г^М |
Положим * —*о = у; имеем
IIУII= inf II у — (г — х0) ||. 2ЕМ
