Файл: Заманский, М. Введение в современную алгебру и анализ.pdf

Скачать файл (16,84Мб)

Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 15.10.2024

Просмотров: 207

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

290 ГЛ. VII. МЕТРИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА

Так как лг0 е

М, то М — х0=

М;

Іі

Уіі

inf

II y — t II;

t m M

значит, IIуII

\\y — f||

для

любого

t <= M. Согласно

теореме 1,

элемент у = х —х0 ортогонален М.

элемент из М, для которого

Наконец,

х0 есть единственный

х — х0

ортогонально

М.

Ибо

если х'о таково,

что х о’ е

М и

X — х'о_І_ М, то

X— ХоІ К

.V— Хо — у II

для любого у s

М\ в силу того,

что х'ое М , имеем хо +

Уе

М,

II X — ХоIK

inf

Цх — z ||.

геМ

Следовательно,

х'о

— единственная

точка, определяемая

теоре

мой 2.

Проекция л:0

на М точки х из Е есть значение

З а м е ч а н и е .

функции р,

отображающей Е в М: р ( х ) — х 0.

Эта функция на

зывается п р оект о ро м .

Можно определить р ( х )

как единственную

точку из М, для которой

( р ( х ) — х \ у ) = 0 при любом у ее М. Но

(р(х) — х\у) = (р(х)\ у) — (х\у) = 0,

и значит, ( р ( х )

Iу )

— ( х \ у )

при любом у е М.

Таким образом, р есть линейное отображение пространства Е

в векторное подпространство М.

Пифагора

применении

другой

стороны,

теорема

к X =

р(х) + (л: —р ( х ) )

дает

II X II2 =

II Р (х) II2

II X — р {х) II2.

Следовательно, ||р (х) ||2

||д:||2,

или ||р (х )||^||х ||.

Так

как р

линейно, то

IIР(х — х') \\=

II р (х)

р (x') IK II X — х' II,

чем доказывается непрерывность (см. общий результат, относя щийся к непрерывным линейным отображениям, в гл. IX, раз дел 2, § 2).

Итак, проектор р гильбертова пространства Е в замкнутое подпространство М пространства Е есть непрерывное линейное отображение пространства Е в М.

Г Л А В А VIII

ФУНКЦИИ СО ЗНАЧЕНИЯМИ В МЕТРИЧЕСКОМ ПРОСТРАНСТВЕ. СТУПЕНЧАТЫЕ ФУНКЦИИ.

НЕПРЕРЫВНЫЕ И ПОЛУНЕПРЕРЫВНЫЕ ЧИСЛОВЫЕ ФУНКЦИИ

Р А З Д Е Л I

ПОНЯТИЕ ФУНКЦИОНАЛЬНОГО ПРОСТРАНСТВА

Функциональное пространство — это множество, элементами которого являются функции и которое наделено некоторой топо логией. Но топология, которой наделяется множество функций, может быть различной в зависимости от налагаемых требований

или свойств. Если, например, на множестве		функций получено
свойство, состоящее в том, что	наделенное надлежащим рас
стоянием, полно, то к f можно	применять	свойства полных

метрических пространств. Иногда, напротив, приходят к тому, чтобы наделить ЗГ топологией, изучение которой связано с ис следованием свойств последовательностей или семейств элемен тов из

В дальнейшем мы будем ограничиваться почти исключи тельно простым случаем, а именно, тем, в котором элементы из 3F являются функциями со значениями в метрическом простран стве. Специального вида пространства получаются, помимо этого, в предположении, что переменное есть элемент топологического пространства, компактного пространства, что функции непре рывны, что функции являются числовыми и т. д.

§ 1. Простая сходимость семейства функций

Пусть Е — абстрактное пространство (на котором не обяза тельно определена топология), а F — топологическое простран

ство. И пусть	(/,) — семейство функций, наделенных индексами і
из множества	индексов / и являющихся функциями переменного

х ^ Е	со значениями в F.
Предположим, что на I задан фильтр Ф.
Будем говорить, что семейство /<		сходится просто к функции
f по	фильтру ф, если для любого	л е £ семейство значений
fi(x)	в F сходится к f(x) по фильтру Ф. Это означает, что для

любого открытого множества X, содержащего f(x), существует такой элемент іреФ , что f i ( x ) ^ X для любого і е ср. Отметим, что X зависит от х.

10*

292	ГЛ. VIII. ФУНКЦИИ В МЕТРИЧЕСКОМ ПРОСТРАНСТВЕ

Пусть, например, I = N, а Ф есть фильтр дополнений конеч ных подмножеств; тогда (fi(x)) есть последовательность точек из F, и сходимость fi(x) к f(x) записывается равенством

lim	fl (x) =	f(x).
I -> -f со
Пусть теперь / — множество действительных чисел а, строго
больших некоторого числа	а 0, . а	Ф — множество интервалов

]а0, ß[, где ß > а 0. Сходимость fa(x) к f(x) по Ф означает, что fa(x) стремится к f(x), когда а стремится к сіо справа.

Говорят также, что функция / есть простой предел семейства fi относительно фильтра Ф.

Теперь можно утверждать, что во множестве отображений пространства Е в F элемент / имеет в качестве близких эле

менты fi. Но если задано множество	функций от * е £ со
значениями в F, то задание топологии	на 8Р требует определе

ния окрестностей любого f^ S T или базиса открытых окрестно стей любого f.

Хотя приводимое нами определение нельзя считать достаточ ным, мы все же будем называть топологией простой сходимости

топологию, определяемую при помощи простого предела после довательностей (/„) элементов из к элементу f из ЗЕ.

Более удовлетворительное определение может быть дано для того случая, когда F — метрическое пространство.

§2. Топология на множестве функций со значениями

вметрическом пространстве

Пусть Е — абстрактное			пространство, F — метрическое про
странство, наделенное расстоянием d, и				— множество отобра
жений пространства Е в пространство F.					из Е.	Опреде
1. Равномерная сходимость на множестве А
ление.	Последовательность (fn) элементов из FF равномерно схо
дится на множестве А из Е к элементу f е				ST, если для любого
е > 0	существует	такое	целое Р(е, А),	что	п ^ Р ( г ,		Л)=Ф
=#> d (fn (х), f (х)) <		е для любого х <= А.
В случае, когда		А ~ Е, говорят кратко, что /„ равномерно
сходится к /.				семейство $Ф подмно
Когда на Е предполагается заданным
жества	А cz Е, то в случае,		если равномерная сходимость				имеет
место для любого / І е і ,			говорят, что f„	равномерно		сходится
к f на семействе

Если в качестве лФ взять семейство подмножеств, сводящихся к точке, то равномерная сходимость на этом семействе бФ будет простой сходимостью на Е.

Пример . Семейство числовых функций (/„), определенных на R, может сходиться просто к функции f; оно может равно-

1. ПОНЯТИЕ ФУНКЦИОНАЛЬНОГО ПРОСТРАНСТВА				293
мерно сходиться на R; оно может равномерно сходиться на лю
бом компактном		интервале.
Свойс т во .		Следующее свойство очевидно: если /„ равно
мерно сходится к f на любом подмножестве А из семейства
подмножеств	из	Е и если элементы из	образуют	покрытие
пространства	Е,	то fn сходится просто к /.	кратко: равномерная
В частности,		если А — Е, то говорят

сходимость влечет простую сходимость.

2. Топология равномерной сходимости на Е. Пусть f a g — два элемента из £Г. Положим

6{f, g) = sup d(f(x), g(x)).

X <= E

б есть отображение произведения 2Г X S2" во множество дей ствительных чисел, конечных положительных или равных г-)-оо

(ибо может быть, что 6(/, g) — + оо), которое обладает сле дующими свойствами:

1) Если / = g, то

		ö(/> ё) =	sup d (f (х), / (х)) =		sup 0 = 0:
			*	Е	і е £
обратно,		если 6(f,g)	=	0, то
			sup d (f(x), g(x)) =		0;
			X<= E
значит, d(f,x), g(x)) =				0 для любого x, и стало быть,		f(x) =
= g(x)		для любого х, т. е. f — g.
2)	6(f,g) =ö( g, f ) .				Имеем
3)	Пусть /, g, h — три элемента из 3F.				Имеем
ö (f, ё) =		sup d (f (х), g (х)) <
		X е Я
		<sup(d(f(x),		h (x)) + d(h(x), g(x)))<6(f, A) +		fi(A, g).

Следовательно, б обладает всеми свойствами расстояния,

кроме свойства принимать лишь конечные значения; б назы вается уклонением.

Теперь на SF определяется база открытых окрестностей эле мента f е ЗГ путем отнесения ему всех тех g е ЗГ, для которых '

&(f<ë) ■< а, где а пробегает множество действительных положи тельных чисел.

3. Случай ограниченных функций. . Если есть множество ограниченных отображений f пространства Е в F, т. е. если мно жество f(E) ограничено в F, что сводится к тому, что для не которого произвольного у о ^ F

sup d (уо, f (х)) * s j

294 ГЛ. VIII. ФУНКЦИИ В МЕТРИЧЕСКОМ ПРОСТРАНСТВЕ

конечно,	то для / е	SF и g е
		ö(f. ff) = sup d(f(x), g(x))
			)te£
конечно; в самом деле, для некоторой точки t/oS F
	Ö (/, ff) ^	SUp	rf ( / ( * ) , ffo)	+ SUp d ( ff ( * ) ,	y 0).
		х е E		і е Е
Тогда	множество		становится	метрическим	пространством.
Примем следующее определение.
Определение. Пусть			— множество функций, определенных

на множестве Е, принимающих значения в метрическом про странстве (F,d) и ограниченных. Топологией равномерной схо димости на ЗГ называется топология метрического пространства,

определенная на	при помощи расстояния
	Ö(/, ff)= sup d(f(x), g(x))
	хе В

для двух элементов f, g ^ S T .

Пусть fn — последовательность отображений Е в F, ограни ченных и равномерно сходящихся к функции f. Имеем для не

которой точки уо е		F:
d {f (х),	d (f (X), fn(х )) +		d (fn (X), уд) < 6	(f,	fn) - f d (fn (x), y0).
Выберем	такое	целое p,	чтобы 8(f, /Р)	<	1, что возможно,

так как

Umö(f,fn) — 0.

Тогда

d (f (х), уо) < 1 + d (fp(х), Уо).

А поскольку fp ограничено, d(fp(x),y0) тоже ограничено.

Отметим, что, по определению, справедливо					ограниченных
П р е д л о ж е н и е	1.	Равномерный		предел
функций есть ограниченная функция.				$ всех	ограниченных
Если теперь рассмотреть множество
отображений Е в F, то возникнет вопрос о том, полно ли
Ответ дается следующим предложением.
П р е д л о ж е н и е	2. Если F — полное метрическое простран
ство, то пространство $		ограниченных отображений Е в F полно
в топологии равномерной сходимости.
Пусть, в самом деле,		(fv) <=	есть последовательность Коши,
т. е. такая последовательность,			что
		lim b(fp, f q) =		0.

р - > о о , q- > о о

Смотрите также файлы

Зарахович, Я. А. Янтарь.pdf

Климов, В. А. Некоторые прикладные методы анализа и синтеза сложных автоматических систем с использованием ЦВМ.pdf

Клюев, А. С. Автоматическое регулирование.pdf

Конструкция летательных аппаратов учебник..pdf

Контейнерная транспортная система..pdf

Файл: Заманский, М. Введение в современную алгебру и анализ.pdf

Смотрите также файлы

Информация

Списки файлов

Дополнительно