Файл: Заманский, М. Введение в современную алгебру и анализ.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 15.10.2024
Просмотров: 204
Скачиваний: 0
296 |
|
ГЛ. VIII. ФУНКЦИИ В МЕТРИЧЕСКОМ ПРОСТРАНСТВЕ |
|
||||
Отсюда, в частности, получаем предложение: |
то $ |
||||||
П р е д л о ж е н и е 2. Если |
F — банахово |
пространство, |
|||||
есть банахово пространство. |
|
|
натуральных |
чисел, |
|||
Пр и ме р ы . Пусть Е = N — множество |
|||||||
E = |
R — множество действительных чисел; тогда FB или |
9&{N) |
|||||
есть |
множество |
ограниченных |
числовых |
последовательностей |
|||
X — |
(|„); |
выражение |
|
|
|
|
|
|
|
|
IU || = |
s u p l£ „ | |
|
|
|
есть |
норма, и Д |
наделенное |
этой нормой, |
есть банахово про |
|||
странство. |
|
|
Пусть F — банахово пространство |
||||
5. |
|
Функциональные ряды. |
|||||
и пусть |
2 ип есть ряд, составленный из органиченных отобра |
||||||
жений Е в F. Предположим, что ряд абсолютно сходится, т. е. |
|||||||
сходится |
2 II ип ||. |
При этих |
условиях ряд 2 ип равномерно |
||||
сходится. |
|
|
|
|
|
||
В самом деле, |
|
|
|
|
|
||
2 «а < 2 н «*(*)»<
стремится к нулю; значит, последовательность функций
есть последовательность Коши в $ и, |
стало быть, |
сходится в |
т. е. сходится равномерно. |
|
|
Говорят, что ряд 2 ип нормально |
сходится |
(т. е. сходится |
по норме пространства !%).
Однако обратное неверно; ряд может равномерно сходиться,
в то время как ряд, |
составленный из норм 2 II м« II. может быть |
расходящимся. Это |
можно показать на следующем примере. |
На компактном |
интервале [0, 1] рассматриваются непрерыв |
ные числовые функции ип, определенные следующим образом:
и„(х) — 0 вне |
интервала |
|
|
|
|
[ т г т т - т ] ? |
|
||
ип{х) линейно |
на интервалах |
|
|
|
I |
2п + 1 I |
|
Г 2п + 1 |
И |
п + 1 ’ 2 r t ( n + l ) J |
И |
[2 п (п + 1) ’ я ] ’ |
||
кроме того, |
/ 2п + \ \ |
|
|
|
' |
_ 1 |
|
||
|
\ 2п (п + |
1) ) |
п • |
|
|
1. |
ПОНЯТИЕ ФУНКЦИОНАЛЬНОГО ПРОСТРАНСТВА |
297 |
|||
Ряд |
'Еіііп(х) сходится при любом х е |
[0, 1]; |
ибо если х = О, |
|||
это очевидно, |
а если х > 0, то все ип (х), |
начиная с некоторого |
||||
номера, |
равны нулю. Так как, |
с другой стороны, |
|
|
||
|
|
sup ^ Uk (х) |
sup ип(х) = - |
|
|
|
то этот |
ряд |
равномерно сходится. Но \\ |
ип \\ = |
1/п, и |
2 l l Hnll = |
|
=+ оо.
6.Непрерывные функции. Когда речь идет о непрерывных функциях, можно предполагать, что Е —топологическое про странство.
Важным результатом, относящимся к непрерывным функ циям, является следующая
Те о р е ма . Если (/п) — последовательность непрерывных отображений топологического пространства Е в метрическое про странство F, равномерно сходящаяся к отображению f, то ото
бражение f |
непрерывно. |
|
большого |
|
В самом |
деле, |
для заданного е > 0 и достаточно |
||
целого р имеем d(fp(x),f(x)) < е/3 при любом х е £ , |
Для двух |
|||
точек X и х0 имеем |
|
|
||
d (/ (х), / (х0)) < d (/ (х), /р (х)) + d (fp(х), fp(х0)) + |
|
|||
|
|
+ |
d (fp(х0), f (хо)) < d (fp (x), fp(x0)) + 2e/3. |
|
Так как fp непрерывно, |
то найдется такая окрестность X точ |
|||
ки х'о, что |
если |
х е Х , |
то d(fp(x),fp(x0)) < е/3; это влечет |
|
d (f (х), f (Хо)) < 8 |
для х е Х |
стремится |
||
Когда F полно, условие о том, что d(fp(x),fq(x)) |
||||
к нулю равномерно по х, |
когда р и q стремятся к бесконечности, |
|||
влечет существование предельной функции f, к которой /р равно мерно сходится.
Вводимое ниже понятие равностепенно непрерывного мно жества функций позволяет указать достаточные условия непре рывности предела непрерывных функций.
Множество А непрерывных функций на топологическом про странстве Е со значениями в метрическом пространстве F на зывается равностепенно непрерывным в точке Хо е Е, если для любого е > Осуществует такая окрестность V точки Хо, что если х е У , то d(f (х), f (х0) ) < е при любом / е /1 ; множество А на зывается равностепенно непрерывным на Е, или просто равно степенно непрерывным, если оно равностепенно непрерывно в каждой точке из Е.
П р е д л о ж е н и е . Если семейство (fn) равностепенно не прерывно в точке х0 и если /„ сходится просто на Е к отображе нию /, то f непрерывно в точке х0.
298 |
ГЛ. VIII. |
ФУНКЦИЙ В МЕТРИЧЕСКОМ ПРОСТРАНСТВЕ |
|
В с а м о м д е л е , |
е с л и ( / „ ) р а в н о с т е п е н н о н е п р е р ы в н о , т о с у |
щ е с т в у е т т а к а я о к р е с т н о с т ь V т о ч к и Xq^. E, ч т о д л я л ю б о г о п
Но |
d(fn(x), |
fn(x0)) < e/3. |
|
|
|
|
|
|
|
d (f (х), f(x0j) <:d(f {х), fn(*)) + |
d(f (х0), fn (x0)) + d (fn (x), fn(x0)) < |
|||
|
|
< e/3 + d (f (x), fn (x)) + |
d(f (xo), h (*<>))• |
|
Выбирая достаточно большое n, получаем |
|
|||
d (f (x), fn (x)) < |
e/3, |
d (f (x0), fn (x0)) < |
e/3, |
|
и з н а ч и т , д л я |
x ^ V и м е е м |
d(f (x), f (x0) ) < e . |
|
|
Р А З Д Е Л |
2 |
|
|
|
СТУПЕНЧАТЫЕ ФУНКЦИИ ПРИБЛИЖЕНИЕ СТУПЕНЧАТЫМИ ФУНКЦИЯМИ
Ступенчатые функции составляют тип функций, которые мо гут рассматриваться как простые и наиболее употребительным примером которых могут служить характеристические функции подмножеств некоторого множества. Для их определения не тре буется вводить топологию на множестве изменения переменного, но если это множество является топологическим пространством, то они позволяют равномерно приближать непрерывные функ ции.
§ 1. Ступенчатые функции
Пусть Е — некоторое множество (не обязательно топологиче ское пространство), F — векторное пространство над полем R действительных чисел. И пусть на Е задано конечное множе ство попарно непересекающихся подмножеств А і, ..., Ар. Сту пенчатая функция f определяется следующим образом: каждо му А2 ставится в соответствие некоторая точка а; из F; эта функ
ция принимает лишь конечное число значений в f |
и является |
постоянной функцией на каждом Аі. |
|
Пусть теперь срд — характеристические функции множеств А і, |
|
т. е. |
j t e 4 |
Фл .(а-) = 0, если хф.Аі, Флг М ^ Ь если |
|
Это функции с действительными значениями, а поскольку F есть действительное векторное пространство, то значение а; сту пенчатой функции f в точке х е А і может быть записано в виде
f(x) = ф, ( х ) й і . |
2. С Т У П Е Н Ч А Т Ы Е Ф У Н К Ц И И |
299 |
|
Так как множества Л,- не пересекаются |
и их |
||
АІ |
|
г' |
|
число конечно, то для любого х |
е Е можно записать, что |
|
|
|
р |
|
|
|
/(* )= 2 |
Фл,(л:) • a t . |
|
|
І= 1 |
1 |
|
Тогда функция f |
представима в виде |
|
|
f — ^atV A f
Это обозначение более удобно, чем обозначение, которое было бы более корректным в соответствии с принятыми вначале со глашениями и которое выглядело бы так:
/ = 2 ф л ^ .
Из предыдущего замечания вытекает, что ступенчатая функ ция получается из характеристических функций подмножеств Л*.
Таким образом, если речь идет об одной ступенчатой функ ции, то изложенные соображения достаточны для их определе ния. Но в интересующие нас задачи должны будут входить семейства ступенчатых функций: так, мы будем исследовать, является ли, при задаваемых условиях, непрерывная функция равномерным пределом ступенчатых функций; нам понадобится ввести операции над ступенчатыми функциями (векторное про странство). Если мы хотим получить сумму двух ступенчатых функций, определенных на двух семействах Л,- и В ,■подмножеств из Е, то мы приходим к рассмотрению новых подмножеств из Е, состоящих из Аі U Bj, А і fl Bj и из Аі — Вj (множество точек Л,-, не принадлежащих Bj); так, например, если Л и В —такие прямоугольники в R2, что Л П В Ф 0 , то qu + Фв есть ступен чатая функция, принимающая значение 1 на Л — В и В — Л, значение 2 на А П В и значение 0 на С (Л U В); можно, следова тельно, написать, что
Фл + Фв = Фл-в + Фв-л + 2Флпв>
т. е. имеем конечную линейную комбинацию характеристических функций попарно непересекающихся подмножеств из Е. И если к подмножествам Л — В, В —Л, Л Г) В присоединить С (Л (J В), то получится разбиение множества Е, а рассматриваемая функ ция будет линейной комбинацией характеристических функций элементов этого разбиения.
Эти замечания приводят к определениям, которые будут сейчас сформулированы.
1. Определение клана на множестве.
Определение. Кланом на множестве Е называется непустое семейство Г таких подмножеств из Е, что если Л е Г и В е Г то
Л и В е Г « Л - В е Г ,