Файл: Заманский, М. Введение в современную алгебру и анализ.pdf

мере один элемент А • (который является подмножеством из Е),

множество из Е\ множество, состоящее из Л и пустого множе­

и В — С Л. Множество, состоящее из Л, В, Е, 0 , образует клан. 3) Рассмотрим в R2 все подмножества Л вида

А = [а, &[Х[а', Ь'[,

т. е. все произведения замкнутых слева интервалов из R.

В этом случае мы не получим клан. Но если присоединить

кЛ все их конечные объединения, то получится клан.

4)Если Г есть клан и если Л s= Г, то, вообще говоря, не бу­ дет иметь место СЛ е Г ,

2. Клан, определяемый разбиением. Пусть (Ха) — семейство подмножеств из Е, наделенных индексами а, ß, ... так, что если

а ф ß, то

*„П Xß= 0 .

Рассмотрим множество всех конечных объединений подмно­ жеств Ха; и пусть Аі — такое конечное объединение. Очевидно, что для двух конечных объединений подмножеств Ха, объедине­ ние Аі U Лj тоже является конечным объединением Ха. С другой стороны, Âi — Aj либо пусто, либо является объединением мно­ жеств Ха, принадлежащих Лг- и не принадлежащих Л;-; а так как Ха попарно не пересекаются, если Аі — А ^ф 0 , то Ai — Aj есть конечное объединение множеств Ха.

Итак, для любого семейства попарно непересекающихся множеств клан получается в результате рассмотрения их конеч­ ных объединений и пустого множества.

Вчастности, молено построить таким путем некоторый клан

сэлементами разбиения множества Е (это есть семейство таких

имеются разбиения, определяемые следующим образом. Пусть (_УР) — конечное или счетное семейство подмножеств из Е, убы­

5. Ступенчатые функции.

Определение. Пусть заданы действительное векторное про­ странство F, множество Е и клан Г на Е\ ступенчатой функцией на Е относительно Г и со значениями в F называется отображе­ ние / множества Е в F, определяемое для любого х е Е как

Для любого действительного а функция аf будет ступенча­ той, ибо

( * ) = 2 ( а Ui) срА( (х).

Если f и g — ступенчатые функции на Е относительно одного и того же клана Г и принимающие значения в одном и. том же действительном векторном пространстве F, то f + g удовлетво­ ряет тем же условиям. В самом деле, если (А,) и (Дг) соответ­ ственно элементы из Г, для которых f и g отличны от нуля, то найдется конечное семейство элементов Ск из Г, попарно не пе­ ресекающихся и таких, что каждое Л; и Ві является объедине­

нием конечного числа Ck. Но если Л, = U Си, то ФЛі = 2 ф с й> и

есть ступенчатая функция. Законы векторного пространства про­ веряются непосредственно, и мы приходим к утверждению:

Множество ступенчатых функций на Е относительно Г есть векторное подпространство множества отображений Е в F.

З а м е ч а н и я . 1) Если F — R, то произведение двух сту­ пенчатых функций определено и является ступенчатой функцией. Кроме того, если f — ступенчатая функция, то |/| — тоже ступен­ чатая функция.

Множество ступенчатых функций с действительными значе­ ниями, определенных относительно некоторого клана на множе­ стве Е, является пространством Рисса, представляющим собой

подпространство пространства числовых функций, определенных на Е.

2) Всякое отображение Е в F, принимающее лишь конеч­ ное число значений, может рассматриваться как ступенчатая функция.

В самом деле, пусть f принимает ненулевые попарно различ­

С Q.

Но в задачах, которые ставятся, вообще говоря, задается клан, и ступенчатые функции, которые участвуют в рассмотре­ нии, являются функциями, определенными на этом клане (при­ мер: на R — клан, содержащий интервалы, на топологическом пространстве — клан, содержащий открытые множества или ком­ пактные множества и т. д.).

§ 2. Равномерное приближение ступенчатыми функциями

Если рассматривать пространство <8 ступенчатых функций со значениями в нормированном пространстве F, относительно некоторого клана на Е, то это пространство будет подпростран­ ством пространства ограниченных функций, поскольку всякая ступенчатая функция ограничена. Можно, стало быть, рассмот­ реть норму равномерной сходимости (ср. раздел 1). Тогда по­ полнение пространства & относительно этой нормы отождеств­ ляется с множеством равномерных пределов ступенчатых функ­ ций. На Е не вводится никакая топология. Но, как мы уже объясняли, можно также вводить топологию на Е, что позво­ лит рассматривать непрерывные функции.

Мы представим здесь два частных случая: случай ограничен­ ных числовых функций на некотором множестве и случай не­ прерывных числовых функций на пространстве (он будет рас­ пространен на полунепрерывные функции).

Последний случай представляет интерес для теории инте­ грала и позволит нам перейти от теории интеграла, построенной исходя из ступенчатых функций, к теории, построенной по не­ прерывным функциям с компактным носителем.