Файл: Заманский, М. Введение в современную алгебру и анализ.pdf

I gn(x) — f(x) |< а /+1 — аг.

Следовательно,

I gn(x) — f(x) |< s u p | <хг+І — аг |.

Для того чтобы равномерно приблизить с точностью до г функцию f посредством ступенчатых функций gn, построенных исходя из характеристических функций открытых множеств, до­ статочно взять разбиение интервала [0, а] надлежащим образом

Итак, получаем следующий результат.

Непрерывная ограниченная функция на пространстве Е мо­ жет быть при любом е > 0 равномерно приближена с точностью до е посредством ступенчатой функции, которая является конеч­ ной линейной комбинацией характеристических функций откры­ тых (или замкнутых) множеств из Е. Отсюда получаем сле­ дующее предложение:

П р е д л о ж е н и е . Если взять на топологическом простран­ стве Е клан Г, содержащий все открытые или все замкнутые мно­ жества из Е, то любая непрерывная ограниченная числовая функция на Е будет равномерным пределом ступенчатых функ­ ций относительно Г.

З а м е ч а н и е . Если в предыдущем доказательстве обратиться

непрерывности функции /. Это будет случай полунепрерывной снизу функции.

Заметим, что, кроме того, gn ^ /.

Ч а с т н ы й случай. Если Е компактно, то между замкну­ тыми и компактными подмножествами из Е имеется тожде­ ственность (гл. V, раздел 3, § 2). И предыдущее предложение может быть сформулировано следующим образом.

Всякая непрерывная числовая функция на компактном про­ странстве является равномерным пределом ступенчатых функ­ ций на клане, содержащем компактные подмножества из Е.

НЕПРЕРЫВНЫЕ ЧИСЛОВЫЕ ФУНКЦИИ НА КОМПАКТНОМ ПРОСТРАНСТВЕ

Этот раздел посвящен семействам непрерывных числовых функций на компактном пространстве и, более конкретно, про­ странству этих функций. Наибольшую важность представляют факты, содержащиеся в теореме Дини и в теореме Вейерштрасса, обобщенной Стоуном.

Первая из этих теорем дает нам пример того, как простая сходимость влечет равномерную сходимость; в элементарном варианте речь идет о монотонной последовательности непрерыв­ ных числовых функций, сходящейся просто к некоторой функ­ ции, о которой известно, что она непрерывна.

Вторая теорема является теоремой о приближении непрерыв­ ных функций многочленами. Обобщение Стоуна вводит в рас­ смотрение, как и в теореме Дини, свойство покрытия, опреде­ ляющее компактное пространство, и элементарные свойства не­ прерывных функций.

Напомним, что если ^(Е , R), или 91 (если не может возник­ нуть неоднозначности) означает множество числовых функций,

11/11= sup I f(x) I

X (= Е

есть норма функции / и определяет на 97 норму, с которой 9* является действительным банаховым пространством (раздел 1, § 2, п. 6), что 93 есть множество, частично упорядоченное от­ ношением / ^ g ФФ / (х) ^ g(x) при любом г е £ , причем это отношение порядка естественным образом согласуется с топо­ логией, определяемой посредством нормы (предел последова­ тельности функций ;э= 0 будет ^ 0 ) .

Т е р м и н о л о г и ч е с к и е с о г л а ш е н и я . 1) Норма

11/11*= sup 1/ (лг) ]

Х е Е

называется нормой равномерной сходимости.

2) Если / и g — числовые функции, то будем говорить, что g

равномерно приближает / с точностью до е, если е строго по­

§ 1. Теорема Дини

1. Теорема Дини (элементарная форма). Пусть (fn) — после­ довательность непрерывных положительных числовых функций на компактном пространстве Е, убывающая и сходящаяся к нулю. Тогда fn равномерно сходится к нулю.

Пусть X — произвольная точка из Е\ для любого е > 0 най­ дется такое целое пх, что fnx (х) < е/2. А так как fn непрерыв­

на, то для X можно указать такую открытую окрестность Хх, что если у е Хх, то f„x (у) < в. Множество окрестностей Хх по­

ность (fn) убывает, и поэтому для любого целого

п^ max пх.

1*

илюбого у ^ Е имеем fn(y) < е; тем самым доказана равно­ мерная сходимость к нулю.

Сл е д с т в и е . Если монотонная последовательность (/„) не­ прерывных числовых функций на компактном пространстве Е сходится просто к непрерывной функции f, то она равномерно сходится.

Действительно, достаточно рассмотреть последовательность

(fn — f) или (f — fn).

2. Теорема Дини (обобщенная форма). Когда рассматривают

Если последовательность не возрастает, но сходится к /, то во­ обще говоря, уже не будет верно равенство f = sup

С другой стороны, если последовательность возрастает (в бо­ лее общем случае монотонна), то для двух членов f; и /у после­

компактном пространстве Е, наделенных индексом і, принадле­ жащим множеству индексов /, и предположим, что если /у и /у — два элемента из то sup (/у, /у) е £ Г , откуда следует, что верх­

няя оболочка конечного числа элементов из !F принадлежит Пусть

/ = sup ft

308 ГЛ. VIII. ФУНКЦИИ В МЕТРИЧЕСКОМ ПРОСТРАНСТВЕ

есть верхняя оболочка семейства непрерывных функций fu Предположим, что f конечна и непрерывна на Е. Возьмем не­ которую точку X е Е. Если

f{x) = sup ft (х),

І

то это означает, что для любого е > 0 найдется такой индекс іх, что

f{x) — B< ftx (х) < f (х).

Поскольку эта точка х фиксирована, то множество тех у&Е, для которых ! (у) — e,<fix (у), есть открытое множество Хх, ибо / и fijc

непрерывны.

Множество открытых множеств Хх покрывает Е\ но Е ком­ пактно, и поэтому конечное число ХХі, ХХр этих открытых множеств покрывает Е. Функция

g = Sup (fiXi, . ... flxp)

непрерывна, принадлежит ёГ, и для любого х<=Е имеем

f(x) — e < g ( x ) ^ f ( x ) , или 1f (х) — g(x) | < е.

Отсюда получаем следующий результат.

Пусть ёГ— такое семейство непрерывных числовых функций на компактном пространстве Е, что верхняя оболочка, двух про­ извольных элементов из ёГ принадлежит £Г. Если верхняя обо­

некоторым элементом из ёГ.

З а м е ч а н и я . 1) Теорема Дини неверна, если Е не ком­ пактно. Так, убывающая последовательность числовых функций,

2)В предыдущих результатах можно, очевидно, предполо­ жить, что Е — компактное подмножество топологического про­ странства.

3)Легко видеть, что при доказательстве обобщенной тео­

ремы Дини достаточно вместо условия sup <^.ëF для про­ извольных элементов ft, fj е ёГ предположить существование та­

Более узкими, но практически более удобными предположения­ ми, при KOTQpbix теорема верна, являются условия, состоящие