Файл: Заманский, М. Введение в современную алгебру и анализ.pdf

и если

со (а, Ь) =

sup f — inf /,

ф (*) — f (а) +

— ^ £

'а(а-- (х — а),

то

I f(x) — ф (л:) К

(0 (а,

Ь).

В самом деле,

f(x) — Ф(*) =

/(*) — f(a) — f{b)bZ fa{a) ( х

— а) =

_ _

(х/) — }

(

« ) ()Ь

—

х) —

((х/ )

— f

(b)) (X —

а)

— ------ 1 _ а

------L =

со.

П у с ть тепер ь

и м еется

р а зб и е н и е и н тер в а л а (а,

b )

точкам и

л:0 =

а <

< ...

< x t < x i+ 1<

...

< x n = b,

так, что а(Хі, Х{+\)

< .

г, где

е >

0 — з а д а н н о е

число

(что

в о з ­

м о ж н о ,

так

как н епр ер ы вная

ф ункция р а в н о м е р н о н еп р ер ы в н а ),

и пусть

ф — н епр ер ы вная ф ункция:

4 >(x) — f (хі) +

~ ~ г ^ — ^f ~ ( x

— Xi),

Xj

xi+1

xt

Е сл и ч ер ез

ф, о б о зн а ч е н а

н еп р ер ы вн ая

ф ункция ,

о п р е д е л е н н а я

как

Фг-и(х) =

0,

ес л и

х ^ х І7

фг+1 (я) =

х — xit

ес л и

х ^

х іг

Фо (*) =

1,

членом, содержащим лишь

четные степени переменного х,

на

[О, 1]. Ибо

если \р(х) — х\

С е

на [0, 1],

то, заменив х на

—х,

получим

\р{х) — (—х) I <

е,

и значит,

\р(х)— \ х \ \ С е

для

всех х е [ - 1 , 1].

будут использоваться лишь

теорема о конечных

приращениях

и тот факт,

что если 0 < а < 1,

то пап стремится

к нулю при

п —*оо.

Пусть fn — многочлен, равный нулю при х — 0 и имеющий

производную

(1 — х2)п. Тогда записывается

X

M*) =

J (1 - t 2)ndt;

рассмотрим

6

0 fv.'l --

fn (*)

gn(X) -

fn(]) .

Имеем 0 sg: gv (л:)

1; для

любого п функция gn возрастает;

она является

многочленом,

содержащим лишь члены нечетной

лишь члены четной степени. Поскольку g n ^ 0, то при любом п

функция рп возрастает; а

поскольку g n <

1, то

рп (х)

^ х .

Стало быть, для 0 ^ х ^

б имеем

1р п (х) — X К ] р п (х) I +1 X К 2е.

Для в

X

1 имеем

Рп(X) — Рп(е) = (х — е) р'п(I) = (х — е) g n (g),

е < | <

х;

рп (х) — X = рп (е) + X (gn (£) — I) — e g n (g);

так как g n ^

1 и р„(е) ^ е, то

I Рп (х) — X к е + х \ gn Ш — I 1+ 8 = 2 е + х\ g n ( |) — 1 [;

а так

как

е <

g < 1 и так

как g n равномерно сходится к 1 на

[е, 1],

то для достаточно больших п

I Рп (х) — х \< Зе,

чем и завершается доказательство теоремы Вейерштрасса.

2.

Теорема Вейерштрасса — Стоуна.

Обобщение

теоремы

странстве ЧРіЕ, R)

непрерывных числовых функций на компакт­

ном пространстве Е, наделенном равномерной сходимостью.

Изложенные выше результаты приводят вначале к рассмот­

рению

множества

Г таких

функций, обозначаемых

через

и,

V, ...

, что если

к е Г , то

\и \ е Г . После этого при

помощи