Файл: Заманский, М. Введение в современную алгебру и анализ.pdf

Затем рассматривается множество Я, предполагаемое вна­ чале обладающим свойствами элементарных многочленов: это есть векторное пространство, и притом такое, что если ср е Я и у б Я , то ф у еЯ . Далее берутся непрерывные функции, яв­ ляющиеся равномерными пределами элементов из Я; если обо­ значить их множество через Я и доказать, что

f е Я =ф |/|е= Я,

то множество Я будет обладать свойствами искомого множе­

ства Г.

Л е м м а 1. Пусть Г — такое множество функций, непрерыв­ ных на компактном пространстве Е, что если и е Г и и е Г , то sup(и, о ) е Г и inf (и, и) е Г, и пусть f е ^ (£,/?). Если для лю­ бых двух точек X и у из Е и любого е > О функция f может быть приближена с точностью до г в точках х, у одной и той же функ­ цией и е Г , то она может быть равномерно приближена с точ­ ностью до любого е некоторым элементом из Г.

Возьмем вначале в качестве х фиксированную точку х0е Е, а в качестве у — переменную точку из Е\ точкам х0 а у можно поставить в соответствие такую функцию и, зависящую от Хо, у, что

доказательству теоремы Дини, позволяет построить такое ко­ нечное семейство этих функций и, обладающее, кроме того, тем свойством, что его верхняя оболочка ѵ (которая, по условию, принадлежит Г) удовлетворяет неравенству f ( y ) — г<. и( у) при любом у.

Но при этом в точке Хо справедливо неравенство

V(х0) < / (х0) + е,

поскольку V есть верхняя оболочка конечного числа функций и, обладающих этим свойством.

Заставим теперь Хо меняться; тогда каждому х е £ ставится в соответствие такая функция ѵ, что для любого у е £

f(y) — z < v (у)

и что в данной точке х выполняется неравенство ѵ (х) <С f(x) -f. -f- е. Таким же способом строится конечное семейство этих функ­ ций, нижняя оболочка ш (принадлежащая Г) которого обладает

т о г о , w е с т ь н и ж н я я о б о л о ч к а к о н е ч н о г о ч и с л а ф у н к ц и й ѵ, у д о в ­

Практически же будут использоваться более узкие условия, и притом достаточные. Так, допущение о том, что Г есть вектор­

Предположим теперь, что для любой функции f e 'g ’(E,R) и любых X, у е Я существует такая функция и е Г , что и(х) = = f (х), и (у) = f (у) , что влечет

I и(х) — f(x)l<e, I и (у) — /(*/)[< е для любого е > 0.

И это новое условие само выполняется при следующем условии: для любых X, у ^ Е и любых двух действительных чисел а и b существует такая функция и е Г , что и(х) — а, и (у) — Ь (ибо достаточно взять f(x) — а, f(y) — b). Таким образом, приходим к более частной лемме, но имеющей более простую формули­

в > 0 н ф е Я функция |ф| 'может быть равномерно приближена с точностью до 8 элементами из Н.

Пусть ер е Я . ’Гак как ф непрерывна на компактном простран­ стве Е, то IфI тоже непрерывна и имеет верхнюю грань М;

а так как Н — векторное пространство, то

-гг4" 55" -

иможно, следовательно, предположить, что \и{х)\ ^ 1 для лю­

может быть приближен с точностью до в в точках х, у элемен­

это получается простым переходом к пределу из условия ір е Я , у е Н ==> фу е Н.

Теперь мы выведем из этих лемм теорему о приближении в той форме, которую часто называют теоремой Вейерштрасса — Стоуна.

Прежде всего заметим, что лемма 3 может также рассмат­ риваться как обобщенная теорема Вейерштрасса. Но она имеет следующее неудобство: чтобы узнать, является ли непрерывная числовая функция f на компакте Е равномерным пределом эле­ ментов ф из Н, необходимо убедиться в том, для f выполнено условие простого приближения в произвольных двух точках из Е. Очевидно, что, несмотря на существенность этого условия (которое в интуитивном толковании означает, что простое при­ ближение в двух произвольных точках из Е влечет равномерное приближение на Е), важно получить формулировку, в которой условия относились бы только к семейству Н или к аналогично­ му семейству.

Пусть Н — множество функций, образующих подмножество пространства ^ ( E , R ) и пусть 1) Н есть векторное простран­ ство; 2) ф £ Я И Y G Я =Ф>ФѴ П.

Как мы уже видели (лемма К), достаточно предположить, что для любых различных х, у из Е и любых двух действитель­ ных чисел а, b найдется такая функция ф е Я , что ф(л:) = а,

Ф (у) — ь-

Но само это условие может быть заменено другим условием при помощи очень простого приема (и условием к тому же экви­ валентным, если предположить, что Н содержит постоянные функции на Е) .

Пусть х0, уо —две различные точки из Е и пусть для неко­ торого элемента ф е Я

Ф (*о) Ф Ф (Уо)-

Пусть, далее, ф — непрерывная функция на Е вида

где а и b —действительные числа. Очевидно, ф(хо) = а, ф(г/0) = = Ь. Тогда для утверждения о том, что ф е Я , достаточно пред­ положить, что постоянные функции принадлежат Н. Поэтому условие «для любых различных х, у из Е и любых действитель­ ных а, b существует такое ф е Я , что ф(х) = а, ф(у)=Ь», мо­ жет быть заменено условием: «Н содержит постоянные функции и для любых различных х и у из Е в Н существует такая функ­

пространства & (Е, R), что постоянные функции принадлежат Н, что для любых двух различных точек х и у из Е существует функция ф е Я , удовлетворяющая условию <р(л:) ф<$(у), и что Ф ё Я и у е Я ^ ф у е Я . Тогда Н всюду плотно в Ч? (Е, R).

и(х) Ф и (у), и пусть Н есть множество всех многочленов отно­ сительно функций из ІІ. Среди многочленов имеются постоянные многочлены, и поэтому Н содержит постоянные функции. А так как. произведение двух многочленов есть многочлен, то ф е Я и у е Н =ф фу е Н.

Это замечание полезно в наиболее употребительных случаях, примеры которых приводятся ниже.

Пр и ме р ы. 1) Пусть Е — компактное множество в Rn\ точ­ ка X из Е есть X = (|і, ..., |„). И. пусть Н — множество много-

Произведение двух функций из Н есть функция из Н, и, как легко видеть, и второе условие выполняется.

В этом случае всякая непрерывная функция с периодом 2я является равномерным пределом тригонометрических полино­ мов, т. е. выражений вида

+П

р ( х ) = 2 Ckeikx, k=—n

или, что сводится к тому же,

п

2 (о* cos kx + bk cos kx). 0

Р А З Д Е Л 4

ПОЛУНЕПРЕРЫВНЫЕ ФУНКЦИИ

Полунепрерывные функции, введенные в начале века Бэром, играют важную роль в вопросах, связанных с простым пределом (например, функции, являющиеся простым пределом монотон­ ных последовательностей непрерывных функций).

Эти функции обладают рядом свойств, принадлежащих не­ прерывным функциям, и выступают по отношению к ним как их естественное обобщение; эти функции, вообще говоря, прини­ мают значения в R.

§1. Определение и общие свойства

1.Определение. Рассмотрим сначала функцию f со значе­ ниями в R, определенную на топологическом пространстве Е. Если f непрерывна в точке Хо, то это означает, что для любого неравенствами), найдется такое X, что

X е X =Ф f (лг0) — e < f ( x ) < f (х0) + е;

это равносильно утверждению, что для любых конечных чисел а и Ь, удовлетворяющих условию a < f ( x o ) < . b (со строгими неравенствами), найдется такое X, что

X е X Ф а < / (х) < Ь.