Файл: Заманский, М. Введение в современную алгебру и анализ.pdf

3 1 8 ГЛ. VIII. ФУНКЦИИ В МЕТРИЧЕСКОМ ПРОСТРАНСТВЕ

Если воспользоваться только одним из этих неравенств, то будет определена полунепрерывность. Например, будем гово­ рить, что / полунепрерывна снизу в точке х0) если для любого a C f ( x о) найдется такая окрестность X точки х0, что

Ф а < f(x).

Однако важно, чтобы определение распространялось на слу­ чай, когда f(xо) обращается в +оо или —оо. Если речь идет о полунепрерывности снизу и если f(x0) = +оо, то определение дается без труда; будем снова говорить, что функция / полу­

ного а) найдется такая окрестность X точки Хо, что x e l ^ a < f (х).

Таким образом, когда f(x0) конечно или равно Ч-оо, т. е. когда

Трудности, напротив, возникают при попытке дать определе­ ние полунепрерывности снизу (соответственно сверху) в точке Хо, где f(xо) = —оо (соответственно +оо).

Мы примем следующее соглашение (которое будет оправ­ дано последующими результатами):

Всякая функция со значениями в R, определенная на топо­ логическом пространстве Е, полунепрерывна снизу (соответ­ ственно сверху) в каждой точке из Е, где она принимает зна­ чение —оо (соответственно + °°)-

Определения. Пусть f —функция со значениями в R, опреде­ ленная на топологическом пространстве Е. Будем говорить, что f полунепрерывна снизу в точке х0, если для любого конечного действительного числа а <. f(xо) существует такая окрестность X точки х0, что X е X =ф>а < f (х).

Будем говорить, что f полунепрерывна снизу на Е (или в Е), если она полунепрерывна снизу в каждой точке из Е.

Будем говорить, что f полунепрерывна сверху в точке х0,

множество f(.]a, -f оо]) есть окрестность точки х0.

2) Говорят, что f полунепрерывна сверху, если (—/) полу­ непрерывна снизу.

лунепрерывна снизу и полунепрерывна сверху.

2) Пусть / — функция со значениями в R, определенная на Е,

Такие точки, как х0, являются теми точками, в которых / имеет относительный минимум (соответственно максимум).

3) Пусть Е — R и пусть f(x) = \/\х\ при х ф 0, /(0) = -f-oo.

Для любого действительного а существует такая окрестность X точки 0, что в этой окрестности a<gf(x). Значит, / полунепре­ рывна снизу в точке 0. Если задать функции / произвольное значение в точке 0, то она останется полунепрерывной снизу. Напротив, функция f, определенная как f (x)— \/х для х Ф О, будет полунепрерывной снизу в точке 0 лишь в том случае, если f (0) = - о о .

4) Пусть Е — R и пусть f есть функция Дирихле, равная О при рациональных х и 1 в остальных точках; эта функция полу­ непрерывна снизу в каждой точке из Q и полунепрерывна сверху

вкаждой точке х ф Q.

За м е ч а н и е . Очевидно, что если / полунепрерывна на про­ странстве Е, то ее сужение на подпространство тоже полуне­ прерывно. .

2. Общие свойства. Мы остановимся только на функциях, полунепрерывных снизу в топологическом пространстве Е (т. е. в каждой точке из £); в § 2 будут изучены свойства этих функ­ ций для того случая, когда Е есть топологическое пространство специального вида (локально компактное или полное метри­ ческое) .

С в о й с т в о 1. Если f и g —полунепрерывные снизу функции на топологическом пространстве Е, то функция f g полуне­ прерывна снизу в каждой точке, в которой она определена-,

определенная на пространстве Е, была полунепрерывна снизу,

было замкнуто в Е.

точке *о. означает, что еа является окрестностью точки Хо, но если f полунепрерывна снизу на £, то она полунепрерывна снизу для любого Хо е еа, и стало быть, еа служит окрестностью для каждой из своих точек, т. е. открыто.

Обратно, предположим, что для функции / множество еа от­ крыто при любом а и х0е £ ; тогда либо f(x0) = — оо, и f полу­ непрерывна по определению, либо f(x0) > — оо, и значит, х0 принадлежит всем тем еа, для которых а < /(х0); следовательно, каково бы ни было а < /(х0), еа является окрестностью точки х0 ; стало быть, f полунепрерывна снизу.

Условие, что множество

Г ‘(]«> + «>])

открыто при любом а, может быть заменено условием, что

Г 1([— °°. «])

замкнуто при любом а, ибо эти два подмножества из Е взаимно

U е.

оеЕ

множеств еа, которые открыты.

2) Пусть А — открытое множество в Е и фд — его характе­ ристическая функция, т. е. функция, определенная как фд(х) = = 0, если х ф А , и фд(х) = 1, если х е Л. Тогда фд является полунепрерывной снизу функцией. В самом деле, для этой функ­

ция фд полунепрерывна снизу, то Л открыто в £.

■■ Точно так же, для того чтобы А было замкнуто, необходимо и достаточно, чтобы функция фд была полунепрерывна сверху.

Итак, можем сформулировать результат.

Для того'чтобы подмножество А пространства Е было от­ крыто (соответственно замкнуто), необходимо и достаточно,