Файл: Заманский, М. Введение в современную алгебру и анализ.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 15.10.2024

Просмотров: 189

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

322 ГЛ. VIII. ФУНКЦИИ В МЕТРИЧЕСКОМ ПРОСТРАНСТВЕ

сверху), если

 

f(x0 ) =l i mf ( x )

(f(x0) = lim /(*)).

X ~ > X „

X - + X ,

В этом случае оно согласуется с определением непрерывно­ сти, которому можно придать следующую форму. / непрерывна

в точке хо, если f(x) стремится к f(x0),

когда х стремится

к Хо

(по фильтру окрестностей точки х0).

со значениями в R,

опре­

Сл е д с т в и е . Пусть f — функция

деленная на топологическом пространстве Е. Функция

 

х —>lim f (у)

 

 

 

 

 

 

у->х

 

 

 

 

полунепрерывна снизу, а функция

 

 

 

 

х-> lim f(y)

 

 

 

 

 

у - * х

 

 

 

 

полунепрерывна сверху.

 

 

 

 

 

 

Пусть

 

ііт f(y).

 

 

 

ф(*) =

 

 

 

 

 

у^>х

 

 

 

 

Для любого X обозначим через Хх произвольную открытую

окрестность точки х; имеем

 

 

 

 

 

 

Ф (х) =

sup (inf f (Хх)).

 

 

 

х„

 

 

 

 

Пусть х0 — произвольная

точка и

а < ф(х0). Так как

ф(х0)

есть верхняя грань значений in f/(JXo),

то существует такой эле­

мент f(XXc), а значит, и J*„,

который

мы

обозначаем J 0, что

a < i n f f ( J 0). Пусть х е Х 0; рассмотрим

все

Хх, содержащиеся

в Jo; Для этих Хх имеем

 

 

 

 

 

 

inf/ № ) < inf/(* ,);

 

 

следовательно,

 

 

 

 

 

 

а < in f/(J 0)< in f/(J* ).

 

 

Поэтому для всех Хх cz Х0 имеем

 

 

 

 

a < i n f f ( J 0X

sup (inif(Xx))t

 

и, тем более, для всех открытых окрестностей Хх точки х е Jo имеем

а < sup ( i n f / ( J J X

sup (inf f(Xx)) = q>{x).

xxcXo '

Xx

Таким образом, для любого х е Jo имеем a < ф(х). Стало быть, функция ф полунепрерывна снизу.

4. ПОЛУНЕПРЕРЫВНЫЕ ФУНКЦИИ

323

Точно так же функция

X- » lim / (X) = inf (sup f (X))

X

полунепрерывна сверху.

П р и л о ж е н и е . Пусть f — конечная функция с действитель­ ными значениями и а(х) — ее колебание в точке х:

со (х) = lim f(y) — \imf (у).

У-*х у->х

Функция х-+в>(х) со значениями в R определена для любого х. В самом деле, это выражение не определено, когда оно

имеет вид <х>— оо, для чего требуется, чтобы

h mf ( y ) = ± оо,

Hmf ( y ) = ± оо;

у-*х

у^ х

а так как значения функции f заключены между lim и lim, то в этом случае f{x) = ±оо. Но функция lim полунепрерывна снизу, значит, функция —lim полунепрерывна сверху, так что функция lim, а стало быть, и х-*-а(х) полунепрерывна сверху.

§ 2. Полунепрерывные функции на локально компактном или полном метрическом пространстве

Полунепрерывная снизу (соответственно сверху) функция на компактном пространстве обладает свойством непрерывных функций относительно максимума (соответственно минимума).

В случае локально компактного или полного метрического пространства полунепрерывная снизу функция обладает тем свойством, что в любом непустом открытом множестве найдется непустое открытое множество, на котором эта функция мажори­ рована (т. е. ограничена сверху).

1. Полунепрерывные функции на компактном пространстве.

Те о р е ма . Пусть функция f со значениями в R полунепре­ рывна снизу на компактном пространстве Е\ найдется хотя бы одна такая точка Хо е Е, что

f (хо) — inf f{x).

іеЯ

Пусть f(E) — множество значений функции /; речь идет о до­ казательстве того, что

inff(£)

(= inf f(x))

11*

-|-оо

324

ГЛ .

ѴІГГ. Ф У Н К Ц И И

В

М Е Т Р И Ч Е С К О М П Р О С Т Р А Н С Т В Е

 

есть значение

функции

f,

т.

е.

существует такое Хо е Я,

что

 

 

 

 

 

f(x0) =

inf f(E).

 

Пусть inf / (Я) <

/ (X)

для всех х <= Я.

 

Пусть а — число, пробегающее множество f(E), еа— множе­

ство точек X из Е,

в которых f(x)

> а. По свойству 2 (§

1) мно­

жество еа открыто.

Имеем Е =

0

еа. В самом деле, пусть х е Я;

так как f(E)

<f ( x ) ,

то в силу определения нижней грани най­

дется

такое a e f ( £ ) ,

что

inff(£)

^ a < f ( x ) , и значит,

х е е а.

А так как открытые множества еа покрывают Е, то и конечное

их число еа

еа покрывает Е. Можно

предположить,

на­

пример, что а\ <

а2 < ... <

ар, и тогда е0,

=

Е, поскольку а <

 

Значит, для

любого х е Я

имеем а і < / ( х ) ,

и

следовательно,

а, <1 inf /(х);

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

X

 

 

 

 

но й і е / ( Я ) ; поэтому

 

 

 

 

 

 

 

inf / (Я)

а{

inf f (Я);

 

 

 

стало быть, йі =

inf f (Я) является значением функции /.

 

С л е д с т в и е .

Если функция f полунепрерывна снизу на ком­

пактном пространстве Я и не принимает

значения— оо, то f

минорирована в Я.

 

inf f(E).

Если бы мы имели

Действительно, пусть имеется

inf /(Я) =

— оо, то по предыдущей теореме f принимала бы зна­

чение — оо.

Следовательно, условие, что / полунепрерывна снизу,

и условие f(x) >

—оо для любого х влечет существование

та­

кого конечного числа пг, что / ( х ) ^ т для

любого х.

 

Для функции /, полунепрерывной сверху на компактном пространстве Я, результат формулируется следующим образом: f достигает своей верхней грани по крайней мере в одной точке из Я, и если / ( х ) < для любого х, то / мажорирована (рав­ номерно) .

Если функция / предполагается одновременно полунепрерыв­ ной сверху и снизу, то она непрерывна, и все сводится к тео­ реме о числовых функциях, непрерывных на компакте.

2. Полунепрерывные функции на локально компактном или полном метрическом пространстве.

Те о р е ма . Пусть Я — локально компактное или полное мет­ рическое пространство и f — конечная числовая функция, полу­ непрерывная снизу на Я. Тогда любое непустое открытое мно­ жество содержит непустое открытое подмножество, на кото­ ром f мажорирована.

Мы видели, что в таком пространстве всякое счетное объеди­ нение замкнутых множеств, не имеющих в Я внутренних точек,

4. П О Л У Н Е П Р Е Р Ы В Н Ы Е

Ф У Н К Ц И И

325

не имеет внутренних точек в Е (гл.

V, раздел

3, § 3, п. 3 и

гл. VII, раздел 1, § 5, п. 3).

С другой стороны (там же, замечание), в таком простран­ стве каждое непустое открытое множество является подпростран­ ством, обладающим тем же свойством. Достаточно доказать утверждение теоремы, взяв в качестве открытого множества все пространство Е.

Если Е представляет собой счетное объединение замкнутых множеств F„, то в силу того, что Е имеет внутренние точки, по крайней мере одно из множеств F„ имеет внутреннюю точку. Но множество Fn тех точек х из Е, для которых f(x)*Cn (п<=/Ѵ),

замкнуто, ибо / полунепрерывна снизу

(§ 1, свойство 2)), и

Е =

U Fn, поскольку / предполагается конечной, т. е. значения

f(x)

конечны при любом

( f ( x ) ^ . n

для достаточно боль­

шого п). Таким образом, одно из множеств F„, скажем Fv, имеет внутреннюю точку хо; стало быть, существует открытое множе­ ство О, содержащее Хо и содержащееся в Fp. В этом открытом множестве О имеем f(x) ^ р для любого Jt eO.

З а м е ч а н и е . Теорема становится очевидной для непрерыв­ ной функции. Простым (и тривиальным) может служить пример f{x) — 1/х на ]0, +оо[.

§ 3. Оболочки полунепрерывных функций

Для полунепрерывных функций обычные алгебраические опе­ рации (а именно, операции, связанные со структурой поля R) должны проводиться с некоторыми предосторожностями; так, если / н я полунепрерывны снизу, то сумма f + g полунепре­ рывна снизу в каждой точке х, в которой f(x) + g(x) имеет смысл; если / полунепрерывна снизу, то —/ будет, вообще го­ воря, полунепрерывной сверху, а не снизу.

Напротив, операция взятия оболочек полунепрерывных функ­ ций приводит к функциям того же пространства, когда число рассматриваемых функций конечно; если же семейство беско­ нечно и состоит из полунепрерывных снизу (соответственно сверху) функций, то верхняя (соответственно нижняя) оболочка полунепрерывна снизу (соответственно сверху).

И наконец, последний результат, который мы изложим, под­ черкивает связь между полунепрерывными и непрерывными функциями в случае часто используемых пространств.

1. Оболочки конечного семейства. Пусть /, g — полунепрерыв­

ные

снизу функции на пространстве Е. Пусть

qp = inf (/, g),

ф =

sup (/, я) и х0 — некоторая точка из Е. Если

а < ф ( х 0), то

а <

/(хо) и а < g(xo), поскольку

 

 

<p(x0) = inf (/(х0), Я(хо))‘

 

326 ГЛ . V I II . Ф У Н К Ц И И В М Е Т Р И Ч Е С К О М П Р О С Т Р А Н С Т В Е

Значит, существует такая окрестность X точки х0, что a<. f ( x)

и

a < g ( x )

для

любого т е і ,

откуда следует,

что

а < ф(х)

для любого х е

А. То же самое верно для sup(f, g)

и для конеч­

ного семейства полунепрерывных снизу функций.

 

 

 

Результат остается справедливым, если все функции полу­

непрерывны сверху.

 

 

 

на

Нулевая функция непрерывна; поэтому если f полунепрерыв­

снизу,

то

/+ = sup(/, 0)

полунепрерывна снизу,

а /~ =

=

sup (—f, 0) полунепрерывна сверху.

 

 

 

П р е д л о ж е н и е . Верхняя

(соответственно нижняя) оболоч­

ка конечного семейства полунепрерывных снизу (соответственно сверху) функций полунепрерывна снизу (соответственно сверху).

2. Оболочки произвольного семейства. Пусть /і — семейство функций со значениями в R, определенных на топологическом пространстве Е, причем все функции семейства полунепрерывны снизу (можно предположить, что они обладают этим свойством в некоторой точке х0 из Е; но это обобщение не представляет особого интереса для дальнейшего).

Пусть ф-— верхняя оболочка функций /г, т. е. функция, опре­

деляемая для любого X

как

 

ф(х) = вцр fi(x).

 

і

И пусть Xq— точка из Е. По определению верхней грани, для любого

а < Ф (х0) = sup ft (х0)

і

найдется такое fi(x0), что а < fi(x0) ^ ф(х0). А поскольку функ­ ция fi полунепрерывна снизу, то существует такая окрестность

X точки Хо, что а < /т(х)

при х е А;

значит, тем более, для лю­

бого х е і выполняется

неравенство

а > ф ( х ) . Следовательно,

Ф

полунепрерывна снизу. Отсюда получаем теорему.

Т е о р е м а 1. Верхняя

(соответственно нижняя) оболочка се­

мейства полунепрерывных снизу (соответственно сверху) функ­ ций на пространстве Е полунепрерывна снизу (соответственно сверху).

Большой интерес представляют следствия и частные случаи

этой теоремы.

1. Пусть (fn) — возрастающая последователь­

С л е д с т в и е

ность полунепрерывных снизу функций, a

f — предельная функ­

ция. Тогда f полунепрерывна снизу.

(fn) есть возрастаю­

В самом деле,

утверждение о том, что

щая. последовательность функций, означает, что для любого х и любого п справедливо неравенство f„(x) ^ fn+i (х). Возра­ стающая последовательность чисел fn(x) сходится в R и

lim fn(х) == sup fn (х). rt“*oo п

Смотрите также файлы